1.若$a - b - c = a - ( )$成立，则括号内应填入()。

A.$b - c$
B.$b + c$
C.$-b + c$
D.$-b - c$

1. B

【分析】
这道题考查添括号法则的应用，解题时首先明确添括号的规则：当括号前是负号时，括入括号内的所有项都要改变符号。我们观察等式左边的式子是$a - b - c$，要将后面的$-b$和$-c$两项括到前面带“-”的括号里，只需将这两项分别变号后放入括号即可得到答案。
【解析】
根据添括号法则：添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都要改变符号。
对等式左边$a - b - c$变形，将$-b$和$-c$括入前面带“$-$”的括号中：
$-b$变号为$b$，$-c$变号为$c$，因此$a - b - c = a - (b + c)$，所以括号内应填$b + c$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
添括号法则
【点评】
本题属于基础概念应用题，易错点是容易只改变括号内第一项的符号，忽略第二项也需要变号，掌握添括号的符号变化规律是解题的关键。
【难度系数】
0.9

2. 为了运用平方差公式计算$(2x+y+z)·(y-2x-z)$，下列变形正确的是().

A.$[2x-(y+z)]^2$
B.$[2x+(y+z)][2x-(y+z)]$
C.$[y+(2x+z)][y-(2x+z)]$
D.$[z+(2x+y)][z-(2x+y)]$

2. C

【分析】
首先回忆平方差公式的结构特征：两个因式相乘，满足有一项完全相同，另一项互为相反数，即形如$(a+b)(a-b)$的结构就可以用平方差公式计算。解题时先观察原式的两个因式$(2x+y+z)$和$(y-2x-z)$，先找到两个因式中完全相同的项，再把剩余互为相反数的部分看成一个整体，利用添括号法则对原式变形，看哪个选项符合平方差的结构即可。
【解析】
平方差公式为：$\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，公式的核心特征是两个因式中存在一项完全相同，另一项互为相反数。
观察原式的两个因式：
相同项为$y$，是两个因式共有的项；
第一个因式中除$y$外的部分为$2x+z$，第二个因式中除$y$外的部分为$-2x-z=-(2x+z)$，二者互为相反数。
根据添括号法则，对两个因式变形：
$2x+y+z = y+(2x+z)$，$y-2x-z = y-(2x+z)$
因此原式可变形为$[y+(2x+z)][y-(2x+z)]$，符合平方差公式的结构，对应选项C。
再逐一排除错误选项：
A选项是完全平方的形式，不符合两个因式相乘的结构，排除；
B选项中相同项为$2x$，但原式第二个因式不符合$2x-(y+z)$的结构，排除；
D选项中相同项为$z$，但原式第二个因式不符合$z-(2x+y)$的结构，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式的特征
2. 添括号法则
【点评】
本题重点考查平方差公式的结构识别和添括号法则的应用，解题的关键是准确定位两个因式中的相同项和相反项，将相反项作为整体进行添括号变形，要注意添括号时若括号前为负号，括号内各项都要改变符号。
【难度系数】
0.8

3.在等号右边的括号内填上适当的项：
$a - 2b + 3c = -(\_\_\_\_\_\_).$

$-a + 2b - 3c$

【分析】
本题考查添括号的应用，解题思路如下：首先回忆添括号法则：若添括号后括号前是负号，括到括号里的所有项都要改变原来的符号。本题要求将$a-2b+3c$写成$-(\quad)$的形式，相当于把原多项式的全部项都放入带负号的括号内，只需要将原多项式的每一项都变号后填入括号即可。
【解析】
根据添括号法则：括号前面是负号时，括到括号里的各项都要改变符号。
将$a-2b+3c$变形为带负号括号的形式时，原多项式的每一项均需变号：
$a$变为$-a$，$-2b$变为$+2b$，$+3c$变为$-3c$，
因此括号内应填写$-a + 2b - 3c$。
【答案】
$-a + 2b - 3c$
【知识点】
添括号法则
【点评】
本题是添括号法则的基础应用题，解题核心是注意括号前为负号时，括号内所有项都要改变符号，避免出现仅改变第一项符号、其余项忘变号的错误。
【难度系数】
0.8

4. 运用乘法公式计算：
(1)$(a+2b-c)(2b-a-c)$；
(2)$(a+3b-1)^2$。

4. 解 (1)原式$=[(2b-c)+a][(2b-c)-a]$
$=(2b-c)^2 - a^2$
$=4b^2 - 4bc + c^2 - a^2.$
(2)原式$=(a+3b)^2 - 2(a+3b) + 1$
$=a^2 + 6ab + 9b^2 - 2a - 6b + 1.$

【分析】
解这类多项式乘法题时，先观察式子结构，优先考虑用乘法公式简化运算：
(1)观察两个因式的项，发现2b、-c是两个因式共有的项，a的符号相反，因此利用添括号法则，把相同的部分(2b-c)看作整体，将原式转化为“(整体+相反项)(整体-相反项)”的结构，刚好符合平方差公式的形式，先套用平方差公式计算，再展开完全平方项即可。
(2)原式是三项的平方，可将其中两项结合看作整体，这里把a+3b看作整体，原式转化为“(整体-1)²”的结构，符合完全平方差公式，先套用完全平方公式展开，再展开整体的平方，整理即可得到结果。
【解析】
(1) 先将原式变形构造平方差公式：
原式$=[(2b-c)+a][(2b-c)-a]$
根据平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，可得：
$=(2b-c)^2 - a^2$
再根据完全平方公式展开$(2b-c)^2$：
$=4b^2 - 4bc + c^2 - a^2$
(2) 先将原式变形构造完全平方公式：
原式$=[(a+3b)-1]^2$
根据完全平方差公式$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，可得：
$=(a+3b)^2 - 2(a+3b) + 1$
再展开$(a+3b)^2$并去括号：
$=a^2 + 6ab + 9b^2 - 2a - 6b + 1$
【答案】
(1)$4b^2 - 4bc + c^2 - a^2$
(2)$a^2 + 6ab + 9b^2 - 2a - 6b + 1$
【知识点】
添括号法则、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，核心是通过添括号构造符合乘法公式的结构，利用整体思想简化运算，解题时需注意添括号时各项符号的变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8

5. 先化简,再求值:$(2a - b)^2 + (a + 1 - b)(a + 1 + b) - (a + 1)^2$,其中 $a = \frac{1}{2}$, $b = -2$.

5. 解 $(2a-b)^2+(a+1-b)(a+1+b)-(a+1)^2=4a^2-4ab+b^2+(a+1)^2-b^2-(a+1)^2=4a^2-4ab.$
当 $a=\frac{1}{2},b=-2$ 时，
原式$=4×(\frac{1}{2})^2 - 4×\frac{1}{2}×(-2)$
$=1+4$
$=5.$

【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题思路如下：第一步先观察式子结构，识别可使用的乘法公式：①$(2a-b)^2$符合完全平方差公式的形式，可直接展开；②$(a+1-b)(a+1+b)$可将$(a+1)$看作整体，符合平方差公式$(m-n)(m+n)=m^2-n^2$的结构，用平方差公式展开能简化计算；③展开后合并同类项，消去相同的项得到最简整式，最后将$a$、$b$的值代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：先利用乘法公式展开并化简：
$\begin{aligned}&(2a - b)^2 + (a + 1 - b)(a + 1 + b) - (a + 1)^2\\=&4a^2 - 4ab + b^2 + [(a+1)^2 - b^2] - (a+1)^2\\=&4a^2 - 4ab + b^2 + (a+1)^2 - b^2 - (a+1)^2\\=&4a^2 - 4ab\end{aligned}$
再代入$a = \frac{1}{2}$，$b = -2$计算：
$\begin{aligned}原式&=4×(\frac{1}{2})^2 - 4×\frac{1}{2}×(-2)\\&=4×\frac{1}{4} + 4\\&=1 + 4\\&=5\end{aligned}$
【答案】
$5$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活应用，解题时注意运用整体思想识别平方差公式的结构，可大幅简化运算过程，避免直接展开带来的计算错误。
【难度系数】
0.8

6.如果$(a+b+1)(a+b-1)=63$，那么你能求出$\frac{a+b}{2}$的值吗？请写出求解过程。

6. 解 能.
$\because(a+b+1)(a+b-1)=63,$
$\therefore(a+b)^2 - 1=63,$
$\therefore(a+b)^2=64.$
$\therefore a+b=\pm8,$
$\therefore\frac{a+b}{2}=\pm4.$

【分析】
首先观察等式左侧的结构：两个因式中相同的部分是$a+b$，互为相反数的部分是$+1$和$-1$，恰好符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的形式。因此我们可以将$a+b$看作一个整体，先利用平方差公式展开等式求出$(a+b)^2$的取值，再通过开平方得到$a+b$的所有可能值，最后除以2即可求出目标代数式的值，注意正数的平方根有两个，不要遗漏负的结果。
【解析】
解：能求出$\frac{a+b}{2}$的值，求解过程如下：
$\because (a+b+1)(a+b-1)=63$，
将$a+b$看作整体，利用平方差公式展开可得：
$(a+b)^2 - 1^2 = 63$，
整理得：$(a+b)^2 = 64$，
对等式两边开平方得：$a+b = \pm 8$，
$\therefore \frac{a+b}{2} = \frac{\pm8}{2} = \pm4$。
【答案】
能，$\frac{a+b}{2}$的值为$\pm4$
【知识点】
平方差公式、整体代入思想、开平方运算
【点评】
本题侧重考查平方差公式的灵活应用，解题核心是将$a+b$视为整体简化运算，需要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免出现漏写负解的错误。
【难度系数】
0.7