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6.如图,已知$∠α=40°$,在标有东南西北的图中,用尺规作图,并注明:
(1)北偏东$40°$;
(2)北偏西$50°$;
(3)南偏东$80°$。
(1)北偏东$40°$;
(2)北偏西$50°$;
(3)南偏东$80°$。
答案
解：
1. 作北偏东$40°$：
以方向十字线的交点$O$为顶点，正北方向的射线为一边，向东侧用尺规作角等于已知$∠α=40°$，得到的终边射线即为北偏东$40°$的方向线，标注对应方位名称与角度。
2. 作北偏西$50°$：
由$50°=90°-40°$，以点$O$为顶点，正北方向的射线为一边，向西侧作角等于$90°-∠α=50°$，得到的终边射线即为北偏西$50°$的方向线，标注对应方位名称与角度。
3. 作南偏东$80°$：
由$80°=2×40°$，以点$O$为顶点，正南方向的射线为一边，向东侧作角等于$2∠α=80°$，得到的终边射线即为南偏东$80°$的方向线，标注对应方位名称与角度。
最终所得三条射线即为所求的方位线。
1. 作北偏东$40°$：
以方向十字线的交点$O$为顶点，正北方向的射线为一边，向东侧用尺规作角等于已知$∠α=40°$，得到的终边射线即为北偏东$40°$的方向线，标注对应方位名称与角度。
2. 作北偏西$50°$：
由$50°=90°-40°$，以点$O$为顶点，正北方向的射线为一边，向西侧作角等于$90°-∠α=50°$，得到的终边射线即为北偏西$50°$的方向线，标注对应方位名称与角度。
3. 作南偏东$80°$：
由$80°=2×40°$，以点$O$为顶点，正南方向的射线为一边，向东侧作角等于$2∠α=80°$，得到的终边射线即为南偏东$80°$的方向线，标注对应方位名称与角度。
最终所得三条射线即为所求的方位线。
解析
【分析】
解决这道题需要结合两个基础知识点思考：一是方位角的定义：描述方位的角以正北或正南方向为始边，向东/向西旋转得到对应夹角；二是尺规作一个角等于已知角的操作方法。首先确定方向坐标的交点为公共顶点，再分别处理三个要求：①北偏东40°恰好等于已知∠α的度数，直接以正北为始边向东作等于∠α的角即可；②北偏西50°可换算为90°-∠α，所以以正北为始边向西作90°减∠α的角即可；③南偏东80°可换算为2∠α，以正南为始边向东作2倍∠α的角即可，最后注意标注清楚每个方位的名称和角度。
【解析】
设东南西北十字线的交点为点O：
1. 作北偏东40°：以O为顶点，正北方向的射线为角的一边，向东侧用尺规作角等于已知∠α=40°，得到的终边射线即为北偏东40°的方向线，标注对应方位名称与角度。
2. 作北偏西50°：先计算得50°=90°-∠α，以点O为顶点，正北方向的射线为一边，向西侧作角等于50°，得到的终边射线即为北偏西50°的方向线，标注对应方位名称与角度。
3. 作南偏东80°：先计算得80°=2×∠α，以点O为顶点，正南方向的射线为一边，向东侧作角等于80°，得到的终边射线即为南偏东80°的方向线，标注对应方位名称与角度。
【答案】
标注完成的北偏东40°、北偏西50°、南偏东80°三条射线即为所求。
【知识点】
1. 作一个角等于已知角
2. 方位角识别
3. 尺规作图
【点评】
本题结合了基础尺规作图和方位角的实际应用，既考查了学生对基本作图方法的掌握，也考验了角度换算和方位判断的能力，作图时要注意方位角的始边选择和旋转方向，避免方向混淆。
【难度系数】
0.7
解决这道题需要结合两个基础知识点思考：一是方位角的定义：描述方位的角以正北或正南方向为始边，向东/向西旋转得到对应夹角；二是尺规作一个角等于已知角的操作方法。首先确定方向坐标的交点为公共顶点，再分别处理三个要求：①北偏东40°恰好等于已知∠α的度数，直接以正北为始边向东作等于∠α的角即可；②北偏西50°可换算为90°-∠α，所以以正北为始边向西作90°减∠α的角即可；③南偏东80°可换算为2∠α，以正南为始边向东作2倍∠α的角即可，最后注意标注清楚每个方位的名称和角度。
【解析】
设东南西北十字线的交点为点O：
1. 作北偏东40°：以O为顶点，正北方向的射线为角的一边，向东侧用尺规作角等于已知∠α=40°，得到的终边射线即为北偏东40°的方向线，标注对应方位名称与角度。
2. 作北偏西50°：先计算得50°=90°-∠α，以点O为顶点，正北方向的射线为一边，向西侧作角等于50°，得到的终边射线即为北偏西50°的方向线，标注对应方位名称与角度。
3. 作南偏东80°：先计算得80°=2×∠α，以点O为顶点，正南方向的射线为一边，向东侧作角等于80°，得到的终边射线即为南偏东80°的方向线，标注对应方位名称与角度。
【答案】
标注完成的北偏东40°、北偏西50°、南偏东80°三条射线即为所求。
【知识点】
1. 作一个角等于已知角
2. 方位角识别
3. 尺规作图
【点评】
本题结合了基础尺规作图和方位角的实际应用，既考查了学生对基本作图方法的掌握，也考验了角度换算和方位判断的能力，作图时要注意方位角的始边选择和旋转方向，避免方向混淆。
【难度系数】
0.7
7.已知：∠α，∠β（∠α＞∠β），如图所示。
求作：∠γ，使∠γ=2∠α+∠β。
求作：∠γ，使∠γ=2∠α+∠β。
答案
7. 解:如图,∠AOB 为所求作的角。
解析
【分析】
要构造∠γ=2∠α+∠β，本质是利用角的和差关系，通过多次尺规作一个角等于已知角来实现。首先我们可以先作出2倍的∠α：即先后作两个相邻、不重叠的等于∠α的角，得到和为2∠α的角；再在这个2∠α的外侧作一个等于∠β的角，最终三个角拼接起来的大角就是所求的∠γ，作图时注意所有角共顶点，后续的角都在前一个角的非公共边外侧作，避免重叠。
【解析】
1. 作射线OB，作为所求角的一条边；
2. 以点O为顶点，OB为一边，按照尺规作一个角等于已知角的方法，作∠BOC=∠α；
3. 以点O为顶点，OC为一边，在∠BOC的外侧作∠COD=∠α，此时∠BOD=∠BOC+∠COD=2∠α；
4. 以点O为顶点，OD为一边，在∠BOD的外侧作∠DOA=∠β，此时∠AOB=∠BOD+∠DOA=2∠α+∠β，∠AOB即为所求作的∠γ。
【答案】
如图,∠AOB 为所求作的角。
【知识点】
尺规作等角，角的和差运算
【点评】
本题考查尺规作图的基本操作，核心是熟练掌握作一个角等于已知角的方法，作图时要注意作多个角的和时需在前一个角的外侧依次作图，保证角不重叠，才能准确得到角的和的结果。
【难度系数】
0.8
要构造∠γ=2∠α+∠β，本质是利用角的和差关系，通过多次尺规作一个角等于已知角来实现。首先我们可以先作出2倍的∠α：即先后作两个相邻、不重叠的等于∠α的角，得到和为2∠α的角；再在这个2∠α的外侧作一个等于∠β的角，最终三个角拼接起来的大角就是所求的∠γ，作图时注意所有角共顶点，后续的角都在前一个角的非公共边外侧作，避免重叠。
【解析】
1. 作射线OB，作为所求角的一条边；
2. 以点O为顶点，OB为一边，按照尺规作一个角等于已知角的方法，作∠BOC=∠α；
3. 以点O为顶点，OC为一边，在∠BOC的外侧作∠COD=∠α，此时∠BOD=∠BOC+∠COD=2∠α；
4. 以点O为顶点，OD为一边，在∠BOD的外侧作∠DOA=∠β，此时∠AOB=∠BOD+∠DOA=2∠α+∠β，∠AOB即为所求作的∠γ。
【答案】
如图,∠AOB 为所求作的角。
【知识点】
尺规作等角，角的和差运算
【点评】
本题考查尺规作图的基本操作，核心是熟练掌握作一个角等于已知角的方法，作图时要注意作多个角的和时需在前一个角的外侧依次作图，保证角不重叠，才能准确得到角的和的结果。
【难度系数】
0.8
8.【综合与实践】(1)按要求画图:
①任意画一个小于平角的∠AOB；
②以O为圆心,以任意长为半径画弧分别与OA,OB交于点C,D；
③分别以C,D为圆心,大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧,两弧交于点E；
④作射线OE。(不写作法,保留作图痕迹)
(2)问题:
①测量OE是不是∠AOB的平分线；
②根据以上信息你能用尺规画出一个直角吗？
①任意画一个小于平角的∠AOB；
②以O为圆心,以任意长为半径画弧分别与OA,OB交于点C,D；
③分别以C,D为圆心,大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧,两弧交于点E；
④作射线OE。(不写作法,保留作图痕迹)
(2)问题:
①测量OE是不是∠AOB的平分线；
②根据以上信息你能用尺规画出一个直角吗？
答案
(1) 作图结果如
所示。(2) ① OE 是∠AOB 的平分线。
② 可以,如
所示,∠POB 就是直角。解析
【分析】
（1）本小问是尺规作角平分线的标准操作题，首先按照要求先画出小于平角的∠AOB，再通过画弧得到等长线段OC、OD，之后以C、D为圆心画弧得到交点E，保证E到C、D的距离相等，最后作射线OE即可，作图时需保留所有作图痕迹。
（2）①判断OE是否为角平分线，可通过测量∠AOE和∠BOE的度数，若二者度数相等，即可根据角平分线定义判断OE是∠AOB的平分线；②要画直角，由于直角是90°，恰好是180°平角的一半，因此可先构造平角，再用上述作角平分线的方法平分平角，即可得到90°的直角。
【解析】
(1) 严格按照题目给出的4个步骤作图：第一步画出小于平角的∠AOB；第二步以O为圆心任意长为半径画弧，与OA、OB分别交于C、D；第三步分别以C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长度为半径画弧，两弧交于点E；第四步作射线OE，最终作图痕迹与图①一致。
(2) ① 经测量可知∠AOE与∠BOE度数相等，根据角平分线的定义：将一个角分成两个完全相等的角的射线是该角的角平分线，因此OE是∠AOB的平分线。
② 可以画出直角：首先画直线AB，在AB上任意取一点O，此时∠AOB为180°的平角，按照(1)中作角平分线的方法作∠AOB的平分线OP，可得$∠ POB=∠ POA=\frac{1}{2}×180°=90°$，即∠POB为直角，作图痕迹与图②一致。
【答案】
(1) 作图结果如所示。
(2) ① OE 是∠AOB 的平分线。
② 可以,如所示,∠POB 就是直角。
【知识点】
尺规作角平分线；角平分线定义；直角的定义
【点评】
本题以基础尺规作图为载体，既考察了角平分线的标准作图方法，又引导学生对基础作图方法进行迁移应用，能够帮助学生理解尺规作图的内在原理，提升灵活运用基础作图方法解决问题的能力。
【难度系数】
0.8
（1）本小问是尺规作角平分线的标准操作题，首先按照要求先画出小于平角的∠AOB，再通过画弧得到等长线段OC、OD，之后以C、D为圆心画弧得到交点E，保证E到C、D的距离相等，最后作射线OE即可，作图时需保留所有作图痕迹。
（2）①判断OE是否为角平分线，可通过测量∠AOE和∠BOE的度数，若二者度数相等，即可根据角平分线定义判断OE是∠AOB的平分线；②要画直角，由于直角是90°，恰好是180°平角的一半，因此可先构造平角，再用上述作角平分线的方法平分平角，即可得到90°的直角。
【解析】
(1) 严格按照题目给出的4个步骤作图：第一步画出小于平角的∠AOB；第二步以O为圆心任意长为半径画弧，与OA、OB分别交于C、D；第三步分别以C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长度为半径画弧，两弧交于点E；第四步作射线OE，最终作图痕迹与图①一致。
(2) ① 经测量可知∠AOE与∠BOE度数相等，根据角平分线的定义：将一个角分成两个完全相等的角的射线是该角的角平分线，因此OE是∠AOB的平分线。
② 可以画出直角：首先画直线AB，在AB上任意取一点O，此时∠AOB为180°的平角，按照(1)中作角平分线的方法作∠AOB的平分线OP，可得$∠ POB=∠ POA=\frac{1}{2}×180°=90°$，即∠POB为直角，作图痕迹与图②一致。
【答案】
(1) 作图结果如
所示。(2) ① OE 是∠AOB 的平分线。
② 可以,如
所示,∠POB 就是直角。【知识点】
尺规作角平分线；角平分线定义；直角的定义
【点评】
本题以基础尺规作图为载体，既考察了角平分线的标准作图方法，又引导学生对基础作图方法进行迁移应用，能够帮助学生理解尺规作图的内在原理，提升灵活运用基础作图方法解决问题的能力。
【难度系数】
0.8
