例题1已知点 B 在直线 AC 上，$AB=6$，$AC=10$，$P,Q$ 分别是 $AB,AC$ 的中点，则 $PQ$ 的长为 。
思路分析:已知条件中“点 B 在直线 AC 上”，又 $AB=6,AC=10$，所以点 B 可能在线段 AC 上，也可能在线段 AC 的反向延长线上，所以此题需要分类讨论。
方法点拨:解决此类问题可画出示意图，把点 $A,B,C$ 所有可能的位置关系画出来，即分点 $B,C$ 在点 A 同侧和异侧两种情况，再求解。

2或8

【分析】
题目中“点B在直线AC上”是解题的关键提示，直线可向两端无限延伸，因此点B的位置存在两种可能：①点B在线段AC上；②点B在线段AC的反向延长线上。解题时需要对两种情况分别讨论，结合线段中点的性质计算对应PQ的长度，避免出现漏解的问题。
【解析】
分两种情况计算：
情况1：当点B在线段AC上时
∵P是AB的中点，$AB=6$
∴$AP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$
∵Q是AC的中点，$AC=10$
∴$AQ=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$
此时$PQ=AQ-AP=5-3=2$
情况2：当点B在线段AC的反向延长线上时（B、C分别在点A两侧）
同理可得$AP=3$，$AQ=5$
此时$PQ=AP+AQ=3+5=8$
综上，PQ的长为2或8。
【答案】
2或8
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略“点在直线上”包含多种位置关系，仅考虑点B在线段AC上的情况导致漏解，解题时可通过画示意图梳理各点的位置关系，能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.6

练习1 如图，有两根木条，一根AB的长为80 cm，另一根CD的长为130 cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M，N（圆孔直径忽略不计，M，N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是多少？

（练习1）

解:本题有两种情形：
(1)如图①,当A,C(或B,D)重合,且剩余两端点在重合点同侧时，

$MN=CN-AM=\frac{1}{2}CD-\frac{1}{2}AB$，
即$MN=\frac{1}{2}×130-\frac{1}{2}×80=65-40=25(\mathrm{cm})$。
(2)如图②,当B,C(或A,D)重合,且剩余两端点在重合点两侧时，

$MN=CN+BM=\frac{1}{2}CD+\frac{1}{2}AB$，
即$MN=\frac{1}{2}×130+\frac{1}{2}×80=65+40=105(\mathrm{cm})$。
故两根木条的小圆孔之间的距离MN是25 cm或105 cm。

【分析】
首先根据已知条件，M、N分别是AB、CD的中点，可先求出两段木条一半的长度：$AM=MB=\frac{1}{2}AB$，$CN=ND=\frac{1}{2}CD$。由于两根木条一端重合放置在同一直线上时有两种情况：一是剩余两端点在重合端同侧，二是剩余两端点在重合端两侧，因此需要分类讨论两种情况，分别通过线段的和差计算MN的长度，避免漏解。
【解析】
本题有两种情形：
(1) 如图①，当A,C(或B,D)重合,且剩余两端点在重合点同侧时，

$MN=CN-AM=\frac{1}{2}CD-\frac{1}{2}AB$，
即$MN=\frac{1}{2}×130-\frac{1}{2}×80=65-40=25(\mathrm{cm})$。
(2) 如图②,当B,C(或A,D)重合,且剩余两端点在重合点两侧时，

$MN=CN+BM=\frac{1}{2}CD+\frac{1}{2}AB$，
即$MN=\frac{1}{2}×130+\frac{1}{2}×80=65+40=105(\mathrm{cm})$。
【答案】
两根木条的小圆孔之间的距离MN是25 cm或105 cm。


【知识点】
线段中点性质，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的典型题型，核心考查线段中点的应用，解题关键是全面考虑木条的不同摆放情况，避免因漏看情形导致答案不完整。
【难度系数】
0.6

例题2 在平面上，已知$∠ AOB = 80°$，$∠ BOC=50°$，若$OM$平分$∠ AOB$，$ON$平分$∠ BOC$，求$∠ MON$的度数。
思路分析:已知的两个角$∠ AOB$，$∠ BOC$有一条公共边$OB$，另外两条边的位置关系分两种情况，可能在$OB$的同侧，也可能在$OB$的异侧。分别画出两种情况下的图形，再结合已知中的其他条件，求出$∠ MON$的度数。
方法点拨:解答时，可先画出所有符合题意的图形，再针对每一种图形分别计算，即“先定位，再计算”。

解:分两种情况计算。
(1)如图①,当OC落在$∠AOB$的内部时，
因为OM平分$∠AOB$，
所以$∠BOM=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$。
因为ON平分$∠BOC$，
所以$∠BON=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
所以$∠MON=∠BOM-∠BON=40°-25°=15°$。

(2)如图②,当OC落在$∠AOB$的外部时，
因为OM平分$∠AOB$,ON平分$∠BOC$，
所以$∠BOM=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$，
$∠BON=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
所以$∠MON=∠BOM+∠BON=40°+25°=65°$。
综上所述,$∠MON$的度数为$15°$或$65°$。

【分析】
题目未明确OC与∠AOB的位置关系，因此需分两种情况讨论：①OC落在∠AOB的内部；②OC落在∠AOB的外部。先根据角平分线的定义分别求出两种情形下∠BOM、∠BON的度数，再结合角的位置关系通过和差运算即可求出∠MON的度数。
【解析】
分两种情况计算：
(1) 如图①，当OC落在$∠AOB$的内部时，
因为OM平分$∠AOB$，
所以$∠BOM=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$。
因为ON平分$∠BOC$，
所以$∠BON=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
所以$∠MON=∠BOM-∠BON=40°-25°=15°$。

(2) 如图②，当OC落在$∠AOB$的外部时，
因为OM平分$∠AOB$，ON平分$∠BOC$，
所以$∠BOM=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$，
$∠BON=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
所以$∠MON=∠BOM+∠BON=40°+25°=65°$。
综上所述，$∠MON$的度数为$15°$或$65°$。
【答案】
$∠MON$的度数为$\boldsymbol{15°}$或$\boldsymbol{65°}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是角度计算中应用分类讨论思想的典型题，解题的关键是当两个角的位置未明确说明时，要考虑所有可能的位置情况，避免出现漏解的问题，解题过程需熟练运用角平分线的性质进行角度换算。
【难度系数】
0.6

练习②如图，$∠ AOB = 100°$，$∠ BOC = 30°$，小明想过点O引一条射线OD，使$∠ AOD : ∠ BOD = 1:3$（$∠ AOD$与$∠ BOD$都小于平角），那么$∠ COD$的度数是（）。
（练习2）

A.$45°$
B.$45°$或$105°$
C.$120°$
D.$45°$或$120°$

D

【分析】
题中未明确射线OD的位置，需分类讨论OD的两种可能位置：①OD在∠AOB内部；②OD在∠AOB外部（靠近OA一侧，满足∠AOD、∠BOD均小于平角）。结合∠AOD与∠BOD的比例关系，先求出两种情况下对应角的度数，再利用角的和差关系计算∠COD即可。
【解析】
设∠AOD=x，则∠BOD=3x，分两种情况讨论：
① 当OD在∠AOB内部时：
∠AOD + ∠BOD = ∠AOB = 100°，代入得$x+3x=100°$，解得$x=25°$，即∠BOD=75°。
已知∠BOC=30°，则$∠ COD=∠ BOD-∠ BOC=75°-30°=45°$。
② 当OD在∠AOB外部（靠近OA一侧，两角均小于平角）时：
∠BOD - ∠AOD = ∠AOB = 100°，代入得$3x-x=100°$，解得$x=50°$，即∠AOD=50°。
先求$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=100°-30°=70°$，则$∠ COD=∠ AOD+∠ AOC=50°+70°=120°$。
综上，∠COD的度数为45°或120°。
【答案】
D
【知识点】
角的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略射线OD的位置多样性，只考虑OD在角内部的情况导致漏解，解题时要结合题干限制条件（两角均小于平角）排除不符合的位置，再逐一计算。
【难度系数】
0.6