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7.如图,点A,D,G,M在半圆上,四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形,设BC=a,EF=b,HN=c,则a,b,c之间的大小关系为(
A.$a＞b＞c$
B.$a＜b＜c$
C.$a=b=c$
D.$a＞c＞b$
(第7题) (第8题)
C
)。A.$a＞b＞c$
B.$a＜b＜c$
C.$a=b=c$
D.$a＞c＞b$
(第7题) (第8题)
答案
7.C
解析
【分析】
要判断a、b、c的大小关系，可结合矩形和圆的性质推导：首先回忆矩形的核心性质是对角线相等，因此可以把a、b、c分别对应到各自所在矩形的另一条对角线上；观察图形可知这三条对角线恰好都是半圆的半径，再根据同一个圆的半径相等的性质，即可得出三者的大小关系。
【解析】
连接OA、OD、OM。
1.
∵四边形ABOC是矩形，根据矩形对角线相等的性质，得BC=OA，又
∵BC=a，
∴a=OA，OA是半圆的半径。
2.
∵四边形DEOF是矩形，根据矩形对角线相等的性质，得EF=OD，又
∵EF=b，
∴b=OD，OD是半圆的半径。
3.
∵四边形HMNO是矩形，根据矩形对角线相等的性质，得HN=OM，又
∵HN=c，
∴c=OM，OM是半圆的半径。
∵同个半圆的所有半径长度相等，
∴OA=OD=OM，因此a=b=c。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；同圆半径相等
【点评】
本题是几何基础应用类题目，重点考查对矩形性质和圆的基本性质的灵活运用，解题的关键是通过转化思想，将待比较的线段转化为同圆的半径，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断a、b、c的大小关系，可结合矩形和圆的性质推导：首先回忆矩形的核心性质是对角线相等，因此可以把a、b、c分别对应到各自所在矩形的另一条对角线上；观察图形可知这三条对角线恰好都是半圆的半径，再根据同一个圆的半径相等的性质，即可得出三者的大小关系。
【解析】
连接OA、OD、OM。
1.
∵四边形ABOC是矩形，根据矩形对角线相等的性质，得BC=OA，又
∵BC=a，
∴a=OA，OA是半圆的半径。
2.
∵四边形DEOF是矩形，根据矩形对角线相等的性质，得EF=OD，又
∵EF=b，
∴b=OD，OD是半圆的半径。
3.
∵四边形HMNO是矩形，根据矩形对角线相等的性质，得HN=OM，又
∵HN=c，
∴c=OM，OM是半圆的半径。
∵同个半圆的所有半径长度相等，
∴OA=OD=OM，因此a=b=c。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；同圆半径相等
【点评】
本题是几何基础应用类题目，重点考查对矩形性质和圆的基本性质的灵活运用，解题的关键是通过转化思想，将待比较的线段转化为同圆的半径，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8.如图,已知 E 为矩形 ABCD 内的点,若EB=EC,则 EA
=
ED。(填“＞”“＜”或“=”）答案
8.=
解析
【分析】
解题时可先从已知条件和图形特征入手：首先回忆矩形的性质，已知EB=EC，可推出△EBC为等腰三角形，得到一组等角；再结合矩形四个角为直角、对边相等的性质，推导得到△ABE和△DCE全等的条件，进而通过全等三角形对应边相等判断EA和ED的数量关系；也可利用垂直平分线的性质：EB=EC说明E在BC的垂直平分线上，矩形中BC的垂直平分线同时垂直平分AD，由此直接得到EA=ED。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB = DC$，$∠ABC = ∠DCB = 90°$，
∵$EB = EC$，
∴$∠EBC = ∠ECB$，
∴$∠ABC - ∠EBC = ∠DCB - ∠ECB$，即$∠ABE = ∠DCE$，
在△ABE和△DCE中：
$\begin{cases} AB = DC \\ ∠ ABE = ∠ DCE \\ EB = EC \end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ DCE（SAS）$，
∴$EA = ED$。
【答案】
=
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查矩形、等腰三角形和全等三角形的相关性质，解题的关键是通过角的和差关系推导出全等三角形的判定条件，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时可先从已知条件和图形特征入手：首先回忆矩形的性质，已知EB=EC，可推出△EBC为等腰三角形，得到一组等角；再结合矩形四个角为直角、对边相等的性质，推导得到△ABE和△DCE全等的条件，进而通过全等三角形对应边相等判断EA和ED的数量关系；也可利用垂直平分线的性质：EB=EC说明E在BC的垂直平分线上，矩形中BC的垂直平分线同时垂直平分AD，由此直接得到EA=ED。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB = DC$，$∠ABC = ∠DCB = 90°$，
∵$EB = EC$，
∴$∠EBC = ∠ECB$，
∴$∠ABC - ∠EBC = ∠DCB - ∠ECB$，即$∠ABE = ∠DCE$，
在△ABE和△DCE中：
$\begin{cases} AB = DC \\ ∠ ABE = ∠ DCE \\ EB = EC \end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ DCE（SAS）$，
∴$EA = ED$。
【答案】
=
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查矩形、等腰三角形和全等三角形的相关性质，解题的关键是通过角的和差关系推导出全等三角形的判定条件，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9.在一个矩形中,若一个角的平分线把一条边分成长分别是3 cm和4 cm的两条线段,则该矩形的周长是
20 cm或22 cm
。答案
9.20 cm或22 cm
解析
【分析】
解题时首先结合矩形的性质思考：矩形的四个内角均为90°，内角的角平分线会将直角分为两个45°的角，结合矩形对边平行的性质，可推导出角平分线与矩形的边围成的三角形是等腰直角三角形，即矩形的一条边长等于角平分线分割边所得的其中一段线段长。由于题目未明确3cm和4cm哪一段对应等腰直角三角形的直角边，因此需要分两种情况讨论计算周长。
【解析】
设矩形为ABCD，AE为∠BAD的平分线，交矩形的一边于点E，将该边分为3cm和4cm的两段：
1. 由矩形性质得∠BAD=90°，AD//BC，故∠DAE=∠AEB。
2. 因为AE平分∠BAD，所以∠BAE=∠DAE=45°，因此∠BAE=∠AEB，可得AB=BE，即矩形的短边长等于被分割边的其中一段长度。
3. 被分割的边总长度为3+4=7cm，即矩形的一条边长为7cm，分两种情况：
情况一：若短边长为3cm，则矩形的邻边长分别为3cm、7cm，周长为$2×(3+7)=20\ \mathrm{cm}$；
情况二：若短边长为4cm，则矩形的邻边长分别为4cm、7cm，周长为$2×(4+7)=22\ \mathrm{cm}$。
【答案】
20 cm或22 cm
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的判定；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，只计算其中一种周长结果，解题时要结合几何图形的特征全面考虑所有可能的情况，熟练掌握矩形和角平分线的相关性质是解题的基础。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合矩形的性质思考：矩形的四个内角均为90°，内角的角平分线会将直角分为两个45°的角，结合矩形对边平行的性质，可推导出角平分线与矩形的边围成的三角形是等腰直角三角形，即矩形的一条边长等于角平分线分割边所得的其中一段线段长。由于题目未明确3cm和4cm哪一段对应等腰直角三角形的直角边，因此需要分两种情况讨论计算周长。
【解析】
设矩形为ABCD，AE为∠BAD的平分线，交矩形的一边于点E，将该边分为3cm和4cm的两段：
1. 由矩形性质得∠BAD=90°，AD//BC，故∠DAE=∠AEB。
2. 因为AE平分∠BAD，所以∠BAE=∠DAE=45°，因此∠BAE=∠AEB，可得AB=BE，即矩形的短边长等于被分割边的其中一段长度。
3. 被分割的边总长度为3+4=7cm，即矩形的一条边长为7cm，分两种情况：
情况一：若短边长为3cm，则矩形的邻边长分别为3cm、7cm，周长为$2×(3+7)=20\ \mathrm{cm}$；
情况二：若短边长为4cm，则矩形的邻边长分别为4cm、7cm，周长为$2×(4+7)=22\ \mathrm{cm}$。
【答案】
20 cm或22 cm
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的判定；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，只计算其中一种周长结果，解题时要结合几何图形的特征全面考虑所有可能的情况，熟练掌握矩形和角平分线的相关性质是解题的基础。
【难度系数】
0.6
10.如图,在矩形ABCD中,点E,F在边BC上,AF,DE交于点M,且AM=DM。求证:BF=CE。
答案
证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD,∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°。
∵AM=DM,
∴∠MAD=∠MDA，
∴∠BAD-∠MAD=∠ADC-∠MDA,即∠BAF=∠CDE，
∴△ABF≌△DCE(ASA),
∴BF=CE。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD,∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°。
∵AM=DM,
∴∠MAD=∠MDA，
∴∠BAD-∠MAD=∠ADC-∠MDA,即∠BAF=∠CDE，
∴△ABF≌△DCE(ASA),
∴BF=CE。
解析
【分析】
要证明BF=CE，可通过证明BF、CE所在的△ABF和△DCE全等来推导。首先根据矩形性质可直接得到AB=CD，∠B=∠C=90°，还需推导一组对应角相等；已知AM=DM，由等腰三角形等边对等角得∠MAD=∠MDA，结合矩形的∠BAD=∠ADC=90°，通过角的和差关系即可推出∠BAF=∠CDE，满足ASA全等判定条件，证得三角形全等后即可得到对应边相等。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°。
∵AM=DM，
∴∠MAD=∠MDA，
∴∠BAD-∠MAD=∠ADC-∠MDA，即∠BAF=∠CDE。
在△ABF和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ C\\ AB=DC\\ ∠ BAF=∠ CDE\end{array} $
∴△ABF≌△DCE（ASA），
∴BF=CE。
【答案】
BF=CE
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，考查矩形、等腰三角形和全等三角形的综合应用，解题关键是结合图形分析角的和差关系，理清全等条件的推导逻辑，熟练掌握常见几何图形的性质是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8
要证明BF=CE，可通过证明BF、CE所在的△ABF和△DCE全等来推导。首先根据矩形性质可直接得到AB=CD，∠B=∠C=90°，还需推导一组对应角相等；已知AM=DM，由等腰三角形等边对等角得∠MAD=∠MDA，结合矩形的∠BAD=∠ADC=90°，通过角的和差关系即可推出∠BAF=∠CDE，满足ASA全等判定条件，证得三角形全等后即可得到对应边相等。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°。
∵AM=DM，
∴∠MAD=∠MDA，
∴∠BAD-∠MAD=∠ADC-∠MDA，即∠BAF=∠CDE。
在△ABF和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ C\\ AB=DC\\ ∠ BAF=∠ CDE\end{array} $
∴△ABF≌△DCE（ASA），
∴BF=CE。
【答案】
BF=CE
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，考查矩形、等腰三角形和全等三角形的综合应用，解题关键是结合图形分析角的和差关系，理清全等条件的推导逻辑，熟练掌握常见几何图形的性质是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8
11.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,以OC,OD为邻边作平行四边形OCED,连接OE。
(1)求证:四边形OBCE是平行四边形；
(2)连接BE交AC于点F,若AB=2,∠AOB=60°,求BF的长。
(1)求证:四边形OBCE是平行四边形；
(2)连接BE交AC于点F,若AB=2,∠AOB=60°,求BF的长。
答案
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD。
∵四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED为菱形，
∴CE//OB,CE=OB，
∴四边形OBCE是平行四边形。
(2)解:如图,过点F作FM⊥BC于点M,过点O作ON⊥BC于点N。
∵FM⊥BC,ON⊥BC，
∴ON//FM。
∵AO=OC,
∴ON=1/2 AB=1。
由(1)知OF=FC,
∴FM=1/2 ON=1/2。
∵∠AOB=60°,OA=OB，
∴∠OAB=60°,∠ACB=30°。
在Rt△ABC中，
∵AB=2,∠ACB=30°,
∴BC=2√3。
∵∠ACB=30°,FM=1/2,
∴CM=√3/2，
∴BM=BC-CM=3√3/2，
∴BF=√(BM²+FM²)=√((3√3/2)²+(1/2)²)=√7。
解析
【分析】
(1) 要证明四边形OBCE是平行四边形，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导。首先根据矩形对角线互相平分且相等的性质，得到OB=OC=OD；再结合平行四边形OCED的性质，得CE与OD平行且相等，等量代换可得CE与OB平行且相等，即可完成证明。
(2) 求BF的长时，先由∠AOB=60°、OA=OB推出△AOB是等边三角形，得到∠ACB=30°，进而求出BC的长度；再由(1)中平行四边形OBCE的性质得F是OC中点，作FM⊥BC、ON⊥BC构造直角三角形，利用中位线性质求出FM、CM的长度，最后在直角三角形BFM中用勾股定理计算BF即可。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD。
∵四边形OCED是平行四边形，且OC=OD，
∴四边形OCED为菱形，
∴CE//OB，CE=OB，
∴四边形OBCE是平行四边形。
(2) 解：如图，过点F作FM⊥BC于点M，过点O作ON⊥BC于点N。
∵FM⊥BC，ON⊥BC，
∴ON//FM。
∵AO=OC，
∴ON是△ABC的中位线，ON=$\frac{1}{2}$AB=1。
由(1)知四边形OBCE是平行四边形，对角线互相平分，
∴OF=FC，
∴FM是△ONC的中位线，FM=$\frac{1}{2}$ON=$\frac{1}{2}$。
∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，∠OAB=60°，
∴Rt△ABC中，∠ACB=30°。
∵AB=2，∠ACB=30°，
∴AC=2AB=4，BC=$\sqrt{AC^2-AB^2}=2\sqrt{3}$。
在Rt△FMC中，∠ACB=30°，FM=$\frac{1}{2}$，
∴CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BM=BC-CM=$2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴BF=$\sqrt{BM^2+FM^2}=\sqrt{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{7}$。
【答案】
(1) 四边形OBCE是平行四边形，证明成立；
(2) BF的长为$\sqrt{7}$。
【知识点】
矩形的性质；平行四边形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，将矩形、平行四边形的性质判定与直角三角形的计算相结合，解题时需要熟练掌握特殊四边形的性质，合理构造辅助线将线段求解转化为直角三角形内的计算。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明四边形OBCE是平行四边形，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导。首先根据矩形对角线互相平分且相等的性质，得到OB=OC=OD；再结合平行四边形OCED的性质，得CE与OD平行且相等，等量代换可得CE与OB平行且相等，即可完成证明。
(2) 求BF的长时，先由∠AOB=60°、OA=OB推出△AOB是等边三角形，得到∠ACB=30°，进而求出BC的长度；再由(1)中平行四边形OBCE的性质得F是OC中点，作FM⊥BC、ON⊥BC构造直角三角形，利用中位线性质求出FM、CM的长度，最后在直角三角形BFM中用勾股定理计算BF即可。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD。
∵四边形OCED是平行四边形，且OC=OD，
∴四边形OCED为菱形，
∴CE//OB，CE=OB，
∴四边形OBCE是平行四边形。
(2) 解：如图，过点F作FM⊥BC于点M，过点O作ON⊥BC于点N。
∵FM⊥BC，ON⊥BC，
∴ON//FM。
∵AO=OC，
∴ON是△ABC的中位线，ON=$\frac{1}{2}$AB=1。
由(1)知四边形OBCE是平行四边形，对角线互相平分，
∴OF=FC，
∴FM是△ONC的中位线，FM=$\frac{1}{2}$ON=$\frac{1}{2}$。
∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，∠OAB=60°，
∴Rt△ABC中，∠ACB=30°。
∵AB=2，∠ACB=30°，
∴AC=2AB=4，BC=$\sqrt{AC^2-AB^2}=2\sqrt{3}$。
在Rt△FMC中，∠ACB=30°，FM=$\frac{1}{2}$，
∴CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BM=BC-CM=$2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴BF=$\sqrt{BM^2+FM^2}=\sqrt{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{7}$。
【答案】
(1) 四边形OBCE是平行四边形，证明成立；
(2) BF的长为$\sqrt{7}$。
【知识点】
矩形的性质；平行四边形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，将矩形、平行四边形的性质判定与直角三角形的计算相结合，解题时需要熟练掌握特殊四边形的性质，合理构造辅助线将线段求解转化为直角三角形内的计算。
【难度系数】
0.6
