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一、选择题
1. 如果方程组$\{\begin{array}{l}x + y = 3,\\x - 2y = - 3 + a\end{array} $的解满足$\{\begin{array}{l}x ＞ 0,\\y ＞ 0,\end{array} $则$a$的取值范围是( ).
A.$- 3 ＜ a ＜ 6$
B.$- 6 ＜ a ＜ 3$
C.$a ＞ - 3$
D.$a ＞ 6$
1. 如果方程组$\{\begin{array}{l}x + y = 3,\\x - 2y = - 3 + a\end{array} $的解满足$\{\begin{array}{l}x ＞ 0,\\y ＞ 0,\end{array} $则$a$的取值范围是( ).
A.$- 3 ＜ a ＜ 6$
B.$- 6 ＜ a ＜ 3$
C.$a ＞ - 3$
D.$a ＞ 6$
答案
1. A
解析
解：解方程组$\{\begin{array}{l}x + y = 3\\x - 2y = - 3 + a\end{array} $，
由$x + y = 3$得$x = 3 - y$，
代入$x - 2y = - 3 + a$，得$3 - y - 2y=-3 + a$，
$-3y=a - 6$，$y=\frac{6 - a}{3}$，
则$x=3 - \frac{6 - a}{3}=\frac{9 - 6 + a}{3}=\frac{3 + a}{3}$，
因为$x＞0$，$y＞0$，
所以$\{\begin{array}{l}\frac{3 + a}{3}＞0\\frac{6 - a}{3}＞0\end{array} $，
解得$\{\begin{array}{l}a＞ - 3\\a＜6\end{array} $，
即$-3＜a＜6$。
A
由$x + y = 3$得$x = 3 - y$，
代入$x - 2y = - 3 + a$，得$3 - y - 2y=-3 + a$，
$-3y=a - 6$，$y=\frac{6 - a}{3}$，
则$x=3 - \frac{6 - a}{3}=\frac{9 - 6 + a}{3}=\frac{3 + a}{3}$，
因为$x＞0$，$y＞0$，
所以$\{\begin{array}{l}\frac{3 + a}{3}＞0\\frac{6 - a}{3}＞0\end{array} $，
解得$\{\begin{array}{l}a＞ - 3\\a＜6\end{array} $，
即$-3＜a＜6$。
A
2. 要用$20\mathrm{kg}$含盐百分率较高的盐水与含盐$10\%$的盐水$10\mathrm{kg}$混合，使混合后的盐水的含盐百分率大于$15\%$而小于$20\%$，那么$20\mathrm{kg}$盐水的含盐百分率应在(
A.$16\% ＜ x ＜ 23.5\%$
B.$17.5\% ＜ x ＜ 25\%$
C.$19\% ＜ x ＜ 28\%$
D.$18\% ＜ x ＜ 26\%$
B
)范围内.A.$16\% ＜ x ＜ 23.5\%$
B.$17.5\% ＜ x ＜ 25\%$
C.$19\% ＜ x ＜ 28\%$
D.$18\% ＜ x ＜ 26\%$
答案
2. B
解析
设20kg盐水的含盐百分率为$x$。
混合后盐的质量为$20x + 10×10\%$，混合后盐水总质量为$20 + 10 = 30$kg。
依题意可得不等式组：
$\begin{cases}\frac{20x + 10×10\%}{30} ＞ 15\% \\frac{20x + 10×10\%}{30} ＜ 20\%\end{cases}$
解第一个不等式：
$20x + 1 ＞ 4.5 \\20x ＞ 3.5 \\x ＞ 17.5\%$
解第二个不等式：
$20x + 1 ＜ 6 \\20x ＜ 5 \\x ＜ 25\%$
综上，$17.5\% ＜ x ＜ 25\%$，答案选B。
混合后盐的质量为$20x + 10×10\%$，混合后盐水总质量为$20 + 10 = 30$kg。
依题意可得不等式组：
$\begin{cases}\frac{20x + 10×10\%}{30} ＞ 15\% \\frac{20x + 10×10\%}{30} ＜ 20\%\end{cases}$
解第一个不等式：
$20x + 1 ＞ 4.5 \\20x ＞ 3.5 \\x ＞ 17.5\%$
解第二个不等式：
$20x + 1 ＜ 6 \\20x ＜ 5 \\x ＜ 25\%$
综上，$17.5\% ＜ x ＜ 25\%$，答案选B。
3. 已知不等式组$\{\begin{array}{l}3 + 2x≥ 1,\\x - a ＜ 0\end{array} $无解，则$a$的取值范围是( ).
A.$a ＜ 1$
B.$a≤ - 1$
C.$a ＞ 1$
D.$a≥ - 1$
A.$a ＜ 1$
B.$a≤ - 1$
C.$a ＞ 1$
D.$a≥ - 1$
答案
3. B
解析
解不等式$3 + 2x ≥ 1$，得$2x ≥ -2$，$x ≥ -1$。
解不等式$x - a ＜ 0$，得$x ＜ a$。
因为不等式组无解，所以$a ≤ -1$。
B
解不等式$x - a ＜ 0$，得$x ＜ a$。
因为不等式组无解，所以$a ≤ -1$。
B
二、填空题
4. 若不等式组$\{\begin{array}{l}2x - a ＜ 1,\\x - 2b ＞ 3\end{array} $的解集为$- 1 ＜ x ＜ 1$，那么$(a + 1)(b - 1)$的值等于 ______ .
4. 若不等式组$\{\begin{array}{l}2x - a ＜ 1,\\x - 2b ＞ 3\end{array} $的解集为$- 1 ＜ x ＜ 1$，那么$(a + 1)(b - 1)$的值等于 ______ .
答案
4. $-6$
解析
解不等式组$\{\begin{array}{l}2x - a ＜ 1\\x - 2b ＞ 3\end{array} $，得$\{\begin{array}{l}x ＜ \dfrac{a + 1}{2}\\x ＞ 2b + 3\end{array} $。
因为解集为$-1 ＜ x ＜ 1$，所以$\{\begin{array}{l}2b + 3=-1\\\dfrac{a + 1}{2}=1\end{array} $，解得$\{\begin{array}{l}a=1\\b=-2\end{array} $。
则$(a + 1)(b - 1)=(1 + 1)(-2 - 1)=2×(-3)=-6$。
$-6$
因为解集为$-1 ＜ x ＜ 1$，所以$\{\begin{array}{l}2b + 3=-1\\\dfrac{a + 1}{2}=1\end{array} $，解得$\{\begin{array}{l}a=1\\b=-2\end{array} $。
则$(a + 1)(b - 1)=(1 + 1)(-2 - 1)=2×(-3)=-6$。
$-6$
5. 某商品进价$8$元，标价$10$元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能低于$10\%$，则最多打
8.8
折.答案
5. $8.8$
解析
设最多打$x$折，根据题意得：$10×\frac{x}{10}-8≥8×10\%$，解得$x≥8.8$，则最多打$8.8$折。
6. 从小明家到学校的路程是$2400\mathrm{m}$，如果小明早上$7:00$离家，要在$7:30$到$7:40$之间到达学校，设步行速度为$x\mathrm{m}/\mathrm{min}$，则可列不等式组为，小明步行速度的范围是.
答案
6. $\begin{cases}30x≤ 2400,\\40x≥ 2400\end{cases}$ $60≤ x≤ 80$
三、解答题
7. 定义$a\oplus b=\{\begin{array}{l}a, & a≥ b;\\b, & a ＜ b.\end{array} $求不等式$(2x + 1)\oplus(2 - x) ＞ 3$的解集.
7. 定义$a\oplus b=\{\begin{array}{l}a, & a≥ b;\\b, & a ＜ b.\end{array} $求不等式$(2x + 1)\oplus(2 - x) ＞ 3$的解集.
答案
7. $x＞1$ 或 $x＜-1$
解析
当$2x + 1 ≥ 2 - x$，即$x ≥ \frac{1}{3}$时，$(2x + 1)\oplus(2 - x)=2x + 1$，不等式化为$2x + 1 ＞ 3$，解得$x ＞ 1$，此时解集为$x ＞ 1$；
当$2x + 1 ＜ 2 - x$，即$x ＜ \frac{1}{3}$时，$(2x + 1)\oplus(2 - x)=2 - x$，不等式化为$2 - x ＞ 3$，解得$x ＜ -1$，此时解集为$x ＜ -1$；
综上，不等式的解集为$x ＞ 1$或$x ＜ -1$。
当$2x + 1 ＜ 2 - x$，即$x ＜ \frac{1}{3}$时，$(2x + 1)\oplus(2 - x)=2 - x$，不等式化为$2 - x ＞ 3$，解得$x ＜ -1$，此时解集为$x ＜ -1$；
综上，不等式的解集为$x ＞ 1$或$x ＜ -1$。
