1. 六个互不相等的正整数 $a , b , c , d , e , f$ 按如图所示的方式排列，箭头所指向的数等于指向它的两个数的和，例如：$b = d + e$。若 $d + e + f = 25$，则数 $a$ 的最大值是（）


A.39
B.40
C.43
D.47

提示:由题意可得,$a=b+c=(d+e)+(e+f)=d+e+f+e$,因为 $d + e + f = 25$,所以 $a=25+e$.因为数 $a$ 要取最大值,所以数 $e$ 要取最大值.因为 $a,b,c,d,e,f$ 是六个互不相等的正整数,$d+e+f=25$,所以 $e$ 的最大值为 22,所以数 $a$ 的最大值为 $25+22=47$.

【分析】
我们先从题目给出的运算规则入手，第一步先把a用d、e、f表示出来：根据箭头指向的数等于指向它的两个数的和，可得b=d+e，c=e+f，而a=b+c，把b和c代入a的表达式，就能得到a = d + 2e + f。题目已经给出d+e+f=25，我们可以把d+f替换为25-e，代入a的表达式后就得到a=25+e。此时要让a取最大值，只需要让e尽可能取到最大值，同时满足六个数a,b,c,d,e,f都是互不相等的正整数，结合d+e+f=25的约束，找到e的最大合法取值，就能算出a的最大值。
【解析】
解：根据题意的运算规则推导：
1. 由箭头指向的数等于指向它的两个数之和，可得：
$b = d + e$，$c = e + f$
2. 因为$a = b + c$，将b、c代入得：
$a = (d+e) + (e+f) = d + 2e + f$
3. 已知$d + e + f = 25$，变形得$d + f = 25 - e$，代入a的表达式：
$a = (d+f) + 2e = (25 - e) + 2e = 25 + e$
4. 要使a取最大值，需让e尽可能大，同时满足六个数a,b,c,d,e,f是互不相等的正整数：
d和f都是正整数，取最小的两个不同正整数1和2，此时$d+f=1+2=3$，代入$d+f=25-e$得$25-e=3$，解得$e=22$。
验证所有数：d=1，f=2，e=22，b=d+e=23，c=e+f=24，a=47，六个数完全互不相等，符合全部条件。
因此a的最大值为47。
【答案】D.47
【知识点】代数式化简，最值推导
【点评】本题核心是通过代数变形将求a的最大值问题转化为求e的最大值，利用转化思想简化问题，不需要复杂枚举，只需要结合正整数互不相等的约束即可得到结果，易错点是忽略六个数互不相等的条件，误判e的合法最大取值。
【难度系数】0.6

2. 如图,在数轴上,O 为原点,点 A 对应的数为 2 ,点 B 对应的数为 -12 . 动点 P 从点A 出发,以每秒 2 个单位长度的速度向右运动,同时动点 Q 从点 B 出发,以每秒 5个单位长度的速度向右运动,设运动时间为 t s. 若点 O,P,Q 中,其中一点是另外两点所确定线段的中点时,则 t 的值为
.

提示:当运动时间为 $t$ s 时,动点 $P$ 对应的数为 $2t+2$,动点 $Q$ 对应的数为 $5t-12$.当 $O$ 是线段 $PQ$ 的中点,即 $0＜ t≤\dfrac{12}{5}$时,$0-(5t-12)=2t+2-0$,解得 $t=\dfrac{10}{7}$;当 $Q$ 是线段 $OP$ 的中点,即$\dfrac{12}{5}＜ t≤\dfrac{14}{3}$时,$5t-12-0=2t+2-(5t-12)$,解得 $t=\dfrac{13}{4}$;当 $P$ 是线段 $OQ$ 的中点,即 $t＞\dfrac{14}{3}$时,$2t+2-0=5t-12-(2t+2)$,解得 $t=16$.综上所述,$t$ 的值为 $\dfrac{10}{7}$或$\dfrac{13}{4}$或 16.

【分析】
这是一道数轴动点结合中点性质的问题，解题思路可以按以下步骤梳理：
1. 首先根据动点的运动方向、速度和起点，先表示出运动t秒后，点P和点Q在数轴上对应的数：向右运动的点，对应的数等于起点数值加上运动路程（速度×时间）。
2. 题目要求“三个点中其中一个是另外两点连线的中点”，因此需要进行分类讨论，覆盖所有可能的情况：分别是O为PQ中点、Q为OP中点、P为OQ中点三类。
3. 利用数轴中点的核心性质：若点M是线段AB的中点，则M对应的数的2倍等于A、B两点对应数的和，据此对每一类情况列一元一次方程求解，最后验证解的合理性，得到所有符合条件的t值。
【解析】
解：当运动时间为t s时：
动点P从点A（对应数2）出发，以每秒2个单位向右运动，因此P对应的数为：$2 + 2t$
动点Q从点B（对应数-12）出发，以每秒5个单位向右运动，因此Q对应的数为：$-12 + 5t$
分三种情况讨论：
1. 情况1：O是线段PQ的中点
根据中点性质，两端点数值之和等于2倍中点数值：
$(2t+2)+(5t-12)=2×0$
整理得：$7t=10$，解得 $t=\frac{10}{7}$
验证：此时Q对应数为$-\frac{34}{7}$，P对应数为$\frac{34}{7}$，O在PQ之间，符合中点要求。
2. 情况2：Q是线段OP的中点
同理可得：
$0 + (2t+2) = 2×(5t-12)$
展开整理：$2t+2=10t-24$，即$8t=26$，解得 $t=\frac{13}{4}$
验证：此时O对应0，Q对应$\frac{17}{4}$，P对应$\frac{17}{2}$，Q在OP之间，符合中点要求。
3. 情况3：P是线段OQ的中点
同理可得：
$0 + (5t-12) = 2×(2t+2)$
展开整理：$5t-12=4t+4$，解得 $t=16$
验证：此时O对应0，P对应34，Q对应68，P在OQ之间，符合中点要求。
综上所有符合条件的t值都成立。
【答案】
$\frac{10}{7}$或$\frac{13}{4}$或$16$
【知识点】
数轴动点问题；线段中点性质；一元一次方程应用
【点评】
本题的核心难点是分类讨论的完整性，很容易遗漏其中某一种中点的情况导致丢分，利用数轴中点的数值关系列方程，比计算两点距离的方式更简便直观，求解后可以代入验证点的位置是否符合中点的逻辑，排除不合理的解。
【难度系数】
0.3

3. 定义:从一个角的顶点出发,在该角的内部引两条射线,若该角是这两条射线所成角的$n$倍($n$为正整数),则这两条射线叫作该角的“$n$倍分线”.
(1) 如图1,$∠ AOB=50°$,射线$OC$,$OD$是$∠ AOB$的“2倍分线”,且$∠ AOC=10°$,则$∠ BOD=$$°$.
(2) 如图2,$∠ AOB=60°$,射线$OB$,$OD$重合,$∠ COD$绕点$O$顺时针旋转,旋转的角度为$α$($0°＜α≤360°$).
① 若$∠ AOC=3∠ BOD$,$OB$,$OC$是$∠ AOD$的“4倍分线”,求$∠ COD$的度数;
② 若$∠ COD=30°$,在$∠ COD$绕点$O$顺时针旋转一周的过程中,射线$OA$,$OB$,$OC$,$OD$中,存在两条射线是另两条射线所组成的角的“3倍分线”,则满足条件的旋转的角度$α$的度数为.

3. (1) 15 提示:因为射线 $OC,OD$ 是$∠ AOB$的“2 倍分线”,所以 $∠ AOB=2∠ COD=50°$,解得$∠ COD=25°$,所以 $∠ BOD = ∠ AOB - ∠ COD - ∠ AOC=50°-25°-10°=15°$.
(2) ①解:分情况讨论,如图1,当射线 $OC$ 在射线 $OB$ 上方时,$∠ BOD=α$,$∠ AOC=3α$,$∠ BOC=60°-3α$,$∠ AOD=60°+α$. 因为 $OB,OC$ 是$∠ AOD$ 的“4 倍分线”,所以 $∠ AOD=4∠ BOC$,即 $60°+α=4(60°-3α)$,解得 $α=(\dfrac{180}{13})°$,所以 $∠ COD = ∠ BOC + ∠ BOD =60°-2α=(\dfrac{420}{13})°$.

如图 2,当射线 $OC$ 在射线 $OB$ 下方时,$∠ BOD=α$,$∠ AOC=3α$,$∠ BOC=3α-60°$,$∠ AOD=60°+α$. 因为 $OB,OC$ 是$∠ AOD$ 的“4 倍分线”,所以 $∠ AOD=4∠ BOC$,即 $60°+α = 4(3α-60°)$,解得 $α = (\dfrac{300}{11})°$,所以$∠ COD=∠ BOD-∠ BOC=60°-2α=(\dfrac{60}{11})°$.

综上所述,$∠ COD$ 的度数为 $(\dfrac{420}{13})°$或$(\dfrac{60}{11})°$.
②7.5°或 75°或 255°或 322.5° 提示:分情况讨论,如图 3,当射线 $OC,OB$ 是$∠ AOD$ 的“3 倍分线”时,因为 $∠ AOB=60°$,$∠ COD=30°$,$∠ BOD=α$,所以$∠ BOC=30°-α$,$∠ AOD=60°+α$. 因为 $OC,OB$ 是$∠ AOD$ 的“3 倍分线”,所以$∠ AOD=3∠ BOC$,即 $60°+α=3(30°-α)$,解得 $α=7.5°$. 如图 4,当射线 $OB,OC$ 是$∠ AOD$ 的“3 倍分线”时,因为 $∠ AOB=60°$,$∠ COD=30°$,$∠ BOD=α$,所以 $∠ BOC=α-30°$,$∠ AOD=60°+α$. 因为 $OB,OC$ 是$∠ AOD$ 的“3 倍分线”,所以$∠ AOD=3∠ BOC$,即 $60°+α=3(α-30°)$,解得 $α=75°$. 如图 5,当射线 $OD,OA$ 是$∠ BOC$ 的“3 倍分线”时,因为 $∠ AOB=60°$,$∠ COD=30°$,$∠ BOD=360°-α$,所以 $∠ AOD=360°-α-60°=300°-α$,所以 $∠ BOC=∠ COD+∠ AOD+∠ AOB=30°+300°-α+60°=390°-α$. 因为 $OD,OA$ 是$∠ BOC$ 的“3 倍分线”,所以$∠ BOC=3∠ AOD$,即 $390°-α=3(300°-α)$,解得 $α=255°$. 如图 6,当射线 $OA,OD$ 是$∠ BOC$ 的“3 倍分线”时,因为 $∠ AOB=60°$,$∠ COD=30°$,$∠ BOD=360°-α$,所以 $∠ AOD=60°-∠ BOD=α-300°$,所以 $∠ BOC=∠ COD+∠ BOD=30°+360°-α=390°-α$. 因为 $OA,OD$ 是$∠ BOC$ 的“3 倍分线”,所以 $∠ BOC=3∠ AOD$,即 $390°-α=3(α-300°)$,解得 $α=322.5°$. 综上所述,$α$ 的度数为 $7.5°$ 或 $75°$ 或 $255°$ 或 $322.5°$.

【分析】
首先要先准确理解题目给出的“n倍分线”定义：从角的顶点出发在角内部引两条射线，原角是这两条射线夹角的n倍，这两条射线就是原角的n倍分线。
第(1)问直接套用定义，由2倍分线可知∠AOB=2∠COD，先算出∠COD的度数，再通过∠AOB减去∠AOC和∠COD，即可得到∠BOD的大小。
第(2)问①，首先明确旋转角α就是∠BOD，结合条件∠AOC=3∠BOD，分OC在OB上方、OC在OB下方两种位置情况，分别用含α的代数式表示出∠BOC和∠AOD，再根据“4倍分线”的定义得到∠AOD=4∠BOC，列一元一次方程求解α，最后通过角的和差算出∠COD的度数。
第(2)问②，已知∠COD=30°，旋转一周的过程中，分类讨论所有满足“两条射线是另两条射线组成角的3倍分线”的位置，分别列出对应角的表达式，根据3倍分线定义列方程求解，得到所有符合条件的α值，注意不要遗漏旋转超过180°后的情况。
【解析】
(1) 因为OC、OD是∠AOB的2倍分线，根据定义可得：
∠AOB = 2∠COD
已知∠AOB=50°，代入得∠COD=25°
因此∠BOD = ∠AOB - ∠AOC - ∠COD = 50° - 10° -25° =15°
(2) ① 设旋转角为α，即∠BOD=α，由条件得∠AOC=3α：
情况1：OC在OB上方时，
∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 60° -3α，∠AOD=∠AOB + ∠BOD=60°+α
因为OB、OC是∠AOD的4倍分线，所以∠AOD=4∠BOC
代入得：60°+α =4(60°-3α)
解得：α=$\frac{180}{13}°$
此时∠COD = ∠BOC + ∠BOD = (60°-3α)+α =60°-2α = $\frac{420}{13}°$
情况2：OC在OB下方时，
∠BOC = ∠AOC - ∠AOB =3α -60°，∠AOD=60°+α
因为OB、OC是∠AOD的4倍分线，所以∠AOD=4∠BOC
代入得：60°+α=4(3α-60°)
解得：α=$\frac{300}{11}°$
此时∠COD = ∠BOD - ∠BOC = α -(3α-60°)=60°-2α=$\frac{60}{11}°$
综上∠COD的度数为$\frac{420}{13}°$或$\frac{60}{11}°$。
② 分四类情况讨论：
1. 当OC、OB是∠AOD的3倍分线时，∠BOC=30°-α，∠AOD=60°+α，由∠AOD=3∠BOC得60°+α=3(30°-α)，解得α=7.5°；
2. 当OB、OC是∠AOD的3倍分线时，∠BOC=α-30°，∠AOD=60°+α，由∠AOD=3∠BOC得60°+α=3(α-30°)，解得α=75°；
3. 当OD、OA是∠BOC的3倍分线时，∠AOD=300°-α，∠BOC=390°-α，由∠BOC=3∠AOD得390°-α=3(300°-α)，解得α=255°；
4. 当OA、OD是∠BOC的3倍分线时，∠AOD=α-300°，∠BOC=390°-α，由∠BOC=3∠AOD得390°-α=3(α-300°)，解得α=322.5°；
所有符合条件的α为7.5°、75°、255°、322.5°。
【答案】
(1) 15
(2) ① $∠ COD$的度数为$\dfrac{420}{13}°$或$\dfrac{60}{11}°$


② $7.5°$或$75°$或$255°$或$322.5°$




【知识点】
新定义运算，角的和差计算，一元一次方程解几何问题
【点评】
本题属于角的动态旋转类新定义题型，核心考点是结合新定义将角度关系转化为方程求解，解题的关键是准确理解“n倍分线”的定义，难点是对射线旋转的不同位置进行完整分类，避免漏解，需要注意旋转超过180°后角度的表示方法，不要忽略大角的情况。
【难度系数】
0.25