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3.如图，直线AD，BC交于点O，AB//EF//CD。若AO=2，OF=1，FD=2，则$\frac{BE}{EC}$的值为
$\frac{3}{2}$
。答案
$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
看到题目中存在平行直线组$AB// EF// CD$，首先想到运用平行线分线段成比例定理求解。我们可以先通过$AB$与$EF$平行的条件，得到$OB$与$OE$的比例关系；再通过$EF$与$CD$平行的条件，得到$OE$与$EC$的比例关系；最后将$BE$用$OE$表示，$EC$也用$OE$表示，消去中间量$OE$即可求出所求比值。
【解析】
解：$\because AB// EF$
$\therefore$根据平行线分线段成比例，可得$\frac{AO}{OF}=\frac{BO}{OE}$
代入$AO=2$，$OF=1$，得$\frac{2}{1}=\frac{BO}{OE}$，即$BO=2OE$
$\because EF// CD$
$\therefore$同理可得$\frac{OF}{FD}=\frac{OE}{EC}$
代入$OF=1$，$FD=2$，得$\frac{1}{2}=\frac{OE}{EC}$，即$EC=2OE$
又$\because BE=BO+OE=2OE+OE=3OE$
$\therefore \frac{BE}{EC}=\frac{3OE}{2OE}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
平行线分线段成比例、相似三角形的性质、比例运算
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题型，解题核心是通过两组平行关系分别得到线段间的比例，借助中间量$OE$建立所求线段的联系，即可顺利求出比值，是几何比例类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
看到题目中存在平行直线组$AB// EF// CD$，首先想到运用平行线分线段成比例定理求解。我们可以先通过$AB$与$EF$平行的条件，得到$OB$与$OE$的比例关系；再通过$EF$与$CD$平行的条件，得到$OE$与$EC$的比例关系；最后将$BE$用$OE$表示，$EC$也用$OE$表示，消去中间量$OE$即可求出所求比值。
【解析】
解：$\because AB// EF$
$\therefore$根据平行线分线段成比例，可得$\frac{AO}{OF}=\frac{BO}{OE}$
代入$AO=2$，$OF=1$，得$\frac{2}{1}=\frac{BO}{OE}$，即$BO=2OE$
$\because EF// CD$
$\therefore$同理可得$\frac{OF}{FD}=\frac{OE}{EC}$
代入$OF=1$，$FD=2$，得$\frac{1}{2}=\frac{OE}{EC}$，即$EC=2OE$
又$\because BE=BO+OE=2OE+OE=3OE$
$\therefore \frac{BE}{EC}=\frac{3OE}{2OE}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
平行线分线段成比例、相似三角形的性质、比例运算
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题型，解题核心是通过两组平行关系分别得到线段间的比例，借助中间量$OE$建立所求线段的联系，即可顺利求出比值，是几何比例类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
4.如图，在$△ ABC$中，点$D,F$在边$AB$上，点$E$在边$AC$上，且$DE// BC$，$EF// CD$，$AF=3$，$AD=5$，$AE=4$。
(1)$CE$的长为
(2)$AB$的长为
(1)$CE$的长为
$\frac{8}{3}$
；(2)$AB$的长为
$\frac{25}{3}$
。答案
(1)$\frac{8}{3}$
(2)$\frac{25}{3}$
(2)$\frac{25}{3}$
解析
【分析】
本题可利用平行线分线段成比例定理求解：
1. 求解CE长：首先观察到EF//CD，该平行线截△ACD的两边AD、AC，可得对应线段成比例，先代入已知线段长度求出AC的长，再用AC减去AE即可得到CE的长度。
2. 求解AB长：观察到DE//BC，该平行线截△ABC的两边AB、AC，可得对应线段成比例，代入已知的AD、AE和已求出的AC长度，即可计算出AB的长度。
【解析】
(1)
∵ EF//CD，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AC}$。
将AF=3，AD=5，AE=4代入得：$\frac{3}{5}=\frac{4}{AC}$，
解得$AC=\frac{20}{3}$，
∴ $CE=AC-AE=\frac{20}{3}-4=\frac{8}{3}$。
(2)
∵ DE//BC，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
将AD=5，AE=4，$AC=\frac{20}{3}$代入得：$\frac{5}{AB}=\frac{4}{\frac{20}{3}}=\frac{3}{5}$，
交叉相乘得$3AB=25$，解得$AB=\frac{25}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{8}{3}$；(2)$\frac{25}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例计算
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是找准平行线对应的成比例线段，注意比例对应项不要混淆，计算时细心即可得到正确结果，是平行线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题可利用平行线分线段成比例定理求解：
1. 求解CE长：首先观察到EF//CD，该平行线截△ACD的两边AD、AC，可得对应线段成比例，先代入已知线段长度求出AC的长，再用AC减去AE即可得到CE的长度。
2. 求解AB长：观察到DE//BC，该平行线截△ABC的两边AB、AC，可得对应线段成比例，代入已知的AD、AE和已求出的AC长度，即可计算出AB的长度。
【解析】
(1)
∵ EF//CD，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AC}$。
将AF=3，AD=5，AE=4代入得：$\frac{3}{5}=\frac{4}{AC}$，
解得$AC=\frac{20}{3}$，
∴ $CE=AC-AE=\frac{20}{3}-4=\frac{8}{3}$。
(2)
∵ DE//BC，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
将AD=5，AE=4，$AC=\frac{20}{3}$代入得：$\frac{5}{AB}=\frac{4}{\frac{20}{3}}=\frac{3}{5}$，
交叉相乘得$3AB=25$，解得$AB=\frac{25}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{8}{3}$；(2)$\frac{25}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例计算
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是找准平行线对应的成比例线段，注意比例对应项不要混淆，计算时细心即可得到正确结果，是平行线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
5.如图,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A₁B₁C₁相似的是(
A
B
C
D
B
)。A
B
C
D
答案
B
解析
【分析】
要判断格点三角形是否相似，优先选用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理。解题思路如下：第一步，利用勾股定理计算已知△A₁B₁C₁的三边长，化简得到三边的长度比；第二步，分别计算四个选项中阴影三角形的三边长，求出各自的三边比；第三步，对比各选项的三边比与△A₁B₁C₁的三边比，二者一致则三角形相似。
【解析】
已知每个小正方形边长为1，先计算△A₁B₁C₁的三边长：
由勾股定理得，$A_1B_1=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$B_1C_1=2$，$A_1C_1=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
因此△A₁B₁C₁的三边长度比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
分别计算各选项阴影三角形的三边比：
A选项：三边长为$1$、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，三边比为$1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，与已知比不一致，不相似；
B选项：三边长为$1$、$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，三边比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与已知比一致，两三角形相似；
C选项：三边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$3$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$，与已知比不一致，不相似；
D选项：三边长为$2$、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，三边比为$2:\sqrt{5}:\sqrt{13}$，与已知比不一致，不相似。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是格点三角形相似判定的典型考题，解题核心是通过勾股定理准确计算各边长度，再通过三边比例是否匹配判断相似，计算过程中要注意边长的化简，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
要判断格点三角形是否相似，优先选用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理。解题思路如下：第一步，利用勾股定理计算已知△A₁B₁C₁的三边长，化简得到三边的长度比；第二步，分别计算四个选项中阴影三角形的三边长，求出各自的三边比；第三步，对比各选项的三边比与△A₁B₁C₁的三边比，二者一致则三角形相似。
【解析】
已知每个小正方形边长为1，先计算△A₁B₁C₁的三边长：
由勾股定理得，$A_1B_1=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$B_1C_1=2$，$A_1C_1=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
因此△A₁B₁C₁的三边长度比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
分别计算各选项阴影三角形的三边比：
A选项：三边长为$1$、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，三边比为$1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，与已知比不一致，不相似；
B选项：三边长为$1$、$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，三边比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与已知比一致，两三角形相似；
C选项：三边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$3$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$，与已知比不一致，不相似；
D选项：三边长为$2$、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，三边比为$2:\sqrt{5}:\sqrt{13}$，与已知比不一致，不相似。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是格点三角形相似判定的典型考题，解题核心是通过勾股定理准确计算各边长度，再通过三边比例是否匹配判断相似，计算过程中要注意边长的化简，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
6.如图，在$□ ABCD$中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，$EF=1$，$EC=3$，则GF的长为（
A.4
B.6
C.8
D.10
C
）。A.4
B.6
C.8
D.10
答案
C
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形对边平行的性质寻找相似三角形：第一步，由AD//BC证明△DEF∽△BEC，求出DE与BE的长度比；第二步，由AB//CD证明△CDE∽△GBE，借助已得的DE与BE的比求出GE的长度；最后用GE减去EF即可得到GF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD。
1. 证明△DEF∽△BEC：
∵AD//BC，
∴∠FDE=∠CBE，∠DFE=∠BCE，
∴△DEF∽△BEC，
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{EF}{EC}$。
将EF=1，EC=3代入得：$\frac{DE}{BE}=\frac{1}{3}$。
2. 证明△CDE∽△GBE：
∵AB//CD，
∴∠CDE=∠GBE，∠DCE=∠G，
∴△CDE∽△GBE，
∴$\frac{CE}{GE}=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{3}$。
将CE=3代入得：$\frac{3}{GE}=\frac{1}{3}$，解得GE=9。
3. 计算GF的长度：
GF = GE - EF = 9 - 1 = 8。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是典型的利用相似三角形求线段长度的几何题，解题核心是结合平行四边形的平行线性质，两次构造相似三角形得到线段比例关系，考查学生对相似三角形判定与性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先利用平行四边形对边平行的性质寻找相似三角形：第一步，由AD//BC证明△DEF∽△BEC，求出DE与BE的长度比；第二步，由AB//CD证明△CDE∽△GBE，借助已得的DE与BE的比求出GE的长度；最后用GE减去EF即可得到GF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD。
1. 证明△DEF∽△BEC：
∵AD//BC，
∴∠FDE=∠CBE，∠DFE=∠BCE，
∴△DEF∽△BEC，
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{EF}{EC}$。
将EF=1，EC=3代入得：$\frac{DE}{BE}=\frac{1}{3}$。
2. 证明△CDE∽△GBE：
∵AB//CD，
∴∠CDE=∠GBE，∠DCE=∠G，
∴△CDE∽△GBE，
∴$\frac{CE}{GE}=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{3}$。
将CE=3代入得：$\frac{3}{GE}=\frac{1}{3}$，解得GE=9。
3. 计算GF的长度：
GF = GE - EF = 9 - 1 = 8。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是典型的利用相似三角形求线段长度的几何题，解题核心是结合平行四边形的平行线性质，两次构造相似三角形得到线段比例关系，考查学生对相似三角形判定与性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
7.如图，在$△ ABC$中，$DE// BC$，$DE=2$，$BC=5$，则$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}$的值是（
A.$\frac{3}{25}$
B.$\frac{4}{25}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{3}{5}$
B
）。A.$\frac{3}{25}$
B.$\frac{4}{25}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{3}{5}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察到DE//BC，可先利用平行线的性质得到同位角相等，结合公共角判定△ADE与△ABC相似；再根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，先计算两三角形的相似比（即对应边DE与BC的比值），再对相似比平方即可得到面积比，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：
∵$DE// BC$，
∴$∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
又
∵$∠ A$是$△ ADE$和$△ ABC$的公共角，
∴$△ ADE ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴两三角形的相似比$k=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=k^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础考题，核心考查相似三角形的判定与性质，解题时要注意区分相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，不要混淆二者的关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到DE//BC，可先利用平行线的性质得到同位角相等，结合公共角判定△ADE与△ABC相似；再根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，先计算两三角形的相似比（即对应边DE与BC的比值），再对相似比平方即可得到面积比，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：
∵$DE// BC$，
∴$∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
又
∵$∠ A$是$△ ADE$和$△ ABC$的公共角，
∴$△ ADE ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴两三角形的相似比$k=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=k^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础考题，核心考查相似三角形的判定与性质，解题时要注意区分相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，不要混淆二者的关系。
【难度系数】
0.8
8.如图，在$□ ABCD$中，$AE:EB=2:3$，DE交AC于点F。
(1)求证：$△ AEF ∽ △ CDF$；
(2)求$△ AEF$与$△ CDF$的周长之比；
(3)如果$△ CDF$的面积为$20\ \mathrm{cm}^2$，求$△ AEF$的面积。
(1)求证：$△ AEF ∽ △ CDF$；
(2)求$△ AEF$与$△ CDF$的周长之比；
(3)如果$△ CDF$的面积为$20\ \mathrm{cm}^2$，求$△ AEF$的面积。
答案
(1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore DC// AB$，
$\therefore ∠ CDF=∠ AEF,∠ DCF=∠ EAF$，
$\therefore △ AEF∽△ CDF$。
(2)解:$\because △ AEF∽△ CDF$，
$\therefore \frac{C_{△ AEF}}{C_{△ CDF}}=\frac{AE}{CD}=\frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}$。
(3)解:$\because △ AEF∽△ CDF$，
$\therefore \frac{S_{△ CDF}}{S_{△ AEF}}=(\frac{CD}{AE})^2=(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$。
又$\because S_{△ CDF}=20\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore S_{△ AEF}=20×\frac{4}{25}=\frac{16}{5}(\mathrm{cm}^2)$。
$\therefore DC// AB$，
$\therefore ∠ CDF=∠ AEF,∠ DCF=∠ EAF$，
$\therefore △ AEF∽△ CDF$。
(2)解:$\because △ AEF∽△ CDF$，
$\therefore \frac{C_{△ AEF}}{C_{△ CDF}}=\frac{AE}{CD}=\frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}$。
(3)解:$\because △ AEF∽△ CDF$，
$\therefore \frac{S_{△ CDF}}{S_{△ AEF}}=(\frac{CD}{AE})^2=(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$。
又$\because S_{△ CDF}=20\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore S_{△ AEF}=20×\frac{4}{25}=\frac{16}{5}(\mathrm{cm}^2)$。
解析
【分析】
(1) 要证明两个三角形相似，结合平行四边形对边平行的性质，可得到两组对应内错角相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”即可完成证明；
(2) 求两个相似三角形的周长比，根据相似三角形性质，周长比等于相似比，先结合AE:EB的比例和平行四边形对边相等的性质，求出AE与CD的比值，即可得到周长比；
(3) 求△AEF的面积，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合已知△CDF的面积，代入比例计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore DC// AB$，
$\therefore ∠ CDF=∠ AEF,∠ DCF=∠ EAF$，
$\therefore △ AEF∽△ CDF$。
(2) 解：$\because △ AEF∽△ CDF$，
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，$\therefore CD=AB$，
$\because AE:EB=2:3$，$\therefore AE:AB=2:(2+3)=2:5$，即$AE:CD=2:5$，
$\therefore \frac{C_{△ AEF}}{C_{△ CDF}}=\frac{AE}{CD}=\frac{2}{5}$。
(3) 解：$\because △ AEF∽△ CDF$，
$\therefore \frac{S_{△ CDF}}{S_{△ AEF}}=(\frac{CD}{AE})^2=(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$。
又$\because S_{△ CDF}=20\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore S_{△ AEF}=20×\frac{4}{25}=\frac{16}{5}(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) △AEF∽△CDF，证明成立；
(2) △AEF与△CDF的周长之比为$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$；
(3) △AEF的面积为$\boldsymbol{\frac{16}{5}\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查相似三角形的判定与性质，解题时需注意区分相似三角形周长比、面积比和相似比的对应关系，避免将面积比的平方关系混淆为周长比的关系。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明两个三角形相似，结合平行四边形对边平行的性质，可得到两组对应内错角相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”即可完成证明；
(2) 求两个相似三角形的周长比，根据相似三角形性质，周长比等于相似比，先结合AE:EB的比例和平行四边形对边相等的性质，求出AE与CD的比值，即可得到周长比；
(3) 求△AEF的面积，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合已知△CDF的面积，代入比例计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore DC// AB$，
$\therefore ∠ CDF=∠ AEF,∠ DCF=∠ EAF$，
$\therefore △ AEF∽△ CDF$。
(2) 解：$\because △ AEF∽△ CDF$，
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，$\therefore CD=AB$，
$\because AE:EB=2:3$，$\therefore AE:AB=2:(2+3)=2:5$，即$AE:CD=2:5$，
$\therefore \frac{C_{△ AEF}}{C_{△ CDF}}=\frac{AE}{CD}=\frac{2}{5}$。
(3) 解：$\because △ AEF∽△ CDF$，
$\therefore \frac{S_{△ CDF}}{S_{△ AEF}}=(\frac{CD}{AE})^2=(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$。
又$\because S_{△ CDF}=20\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore S_{△ AEF}=20×\frac{4}{25}=\frac{16}{5}(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) △AEF∽△CDF，证明成立；
(2) △AEF与△CDF的周长之比为$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$；
(3) △AEF的面积为$\boldsymbol{\frac{16}{5}\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查相似三角形的判定与性质，解题时需注意区分相似三角形周长比、面积比和相似比的对应关系，避免将面积比的平方关系混淆为周长比的关系。
【难度系数】
0.7
