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1.按规律排列的一组数据:3,－7,11,,19,－23,…,其中内应填的数是（
A.16
B.－16
C.15
D.－15
D
）A.16
B.－16
C.15
D.－15
答案
1. D
2. 观察下列三行数，并按规律填空：
①2，-4，8，-16，
②-1，2，-4，8，
③3，-3，9，-15，
(1)第①行数按什么规律排列？
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和.
①2，-4，8，-16，
32
，-64
，…；②-1，2，-4，8，
-16
，32
，…；③3，-3，9，-15，
33
，-63
，….(1)第①行数按什么规律排列？
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和.
答案
先完成填空部分：
①后续两空：$\boldsymbol{32}$，$\boldsymbol{-64}$
②后续两空：$\boldsymbol{-16}$，$\boldsymbol{32}$
③后续两空：$\boldsymbol{33}$，$\boldsymbol{-63}$
解：
(1) 第①行数的规律为：第一个数是$2=(-1)^{1+1}×2^1$，后续每一个数都是前一个数乘$-2$得到的，第$n$个数可以表示为 $(-1)^{n+1}· 2^n$。
(2) 第②行数的每一个数，都是第①行对应位置的数除以$-2$得到的，即第②行第$n$个数为 $\frac{(-1)^{n+1}· 2^n}{-2}=(-1)^n· 2^{n-1}$；
第③行数的每一个数，都是第①行对应位置的数加$1$得到的，即第③行第$n$个数为 $(-1)^{n+1}· 2^n +1$。
(3) 分别计算三行的第10个数：
第①行第10个数：$(-1)^{10+1}× 2^{10} = -1024$
第②行第10个数：$-1024÷(-2)=512$
第③行第10个数：$-1024+1=-1023$
三个数的和为：$-1024 + 512 + (-1023) = -1535$
①后续两空：$\boldsymbol{32}$，$\boldsymbol{-64}$
②后续两空：$\boldsymbol{-16}$，$\boldsymbol{32}$
③后续两空：$\boldsymbol{33}$，$\boldsymbol{-63}$
解：
(1) 第①行数的规律为：第一个数是$2=(-1)^{1+1}×2^1$，后续每一个数都是前一个数乘$-2$得到的，第$n$个数可以表示为 $(-1)^{n+1}· 2^n$。
(2) 第②行数的每一个数，都是第①行对应位置的数除以$-2$得到的，即第②行第$n$个数为 $\frac{(-1)^{n+1}· 2^n}{-2}=(-1)^n· 2^{n-1}$；
第③行数的每一个数，都是第①行对应位置的数加$1$得到的，即第③行第$n$个数为 $(-1)^{n+1}· 2^n +1$。
(3) 分别计算三行的第10个数：
第①行第10个数：$(-1)^{10+1}× 2^{10} = -1024$
第②行第10个数：$-1024÷(-2)=512$
第③行第10个数：$-1024+1=-1023$
三个数的和为：$-1024 + 512 + (-1023) = -1535$
3. 阅读材料，解答下列问题.
通过计算容易发现：
①$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$；
②$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{1}{4}×\frac{1}{5}$；
③$\frac{1}{6}-\frac{1}{7}=\frac{1}{6}×\frac{1}{7}$；
…
(1) 观察上面的3个算式，请写出第4个算式：______；
(2) 通过观察，计算$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}+\frac{1}{6×7}$的值为________；
(3) 探究上述的运算规律，试计算$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{2023×2025}$的值.
通过计算容易发现：
①$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$；
②$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{1}{4}×\frac{1}{5}$；
③$\frac{1}{6}-\frac{1}{7}=\frac{1}{6}×\frac{1}{7}$；
…
(1) 观察上面的3个算式，请写出第4个算式：______；
(2) 通过观察，计算$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}+\frac{1}{6×7}$的值为________；
(3) 探究上述的运算规律，试计算$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{2023×2025}$的值.
答案
解：(1) $\frac{1}{8}-\frac{1}{9}=\frac{1}{8}×\frac{1}{9}$ (2) $\frac{5}{14}$ 【解析】原式$=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}=\frac{1}{2}-\frac{1}{7}=\frac{5}{14}$。(3) 原式$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2023}-\frac{1}{2025})=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{2025})=\frac{1012}{2025}$。
4.【信息提取】
在有些情况下,不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉.例如,|6+7|=6+7;|6-7|=7-6;|7-6|=7-6;|-6-7|=6+7.
【初步体验】
(1)根据上面的规律,把下列各式写成去掉绝对值符号的形式:(不需要计算出结果)
①|7-21|=
$②\left$|$-\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{5}\right$|=
$③\left$|$\dfrac{7}{17}-\dfrac{7}{18}\right$|=
【拓广应用】
(2)计算:
$①\left$|$\dfrac{1}{5}-\dfrac{150}{557}\right$|$+\left$|$\dfrac{150}{557}-\dfrac{1}{2}\right$|$-\left$|$-\dfrac{1}{2}\right$|;
$②\left$|$\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right$|$+\left$|$\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\right$|$+\left$|$\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{4}\right$|$+\dots +$
在有些情况下,不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉.例如,|6+7|=6+7;|6-7|=7-6;|7-6|=7-6;|-6-7|=6+7.
【初步体验】
(1)根据上面的规律,把下列各式写成去掉绝对值符号的形式:(不需要计算出结果)
①|7-21|=
21-7
;$②\left$|$-\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{5}\right$|=
$\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{2}$
;$③\left$|$\dfrac{7}{17}-\dfrac{7}{18}\right$|=
$\dfrac{7}{17}-\dfrac{7}{18}$
;【拓广应用】
(2)计算:
$①\left$|$\dfrac{1}{5}-\dfrac{150}{557}\right$|$+\left$|$\dfrac{150}{557}-\dfrac{1}{2}\right$|$-\left$|$-\dfrac{1}{2}\right$|;
$②\left$|$\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right$|$+\left$|$\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\right$|$+\left$|$\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{4}\right$|$+\dots +$
答案
4. 解：(2)①原式$=\frac{150}{557}-\frac{1}{5}+\frac{1}{2}-\frac{150}{557}-\frac{1}{2}=(\frac{150}{557}-\frac{150}{557})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})-\frac{1}{5}=-\frac{1}{5}$。②原式$=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2023}-\frac{1}{2024}+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2025}=\frac{2023}{4050}$。
