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1. 下列方程中,是一元一次方程的是 (
A.$2x+2=3x-x+2$
B.$\frac{2}{x}+x=1$
C.$x^2+1=5$
D.$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=5$
D
)A.$2x+2=3x-x+2$
B.$\frac{2}{x}+x=1$
C.$x^2+1=5$
D.$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=5$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断哪个是一元一次方程，首先要牢记一元一次方程的三个判定条件：1.只含有1个未知数；2.未知数的最高次数为1；3.等号两边都是整式（即分母中不含未知数）。解题时先明确判定标准，再逐个分析选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元一次方程需同时满足三个条件：只含1个未知数、未知数次数为1、是整式方程。我们逐个分析选项：
选项A：先化简等式右边：$3x-x+2=2x+2$，原方程变为$2x+2=2x+2$，移项后可得$0=0$，不含未知数，不属于一元一次方程，排除；
选项B：分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
选项C：未知数$x$的最高次数是2，属于一元二次方程，不符合要求，排除；
选项D：只含有1个未知数$x$，$x$的次数为1，分母都是常数属于整式方程，完全符合一元一次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的判定、整式方程的概念
【点评】
本题核心考查对一元一次方程定义的理解，解题时要注意不要仅观察原式的表面形式，首先要判断是否为整式方程，其次需要先化简方程再判断未知数的次数和个数，易错点是误选A忽略化简后未知数被消去的情况，或是误将分母含未知数的分式方程当成一元一次方程。
【难度系数】
0.7
要判断哪个是一元一次方程，首先要牢记一元一次方程的三个判定条件：1.只含有1个未知数；2.未知数的最高次数为1；3.等号两边都是整式（即分母中不含未知数）。解题时先明确判定标准，再逐个分析选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元一次方程需同时满足三个条件：只含1个未知数、未知数次数为1、是整式方程。我们逐个分析选项：
选项A：先化简等式右边：$3x-x+2=2x+2$，原方程变为$2x+2=2x+2$，移项后可得$0=0$，不含未知数，不属于一元一次方程，排除；
选项B：分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
选项C：未知数$x$的最高次数是2，属于一元二次方程，不符合要求，排除；
选项D：只含有1个未知数$x$，$x$的次数为1，分母都是常数属于整式方程，完全符合一元一次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的判定、整式方程的概念
【点评】
本题核心考查对一元一次方程定义的理解，解题时要注意不要仅观察原式的表面形式，首先要判断是否为整式方程，其次需要先化简方程再判断未知数的次数和个数，易错点是误选A忽略化简后未知数被消去的情况，或是误将分母含未知数的分式方程当成一元一次方程。
【难度系数】
0.7
2. 下列变形中,错误的是（
A.若 $ x=y $, 则 $ xm -6 = ym -6 $
B.若 $ a=b $, 则 $ \frac{a}{t^2 +1} = \frac{b}{t^2 +1} $
C.若 $ x=3 $, 则 $ x^2 = 3x $
D.若 $ mx = nx $, 则 $ m = n $
D
）A.若 $ x=y $, 则 $ xm -6 = ym -6 $
B.若 $ a=b $, 则 $ \frac{a}{t^2 +1} = \frac{b}{t^2 +1} $
C.若 $ x=3 $, 则 $ x^2 = 3x $
D.若 $ mx = nx $, 则 $ m = n $
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两个基本性质：①等式两边同时加或减同一个整式，等式仍然成立；②等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。接下来逐一验证每个选项的变形是否符合上述性质，尤其要注意除法变形时，除数不能为0的限制条件，最终找出错误的变形选项。
【解析】
我们根据等式的基本性质逐个分析选项：
A选项：已知$x=y$，先根据等式性质2，两边同时乘$m$得$xm=ym$，再根据等式性质1，两边同时减6得$xm-6=ym-6$，变形正确，不符合题意。
B选项：因为$t^2≥0$，所以$t^2+1≥1$，即$t^2+1$恒不为0。已知$a=b$，根据等式性质2，两边同时除以不为0的$t^2+1$，可得$\frac{a}{t^2 +1} = \frac{b}{t^2 +1}$，变形正确，不符合题意。
C选项：已知$x=3$，根据等式性质2，两边同时乘$x$（$x=3≠0$），可得$x^2=3x$；也可代入验证：左边$=3^2=9$，右边$=3×3=9$，等式成立，变形正确，不符合题意。
D选项：已知$mx=nx$，若$x=0$，此时无论$m$、$n$是否相等，等式左右两边均为0，因此不能直接两边除以$x$得到$m=n$，只有当$x≠0$时才能推出$m=n$，该变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质、平方的非负性
【点评】
本题属于等式性质应用的高频易错题，核心易错点是忽略等式两边同时除以一个含字母的式子时，必须先确认该式子不为0，遇到含字母系数的等式变形时，要注意考虑系数为0的特殊情况，避免因考虑不全面出错。
【难度系数】
0.6
本题考查等式基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两个基本性质：①等式两边同时加或减同一个整式，等式仍然成立；②等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。接下来逐一验证每个选项的变形是否符合上述性质，尤其要注意除法变形时，除数不能为0的限制条件，最终找出错误的变形选项。
【解析】
我们根据等式的基本性质逐个分析选项：
A选项：已知$x=y$，先根据等式性质2，两边同时乘$m$得$xm=ym$，再根据等式性质1，两边同时减6得$xm-6=ym-6$，变形正确，不符合题意。
B选项：因为$t^2≥0$，所以$t^2+1≥1$，即$t^2+1$恒不为0。已知$a=b$，根据等式性质2，两边同时除以不为0的$t^2+1$，可得$\frac{a}{t^2 +1} = \frac{b}{t^2 +1}$，变形正确，不符合题意。
C选项：已知$x=3$，根据等式性质2，两边同时乘$x$（$x=3≠0$），可得$x^2=3x$；也可代入验证：左边$=3^2=9$，右边$=3×3=9$，等式成立，变形正确，不符合题意。
D选项：已知$mx=nx$，若$x=0$，此时无论$m$、$n$是否相等，等式左右两边均为0，因此不能直接两边除以$x$得到$m=n$，只有当$x≠0$时才能推出$m=n$，该变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质、平方的非负性
【点评】
本题属于等式性质应用的高频易错题，核心易错点是忽略等式两边同时除以一个含字母的式子时，必须先确认该式子不为0，遇到含字母系数的等式变形时，要注意考虑系数为0的特殊情况，避免因考虑不全面出错。
【难度系数】
0.6
3.小亮解方程$8x - 4 = 1 - 3x + 6$的过程如下.
(1)小亮的解答过程从第
(2)请写出正确的解答过程.
(1)小亮的解答过程从第
一
步开始出错,这一步错误的原因是移项时-4没有变号
;(2)请写出正确的解答过程.
答案
3. (1) 一；移项时-4没有变号
(2) 移项,得 8x+3x=1+6+4.
合并同类项,得 11x=11.
系数化为1,得 x=1.
(2) 移项,得 8x+3x=1+6+4.
合并同类项,得 11x=11.
系数化为1,得 x=1.
解析
【分析】
（1）判断解题步骤是否出错要结合移项的规则：移项必须改变符号。观察小亮的解题过程，原方程左边的常数项-4移到等号右侧时符号没有改变，因此第一步就存在错误。（2）正确解答要严格遵循解一元一次方程的步骤：首先正确移项，把含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，注意移项要变号；接下来合并同类项，最后将未知数的系数化为1，就能得到方程的正确解。
【解析】
(1) 原方程为$8x - 4 = 1 - 3x + 6$，移项时等号左侧的$-4$移到右侧需要变为$+4$，但小亮第一步写为$8x+3x=1+6-4$，$-4$移项后没有变号，因此从第一步开始出错，错误原因是移项时$-4$没有变号。
(2) 正确解答过程如下：
移项，得 $8x+3x=1+6+4$
合并同类项，得 $11x=11$
系数化为1，得 $x=1$
【答案】
(1) 一；移项时-4没有变号
(2) 移项,得 8x+3x=1+6+4.
合并同类项,得 11x=11.
系数化为1,得 x=1.
【知识点】
移项法则，解一元一次方程，合并同类项
【点评】
本题重点考查解一元一次方程时移项的注意事项，移项的核心要求是“移项要变号”，未发生移动的项符号保持不变，熟练掌握该规则是避免此类符号错误的关键，也能为后续解更复杂的方程打好基础。
【难度系数】
0.7
（1）判断解题步骤是否出错要结合移项的规则：移项必须改变符号。观察小亮的解题过程，原方程左边的常数项-4移到等号右侧时符号没有改变，因此第一步就存在错误。（2）正确解答要严格遵循解一元一次方程的步骤：首先正确移项，把含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，注意移项要变号；接下来合并同类项，最后将未知数的系数化为1，就能得到方程的正确解。
【解析】
(1) 原方程为$8x - 4 = 1 - 3x + 6$，移项时等号左侧的$-4$移到右侧需要变为$+4$，但小亮第一步写为$8x+3x=1+6-4$，$-4$移项后没有变号，因此从第一步开始出错，错误原因是移项时$-4$没有变号。
(2) 正确解答过程如下：
移项，得 $8x+3x=1+6+4$
合并同类项，得 $11x=11$
系数化为1，得 $x=1$
【答案】
(1) 一；移项时-4没有变号
(2) 移项,得 8x+3x=1+6+4.
合并同类项,得 11x=11.
系数化为1,得 x=1.
【知识点】
移项法则，解一元一次方程，合并同类项
【点评】
本题重点考查解一元一次方程时移项的注意事项，移项的核心要求是“移项要变号”，未发生移动的项符号保持不变，熟练掌握该规则是避免此类符号错误的关键，也能为后续解更复杂的方程打好基础。
【难度系数】
0.7
4.下面是某同学解方程$\frac{x-7}{3}-\frac{1+x}{2}=1$的过程.
解:去分母,得$2(x-7)-3(1+x)=6$. …第一步
去括号,得$2x-14-3+x=6$. …………第二步
移项,得$2x+x=6+14+3$. ……………第三步
合并同类项,得$3x=23$. ……………第四步
系数化为1,得$x=\frac{23}{3}$. ……………第五步
(1)以上解题过程中,从第
(2)请直接写出该方程正确的解:
解:去分母,得$2(x-7)-3(1+x)=6$. …第一步
去括号,得$2x-14-3+x=6$. …………第二步
移项,得$2x+x=6+14+3$. ……………第三步
合并同类项,得$3x=23$. ……………第四步
系数化为1,得$x=\frac{23}{3}$. ……………第五步
(1)以上解题过程中,从第
二
步开始出现错误;(2)请直接写出该方程正确的解:
$x=-23$
.答案
4. (1) 二
(2) $x=-23$
(2) $x=-23$
解析
【分析】
这道题考查一元一次方程的解题步骤正误判断与正确求解，解题时先回忆解一元一次方程的标准步骤及每一步的运算要求，首先逐行核对给出的解题过程：①先检查去分母步骤：分母3和2的最小公倍数是6，方程两边每一项同乘6，第一步得到的式子是正确的；②再检查去括号步骤：去括号时要遵循乘法分配律，括号前是负号时，括号内每一项都要变号，$-3$乘$(1+x)$应得到$-3-3x$，对比题干第二步发现它把$-3x$错写成了$+x$，由此可判断出错步骤；再按照正确运算规则重新解方程即可得到正确解。
【解析】
(1) 逐步骤核对运算：
第一步：去分母，方程两边同时乘6，得$2(x-7)-3(1+x)=6$，运算正确；
第二步：去括号，根据乘法分配律和去括号法则，$2(x-7)=2x-14$，$-3(1+x)=-3-3x$，因此去括号后应为$2x-14-3-3x=6$，题干中第二步将$-3x$错写为$+x$，因此从第二步开始出错。
(2) 正确求解过程：
去分母，得$2(x-7)-3(1+x)=6$
去括号，得$2x-14-3-3x=6$
移项，得$2x-3x=6+14+3$
合并同类项，得$-x=23$
系数化为1，得$x=-23$
【答案】
(1) 二
(2) $x=-23$
【知识点】
解一元一次方程；去括号法则；乘法分配律
【点评】
本题是解一元一次方程的常见易错题型，重点考查去括号环节的运算规范，解题时要注意括号前系数为负数时，括号内每一项都要乘系数且变号，避免出现符号错误或漏乘错误，平时练习时要养成每步核对的习惯，提升运算准确率。
【难度系数】
0.7
这道题考查一元一次方程的解题步骤正误判断与正确求解，解题时先回忆解一元一次方程的标准步骤及每一步的运算要求，首先逐行核对给出的解题过程：①先检查去分母步骤：分母3和2的最小公倍数是6，方程两边每一项同乘6，第一步得到的式子是正确的；②再检查去括号步骤：去括号时要遵循乘法分配律，括号前是负号时，括号内每一项都要变号，$-3$乘$(1+x)$应得到$-3-3x$，对比题干第二步发现它把$-3x$错写成了$+x$，由此可判断出错步骤；再按照正确运算规则重新解方程即可得到正确解。
【解析】
(1) 逐步骤核对运算：
第一步：去分母，方程两边同时乘6，得$2(x-7)-3(1+x)=6$，运算正确；
第二步：去括号，根据乘法分配律和去括号法则，$2(x-7)=2x-14$，$-3(1+x)=-3-3x$，因此去括号后应为$2x-14-3-3x=6$，题干中第二步将$-3x$错写为$+x$，因此从第二步开始出错。
(2) 正确求解过程：
去分母，得$2(x-7)-3(1+x)=6$
去括号，得$2x-14-3-3x=6$
移项，得$2x-3x=6+14+3$
合并同类项，得$-x=23$
系数化为1，得$x=-23$
【答案】
(1) 二
(2) $x=-23$
【知识点】
解一元一次方程；去括号法则；乘法分配律
【点评】
本题是解一元一次方程的常见易错题型，重点考查去括号环节的运算规范，解题时要注意括号前系数为负数时，括号内每一项都要乘系数且变号，避免出现符号错误或漏乘错误，平时练习时要养成每步核对的习惯，提升运算准确率。
【难度系数】
0.7
5. (2025浙江绍兴柯桥区期末)小红在解方程$\frac{2x+1}{5}=\frac{x-2}{3}+1$时,第一步出现了错误:
(1)请在上面的方框中用横线划出小红的错误之处；
(2)写出正确的解答过程.
(1)请在上面的方框中用横线划出小红的错误之处；
(2)写出正确的解答过程.
答案
5. (1) 如图.
(2) 去分母,得 3(2x+1)=5(x-2)+15.
去括号,得 6x+3=5x-10+15.
移项,得 6x-5x=-10+15-3.
合并同类项,得 x=2.
(2) 去分母,得 3(2x+1)=5(x-2)+15.
去括号,得 6x+3=5x-10+15.
移项,得 6x-5x=-10+15-3.
合并同类项,得 x=2.
解析
【分析】
(1) 找错误时先回忆去分母的依据：等式的性质2，即等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立。原方程两个分母是3和5，最小公倍数是15，因此去分母时等式两边的每一项都要乘15，小红仅给含分母的两项乘了15，漏乘了右侧不含分母的常数项1，据此可定位错误位置。
(2) 正确解题按一元一次方程的标准步骤执行：先去分母，保证每一项都乘15，再依次去括号、移项（移项要变号）、合并同类项即可得到方程的解。
【解析】
(1) 小红的错误为去分母时漏乘常数项，错误处是去分母后式子$3(2x+1)=5(x-2)+1$中的“$+1$”，用横线划出该部分即可。
(2) 正确解答过程：
去分母，得 $3(2x+1)=5(x-2)+15$，
去括号，得 $6x+3=5x-10+15$，
移项，得 $6x-5x=-10+15-3$，
合并同类项，得 $x=2$。
【答案】
(1) 划出$3(2x+1)=5(x-2)+1$中的“$+1$”；
(2) $x=2$，过程见解析。
【知识点】
等式的性质，解一元一次方程，去分母法则
【点评】
本题是解方程的高频易错题，核心考查去分母的注意事项，去分母时切记要给等式所有项都乘各分母的最小公倍数，不能漏乘不含分母的项，掌握该规则可大大降低解方程的基础错误率。
【难度系数】
0.7
(1) 找错误时先回忆去分母的依据：等式的性质2，即等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立。原方程两个分母是3和5，最小公倍数是15，因此去分母时等式两边的每一项都要乘15，小红仅给含分母的两项乘了15，漏乘了右侧不含分母的常数项1，据此可定位错误位置。
(2) 正确解题按一元一次方程的标准步骤执行：先去分母，保证每一项都乘15，再依次去括号、移项（移项要变号）、合并同类项即可得到方程的解。
【解析】
(1) 小红的错误为去分母时漏乘常数项，错误处是去分母后式子$3(2x+1)=5(x-2)+1$中的“$+1$”，用横线划出该部分即可。
(2) 正确解答过程：
去分母，得 $3(2x+1)=5(x-2)+15$，
去括号，得 $6x+3=5x-10+15$，
移项，得 $6x-5x=-10+15-3$，
合并同类项，得 $x=2$。
【答案】
(1) 划出$3(2x+1)=5(x-2)+1$中的“$+1$”；
(2) $x=2$，过程见解析。
【知识点】
等式的性质，解一元一次方程，去分母法则
【点评】
本题是解方程的高频易错题，核心考查去分母的注意事项，去分母时切记要给等式所有项都乘各分母的最小公倍数，不能漏乘不含分母的项，掌握该规则可大大降低解方程的基础错误率。
【难度系数】
0.7
6. 甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，全程3.1 km. 如果小明在上坡路上的平均速度为3 km/h，在平路上的平均速度为4 km/h，那么他从甲地到乙地需54 min. 甲地到乙地上坡路和平路各是多少千米？若设甲地到乙地上坡路是x km，则下列所列方程正确的是（
A.$\frac{x}{3} + \frac{3.1 - x}{4} = 54$
B.$\frac{3.1 - x}{3} + \frac{x}{4} = 54$
C.$\frac{x}{3} + \frac{3.1 - x}{4} = \frac{9}{10}$
D.$\frac{3.1 - x}{3} + \frac{x}{4} = \frac{9}{10}$
C
）A.$\frac{x}{3} + \frac{3.1 - x}{4} = 54$
B.$\frac{3.1 - x}{3} + \frac{x}{4} = 54$
C.$\frac{x}{3} + \frac{3.1 - x}{4} = \frac{9}{10}$
D.$\frac{3.1 - x}{3} + \frac{x}{4} = \frac{9}{10}$
答案
6. C
解析
【分析】
这是行程类一元一次方程应用题，解题核心是利用“总时间=上坡时间+平路时间”的等量关系列方程。首先注意单位统一：题目中速度单位是km/h，给出的时间是分钟，需先把54分钟换算为以小时为单位的量；再根据设出的上坡路程x km，推出平路路程为(3.1-x)km，结合“时间=路程÷速度”分别表示出上坡、平路的行驶时间，最后加和等于总时间即可得到对应方程。
【解析】
第一步：统一时间单位
$54\mathrm{min}=\frac{54}{60}\mathrm{h}=\frac{9}{10}\mathrm{h}$
第二步：表示各路段路程和时间
已知上坡路长为$x\mathrm{km}$，则平路长为$(3.1-x)\mathrm{km}$。
根据公式$\mathrm{时间}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$，可得：
上坡行驶时间：$\frac{x}{3}\mathrm{h}$
平路行驶时间：$\frac{3.1-x}{4}\mathrm{h}$
第三步：根据总时间列方程
总时间为上坡时间加平路时间，因此可列方程：
$\frac{x}{3}+\frac{3.1-x}{4}=\frac{9}{10}$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
行程问题公式；一元一次方程应用；时间单位换算
【点评】
本题易错点是忽略时间单位的统一，直接用54代入列方程误选A，解题时需先确认所有物理量单位匹配后，再根据等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.7
这是行程类一元一次方程应用题，解题核心是利用“总时间=上坡时间+平路时间”的等量关系列方程。首先注意单位统一：题目中速度单位是km/h，给出的时间是分钟，需先把54分钟换算为以小时为单位的量；再根据设出的上坡路程x km，推出平路路程为(3.1-x)km，结合“时间=路程÷速度”分别表示出上坡、平路的行驶时间，最后加和等于总时间即可得到对应方程。
【解析】
第一步：统一时间单位
$54\mathrm{min}=\frac{54}{60}\mathrm{h}=\frac{9}{10}\mathrm{h}$
第二步：表示各路段路程和时间
已知上坡路长为$x\mathrm{km}$，则平路长为$(3.1-x)\mathrm{km}$。
根据公式$\mathrm{时间}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$，可得：
上坡行驶时间：$\frac{x}{3}\mathrm{h}$
平路行驶时间：$\frac{3.1-x}{4}\mathrm{h}$
第三步：根据总时间列方程
总时间为上坡时间加平路时间，因此可列方程：
$\frac{x}{3}+\frac{3.1-x}{4}=\frac{9}{10}$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
行程问题公式；一元一次方程应用；时间单位换算
【点评】
本题易错点是忽略时间单位的统一，直接用54代入列方程误选A，解题时需先确认所有物理量单位匹配后，再根据等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.7
