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1.(2025 四川绵阳期末)某地按如下规则收取每月天然气费:用气量若不超过$60\ \mathrm{m}^3$,则每立方米按1.5元收费;若超过$60\ \mathrm{m}^3$,则超过的部分按每立方米2元收费.已知某户居民12月的天然气费为110元,则该户居民12月使用天然气
70
$\mathrm{m}^3$.答案
1. 70
解析
【分析】
解决这道题首先要判断该用户12月用气量是否超过60m³的临界值：先计算用气量刚好为60m³时的费用，和实际缴费110元对比，若实际费用更高则说明用气量超过60m³，再分段计算：先算出超过60m³部分的总费用，除以超过部分的单价得到超出的用气量，最后加60m³就是总用气量；也可以设总用气量为未知数，根据分段收费规则列一元一次方程求解。
【解析】
方法一（算术法）：
1. 计算用气量为60m³时的总费用：$60 × 1.5 = 90$（元）
2. 因为$110 ＞ 90$，所以该用户用气量超过60m³
3. 超出60m³部分的费用：$110 - 90 = 20$（元）
4. 超出部分的用气量：$20 ÷ 2 = 10\ \mathrm{m}^3$
5. 总用气量：$60 + 10 = 70\ \mathrm{m}^3$
方法二（方程法）：
设该户居民12月使用天然气$x\ \mathrm{m}^3$
因为$60 × 1.5 = 90 ＜ 110$，所以$x ＞ 60$
根据收费规则列方程：
$60 × 1.5 + 2(x - 60) = 110$
化简得：$90 + 2x - 120 = 110$
解得：$x = 70$
【答案】
70
【知识点】
分段计费问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题是生活中常见的分段计费应用题，解题核心是先根据实际费用判断用量所在的收费区间，再结合对应区间的收费标准计算即可，注意不要直接用总费用除以单一单价计算。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要判断该用户12月用气量是否超过60m³的临界值：先计算用气量刚好为60m³时的费用，和实际缴费110元对比，若实际费用更高则说明用气量超过60m³，再分段计算：先算出超过60m³部分的总费用，除以超过部分的单价得到超出的用气量，最后加60m³就是总用气量；也可以设总用气量为未知数，根据分段收费规则列一元一次方程求解。
【解析】
方法一（算术法）：
1. 计算用气量为60m³时的总费用：$60 × 1.5 = 90$（元）
2. 因为$110 ＞ 90$，所以该用户用气量超过60m³
3. 超出60m³部分的费用：$110 - 90 = 20$（元）
4. 超出部分的用气量：$20 ÷ 2 = 10\ \mathrm{m}^3$
5. 总用气量：$60 + 10 = 70\ \mathrm{m}^3$
方法二（方程法）：
设该户居民12月使用天然气$x\ \mathrm{m}^3$
因为$60 × 1.5 = 90 ＜ 110$，所以$x ＞ 60$
根据收费规则列方程：
$60 × 1.5 + 2(x - 60) = 110$
化简得：$90 + 2x - 120 = 110$
解得：$x = 70$
【答案】
70
【知识点】
分段计费问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题是生活中常见的分段计费应用题，解题核心是先根据实际费用判断用量所在的收费区间，再结合对应区间的收费标准计算即可，注意不要直接用总费用除以单一单价计算。
【难度系数】
0.8
2. 新情境·生活场景 某市出租车的收费标准：若不超过3 km，则计费5元；若超过3 km，则超过3 km的部分按2.4元/km的价格计费（不满1 km按1 km计算）. 甲某次乘坐出租车后付款17元，这辆出租车最多行驶了
8
km.答案
2. 8 解析 设这辆出租车行驶了x km,易知x＞3,由题意得5+2.4(x-3)=17. 解得x=8. 因为不满1 km按1 km计算,所以这辆出租车最多行驶了8 km.
解析
【分析】
首先判断行驶里程是否超过起步里程3km：付款17元大于起步价5元，因此行驶里程一定超过3km。收费采用分段计算规则，总费用=起步价+超出3km部分的费用，超出部分按2.4元/km计费，我们可以设总行驶里程为x km，依据总费用为17元建立等量关系列方程，求解后结合“不满1km按1km计算”的规则，即可得到最多行驶的里程数。
【解析】
设这辆出租车行驶了x km，由付款17元＞5元，可知x＞3。
根据收费标准列方程：
$5 + 2.4(x - 3) = 17$
展开计算：$5 + 2.4x - 7.2 = 17$
移项合并同类项：$2.4x = 19.2$
解得：$x = 8$
结合“不满1km按1km计算”的规则，可知这辆出租车最多行驶了8km。
【答案】
8
【知识点】
分段计费问题，一元一次方程的实际应用
【点评】
本题结合出租车收费的生活场景命题，解题关键是先判断里程是否超出起步里程，再根据分段收费规则建立等量关系求解，解题时需注意题干特殊计费规则的限制。
【难度系数】
0.7
首先判断行驶里程是否超过起步里程3km：付款17元大于起步价5元，因此行驶里程一定超过3km。收费采用分段计算规则，总费用=起步价+超出3km部分的费用，超出部分按2.4元/km计费，我们可以设总行驶里程为x km，依据总费用为17元建立等量关系列方程，求解后结合“不满1km按1km计算”的规则，即可得到最多行驶的里程数。
【解析】
设这辆出租车行驶了x km，由付款17元＞5元，可知x＞3。
根据收费标准列方程：
$5 + 2.4(x - 3) = 17$
展开计算：$5 + 2.4x - 7.2 = 17$
移项合并同类项：$2.4x = 19.2$
解得：$x = 8$
结合“不满1km按1km计算”的规则，可知这辆出租车最多行驶了8km。
【答案】
8
【知识点】
分段计费问题，一元一次方程的实际应用
【点评】
本题结合出租车收费的生活场景命题，解题关键是先判断里程是否超出起步里程，再根据分段收费规则建立等量关系求解，解题时需注意题干特殊计费规则的限制。
【难度系数】
0.7
3.某地居民生活用电的阶梯式电价计费标准分为夏季标准与非夏季标准.每年的5月份至10月份执行夏季标准,其余月份执行非夏季标准.两种阶梯式电价的计费标准如表所示(用电量均为正整数).
(1)若甲用户4月份的用电量为$500\ \mathrm{kW}·\mathrm{h}$,则甲用户应缴纳电费多少元?
(2)已知乙用户4月份缴纳电费$a$元($a＞400$).
①乙用户的用电量是$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{kW}·\mathrm{h}$;(用含$a$的代数式表示)
②如果乙用户6月份缴纳的电费也是$a$元,
那么乙用户6月份比4月份多用电$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{kW}·\mathrm{h}$.
(1)若甲用户4月份的用电量为$500\ \mathrm{kW}·\mathrm{h}$,则甲用户应缴纳电费多少元?
(2)已知乙用户4月份缴纳电费$a$元($a＞400$).
①乙用户的用电量是$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{kW}·\mathrm{h}$;(用含$a$的代数式表示)
②如果乙用户6月份缴纳的电费也是$a$元,
那么乙用户6月份比4月份多用电$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{kW}·\mathrm{h}$.
答案
3. 解:(1) 200×0. 6+(400-200)×0. 7+(500-400)×0. 9=350(元).
答:甲用户应缴纳电费350元.
(2)① $\frac{10a+1\ 000}{9}$
② 50 [启发与线索] $(\frac{10a-3\ 950}{9}+600)-\frac{10a+1\ 000}{9}=\frac{10a+1\ 450}{9}-\frac{10a+1\ 000}{9}=50(\mathrm{kW}·\mathrm{h}).$
答:甲用户应缴纳电费350元.
(2)① $\frac{10a+1\ 000}{9}$
② 50 [启发与线索] $(\frac{10a-3\ 950}{9}+600)-\frac{10a+1\ 000}{9}=\frac{10a+1\ 450}{9}-\frac{10a+1\ 000}{9}=50(\mathrm{kW}·\mathrm{h}).$
解析
【分析】
(1) 首先明确4月份属于非夏季，对应非夏季阶梯电价标准：用电量500kW·h需分三档计费，第一档0~200kW·h按0.6元/(kW·h)计费，第二档201~400kW·h按0.7元/(kW·h)计费，第三档401kW·h及以上按0.9元/(kW·h)计费，分别计算每档电费后相加即可得到总电费。
(2) ① 先计算非夏季前两档的最高电费为260元，已知$a＞400＞260$，说明4月份用电量在第三档，设用电量为$x$kW·h，根据“总电费=前两档总电费+第三档电费”列等式，变形即可得到$x$关于$a$的代数式。
② 6月份属于夏季，先计算夏季前两档最高电费为395元，$a＞400＞395$，说明6月份用电量也在夏季第三档，同理列等式求出6月份用电量的代数式，两个代数式作差即可得到用电量差值。
【解析】
(1) 4月份执行非夏季标准，500kW·h分三档计费：
第一档电费：$200×0.6=120$（元）
第二档电费：$(400-200)×0.7=140$（元）
第三档电费：$(500-400)×0.9=90$（元）
总电费：$120+140+90=350$（元）
(2) ① 非夏季前两档最高电费：$200×0.6 + 200×0.7=260$元，因$a＞400＞260$，故4月用电量在第三档。
设4月用电量为$x$kW·h，列方程：
$260 + 0.9(x-400)=a$
整理得：$0.9x=a+100$
解得：$x=\frac{10a+1000}{9}$
② 6月执行夏季标准，夏季前两档最高电费：$250×0.6 + (600-250)×0.7=395$元，因$a＞400＞395$，故6月用电量在第三档。
设6月用电量为$y$kW·h，列方程：
$395 + 0.9(y-600)=a$
整理得：$0.9y=a+145$
解得：$y=\frac{10a+1450}{9}$
6月比4月多用电量：$y-x=\frac{10a+1450}{9}-\frac{10a+1000}{9}=50$（kW·h）
【答案】
(1) 甲用户应缴纳电费350元；
(2) ① $\boxed{\dfrac{10a+1000}{9}}$；② $\boxed{50}$
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的应用；列代数式
【点评】
本题结合生活中阶梯电价的实际场景，考查分段计费的计算方法，解题关键是先根据电费金额判断用电量所属的档位，再结合档位收费标准列算式或方程求解，注意区分夏季和非夏季的档位区间划分，避免混淆计费标准。
【难度系数】
0.6
(1) 首先明确4月份属于非夏季，对应非夏季阶梯电价标准：用电量500kW·h需分三档计费，第一档0~200kW·h按0.6元/(kW·h)计费，第二档201~400kW·h按0.7元/(kW·h)计费，第三档401kW·h及以上按0.9元/(kW·h)计费，分别计算每档电费后相加即可得到总电费。
(2) ① 先计算非夏季前两档的最高电费为260元，已知$a＞400＞260$，说明4月份用电量在第三档，设用电量为$x$kW·h，根据“总电费=前两档总电费+第三档电费”列等式，变形即可得到$x$关于$a$的代数式。
② 6月份属于夏季，先计算夏季前两档最高电费为395元，$a＞400＞395$，说明6月份用电量也在夏季第三档，同理列等式求出6月份用电量的代数式，两个代数式作差即可得到用电量差值。
【解析】
(1) 4月份执行非夏季标准，500kW·h分三档计费：
第一档电费：$200×0.6=120$（元）
第二档电费：$(400-200)×0.7=140$（元）
第三档电费：$(500-400)×0.9=90$（元）
总电费：$120+140+90=350$（元）
(2) ① 非夏季前两档最高电费：$200×0.6 + 200×0.7=260$元，因$a＞400＞260$，故4月用电量在第三档。
设4月用电量为$x$kW·h，列方程：
$260 + 0.9(x-400)=a$
整理得：$0.9x=a+100$
解得：$x=\frac{10a+1000}{9}$
② 6月执行夏季标准，夏季前两档最高电费：$250×0.6 + (600-250)×0.7=395$元，因$a＞400＞395$，故6月用电量在第三档。
设6月用电量为$y$kW·h，列方程：
$395 + 0.9(y-600)=a$
整理得：$0.9y=a+145$
解得：$y=\frac{10a+1450}{9}$
6月比4月多用电量：$y-x=\frac{10a+1450}{9}-\frac{10a+1000}{9}=50$（kW·h）
【答案】
(1) 甲用户应缴纳电费350元；
(2) ① $\boxed{\dfrac{10a+1000}{9}}$；② $\boxed{50}$
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的应用；列代数式
【点评】
本题结合生活中阶梯电价的实际场景，考查分段计费的计算方法，解题关键是先根据电费金额判断用电量所属的档位，再结合档位收费标准列算式或方程求解，注意区分夏季和非夏季的档位区间划分，避免混淆计费标准。
【难度系数】
0.6
4. 小明制作的简易杆秤如图所示,其中秤盘质量为10 g,重物质量为m g,秤砣质量为100 g,提纽与秤盘的水平距离为l cm,提纽与零刻度线的水平距离为a cm,零刻度线与末刻度线的水平距离为50 cm.当秤盘中不放重物,秤砣在零刻度线时,秤杆平衡;当在秤盘中放入质量为500 g的重物,秤砣从零刻度线移至末刻度线时,秤杆平衡.
(1)l与a的数量关系是
(2)列方程求解:小明在秤盘中放了一个笔记本,当秤砣位于零刻度线右侧15 cm处时,杆秤平衡.求笔记本的质量.
(1)l与a的数量关系是
$l=10a$
.(2)列方程求解:小明在秤盘中放了一个笔记本,当秤砣位于零刻度线右侧15 cm处时,杆秤平衡.求笔记本的质量.
答案
4. 解:(1) $l=10a$
(2) 由题意得$(10+500)·l=100(a+50)$.
由(1)知$l=10a$,
所以$(10+500)×10a=100(a+50)$.
解得$a=1$. 所以$l=10$.
设笔记本的质量为$m$ g,
由题意得$(10+m)×10=100×(1+15)$.
解得$m=150$.
答:笔记本的质量为150 g.
(2) 由题意得$(10+500)·l=100(a+50)$.
由(1)知$l=10a$,
所以$(10+500)×10a=100(a+50)$.
解得$a=1$. 所以$l=10$.
设笔记本的质量为$m$ g,
由题意得$(10+m)×10=100×(1+15)$.
解得$m=150$.
答:笔记本的质量为150 g.
解析
【分析】
本题结合杠杆平衡原理求解，平衡时两侧“质量×对应力臂”的乘积相等（重力加速度可约去）。(1)空秤平衡时，左侧秤盘的力矩与右侧零刻度处秤砣的力矩相等，据此列等式即可推导l和a的数量关系；(2)先利用“放入500g重物时秤砣在末刻度平衡”的条件，结合(1)的结论求出a、l的具体数值，再设笔记本质量为未知数，根据新的平衡状态列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 当秤盘不放重物、秤砣在零刻度线时杆秤平衡，根据杠杆平衡条件列等式：
$10 × l = 100 × a$
化简得$l=10a$。
(2) 当秤盘放入500g重物，秤砣移至末刻度线时平衡，此时左侧总质量为$10+500\ \mathrm{g}$，力臂为$l$；右侧秤砣的力臂为提纽到末刻度的距离，即$(a+50)\ \mathrm{cm}$，列平衡方程：
$(10+500)· l=100(a+50)$
将$l=10a$代入上式：
$510×10a=100(a+50)$
$5100a=100a+5000$
$5000a=5000$
解得$a=1$，则$l=10a=10$。
设笔记本的质量为$m\ \mathrm{g}$，此时秤砣在零刻度线右侧15cm，故秤砣的力臂为$(1+15)\ \mathrm{cm}$，列平衡方程：
$(10+m)×10=100×(1+15)$
$100+10m=1600$
$10m=1500$
解得$m=150$。
【答案】
(1)$l=10a$
(2)笔记本的质量为150 g
【知识点】
杠杆平衡条件；一元一次方程的应用；列方程解应用题
【点评】
本题是跨学科的应用型题目，解题核心是准确找到每次平衡时两侧的质量、对应力臂，正确列出力矩相等的关系式，解题时注意不要忽略秤盘自身的质量，秤砣的力臂需从提纽处开始计算，而非从零刻度线计算。
【难度系数】
0.7
本题结合杠杆平衡原理求解，平衡时两侧“质量×对应力臂”的乘积相等（重力加速度可约去）。(1)空秤平衡时，左侧秤盘的力矩与右侧零刻度处秤砣的力矩相等，据此列等式即可推导l和a的数量关系；(2)先利用“放入500g重物时秤砣在末刻度平衡”的条件，结合(1)的结论求出a、l的具体数值，再设笔记本质量为未知数，根据新的平衡状态列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 当秤盘不放重物、秤砣在零刻度线时杆秤平衡，根据杠杆平衡条件列等式：
$10 × l = 100 × a$
化简得$l=10a$。
(2) 当秤盘放入500g重物，秤砣移至末刻度线时平衡，此时左侧总质量为$10+500\ \mathrm{g}$，力臂为$l$；右侧秤砣的力臂为提纽到末刻度的距离，即$(a+50)\ \mathrm{cm}$，列平衡方程：
$(10+500)· l=100(a+50)$
将$l=10a$代入上式：
$510×10a=100(a+50)$
$5100a=100a+5000$
$5000a=5000$
解得$a=1$，则$l=10a=10$。
设笔记本的质量为$m\ \mathrm{g}$，此时秤砣在零刻度线右侧15cm，故秤砣的力臂为$(1+15)\ \mathrm{cm}$，列平衡方程：
$(10+m)×10=100×(1+15)$
$100+10m=1600$
$10m=1500$
解得$m=150$。
【答案】
(1)$l=10a$
(2)笔记本的质量为150 g
【知识点】
杠杆平衡条件；一元一次方程的应用；列方程解应用题
【点评】
本题是跨学科的应用型题目，解题核心是准确找到每次平衡时两侧的质量、对应力臂，正确列出力矩相等的关系式，解题时注意不要忽略秤盘自身的质量，秤砣的力臂需从提纽处开始计算，而非从零刻度线计算。
【难度系数】
0.7
