登录
知识储备
答案
1. 公因式 公因式 2. 同分母 公分母
解析
【分析】
本题考查因式分解中提公因式法的基本概念和分式通分的基础概念，解题时只需回忆对应知识点即可：①提公因式法的核心是先识别多项式各项的公因式，再提取公因式完成因式分解；②异分母分式通分时，需先将异分母转化为同分母，第一步要确定各分母的公分母，结合定义直接填写对应内容即可。
【解析】
1. 回忆提公因式法的定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式乘积的形式，因此两个空均填公因式。
2. 回忆分式通分的规则：将异分母分式化为和原分式相等的分式时，首先要化为同分母的分式，确定各分母的公分母是通分的首要步骤，因此两个空依次填同分母、公分母。
【答案】
1. 公因式 公因式 2. 同分母 公分母
【知识点】
提公因式法，分式通分
【点评】
本题是基础概念考查题，是后续开展因式分解运算、分式加减运算的重要基础，需牢记相关定义，为复杂运算打好基础。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解中提公因式法的基本概念和分式通分的基础概念，解题时只需回忆对应知识点即可：①提公因式法的核心是先识别多项式各项的公因式，再提取公因式完成因式分解；②异分母分式通分时，需先将异分母转化为同分母，第一步要确定各分母的公分母，结合定义直接填写对应内容即可。
【解析】
1. 回忆提公因式法的定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式乘积的形式，因此两个空均填公因式。
2. 回忆分式通分的规则：将异分母分式化为和原分式相等的分式时，首先要化为同分母的分式，确定各分母的公分母是通分的首要步骤，因此两个空依次填同分母、公分母。
【答案】
1. 公因式 公因式 2. 同分母 公分母
【知识点】
提公因式法，分式通分
【点评】
本题是基础概念考查题，是后续开展因式分解运算、分式加减运算的重要基础，需牢记相关定义，为复杂运算打好基础。
【难度系数】
0.9
1.根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的
公因式
约去，叫作分式的约分.分子与分母没有公因式
的分式，叫作最简分式.答案
1. 公因式 公因式
解析
【分析】
这道题考查分式约分和最简分式的基础定义，解题时只需回忆对应的概念内容即可：首先明确分式约分的操作是依据分式基本性质，去掉分子分母共有的可约部分；而最简分式就是不能再进行约分的分式，对应两个空缺的定义要素直接填写即可。
【解析】
根据分式约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分。
根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式。
因此两个空缺处均填入“公因式”。
【答案】
公因式；公因式
【知识点】
分式的基本性质；分式约分；最简分式
【点评】
本题属于基础概念识记题，重点考察对分式基础定义的掌握情况，是后续分式化简、分式运算的必备基础，牢记相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
这道题考查分式约分和最简分式的基础定义，解题时只需回忆对应的概念内容即可：首先明确分式约分的操作是依据分式基本性质，去掉分子分母共有的可约部分；而最简分式就是不能再进行约分的分式，对应两个空缺的定义要素直接填写即可。
【解析】
根据分式约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分。
根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式。
因此两个空缺处均填入“公因式”。
【答案】
公因式；公因式
【知识点】
分式的基本性质；分式约分；最简分式
【点评】
本题属于基础概念识记题，重点考察对分式基础定义的掌握情况，是后续分式化简、分式运算的必备基础，牢记相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2.根据分式的基本性质
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式值相等的
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式值相等的同分母
的分式，叫做分式的通分。通分前，要先确定各分式的最简公分母
。答案
2. 同分母 公分母
解析
【分析】
这是一道概念识记类填空题，解题时需回忆分式通分的相关定义：首先通分的核心是将异分母分式转化为同分母分式，且转化前后分式的值保持不变；其次通分前需要先找到所有分母的最简公共分母，即最简公分母，结合定义即可准确填写空缺内容。
【解析】
根据分式通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式值相等的同分母的分式，叫做分式的通分。通分前要先确定各分式的最简公分母，因此两个空依次填写“同分母”、“公分母”。
【答案】
同分母 公分母
【知识点】
1. 分式通分的定义
2. 最简公分母
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对分式通分相关概念的记忆与理解，熟练掌握教材基础定义即可快速作答，通分是后续开展分式运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
这是一道概念识记类填空题，解题时需回忆分式通分的相关定义：首先通分的核心是将异分母分式转化为同分母分式，且转化前后分式的值保持不变；其次通分前需要先找到所有分母的最简公共分母，即最简公分母，结合定义即可准确填写空缺内容。
【解析】
根据分式通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式值相等的同分母的分式，叫做分式的通分。通分前要先确定各分式的最简公分母，因此两个空依次填写“同分母”、“公分母”。
【答案】
同分母 公分母
【知识点】
1. 分式通分的定义
2. 最简公分母
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对分式通分相关概念的记忆与理解，熟练掌握教材基础定义即可快速作答，通分是后续开展分式运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
1.【法则辨析】(1)分式$\frac{2ab}{6a^2bc}$的分子与分母的公因式是________，约分的结果是________。
(2)分式$\frac{x-1}{x^2-1}$的分母分解因式为________，分子与分母有公因式________，约分的结果是________。
(2)分式$\frac{x-1}{x^2-1}$的分母分解因式为________，分子与分母有公因式________，约分的结果是________。
答案
(1) $2ab$ $\frac{1}{3ac}$ (2) $(x+1)(x-1)$ $(x-1)$ $\frac{1}{x+1}$
解析
【分析】
本题考查分式约分相关知识，解题思路如下：
(1) 找单项式构成的分子分母的公因式时，先找系数的最大公约数，再找分子分母共有的字母，取相同字母的最低次幂，二者乘积即为公因式；约分只需将分子分母同时除以公因式，化为最简分式即可。
(2) 当分母是多项式时，先利用因式分解的方法将分母化为乘积形式，再对比分子找公因式，最后约去公因式得到最简分式，注意分式约分的前提是分母不为0。
【解析】
(1) 先确定公因式：系数部分2和6的最大公约数是2，相同字母部分分子分母共有的字母为a、b，a的最低次幂是1次，b的最低次幂是1次，因此公因式为$2ab$。
约分：将分子分母同时除以公因式$2ab$，得$\frac{2ab÷2ab}{6a^2bc÷2ab}=\frac{1}{3ac}$。
(2) 先分解分母：$x^2-1$符合平方差公式，即$x^2-1^2=(x+1)(x-1)$，因此分母分解因式结果为$(x+1)(x-1)$。
对比分子$x-1$，可得分子分母的公因式为$x-1$。
约分：将分子分母同时除以公因式$x-1$（$x≠\pm1$，保证原式有意义），得$\frac{(x-1)÷(x-1)}{(x+1)(x-1)÷(x-1)}=\frac{1}{x+1}$。
【答案】
(1) $2ab$；$\frac{1}{3ac}$
(2) $(x+1)(x-1)$；$(x-1)$；$\frac{1}{x+1}$
【知识点】
公因式的确定；分式约分；平方差公式分解因式
【点评】
本题属于分式基础题，核心是掌握公因式的确定方法，遇到多项式形式的分子或分母时，要先因式分解再找公因式，约分结果需化为最简分式，解题时要注意分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.8
本题考查分式约分相关知识，解题思路如下：
(1) 找单项式构成的分子分母的公因式时，先找系数的最大公约数，再找分子分母共有的字母，取相同字母的最低次幂，二者乘积即为公因式；约分只需将分子分母同时除以公因式，化为最简分式即可。
(2) 当分母是多项式时，先利用因式分解的方法将分母化为乘积形式，再对比分子找公因式，最后约去公因式得到最简分式，注意分式约分的前提是分母不为0。
【解析】
(1) 先确定公因式：系数部分2和6的最大公约数是2，相同字母部分分子分母共有的字母为a、b，a的最低次幂是1次，b的最低次幂是1次，因此公因式为$2ab$。
约分：将分子分母同时除以公因式$2ab$，得$\frac{2ab÷2ab}{6a^2bc÷2ab}=\frac{1}{3ac}$。
(2) 先分解分母：$x^2-1$符合平方差公式，即$x^2-1^2=(x+1)(x-1)$，因此分母分解因式结果为$(x+1)(x-1)$。
对比分子$x-1$，可得分子分母的公因式为$x-1$。
约分：将分子分母同时除以公因式$x-1$（$x≠\pm1$，保证原式有意义），得$\frac{(x-1)÷(x-1)}{(x+1)(x-1)÷(x-1)}=\frac{1}{x+1}$。
【答案】
(1) $2ab$；$\frac{1}{3ac}$
(2) $(x+1)(x-1)$；$(x-1)$；$\frac{1}{x+1}$
【知识点】
公因式的确定；分式约分；平方差公式分解因式
【点评】
本题属于分式基础题，核心是掌握公因式的确定方法，遇到多项式形式的分子或分母时，要先因式分解再找公因式，约分结果需化为最简分式，解题时要注意分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.8
2. 下列分式中，属于最简分式的是 （$\boldsymbol{}$）
A.$\dfrac{-2bc}{ac}$
B.$\dfrac{(x+y)y}{xy^2}$
C.$\dfrac{x}{(x+y)^2}$
D.$\dfrac{x^2 - y^2}{(x - y)^2}$
A.$\dfrac{-2bc}{ac}$
B.$\dfrac{(x+y)y}{xy^2}$
C.$\dfrac{x}{(x+y)^2}$
D.$\dfrac{x^2 - y^2}{(x - y)^2}$
答案
C
解析
【分析】
要判断最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题时需逐个分析选项，先将每个选项的分子、分母中能因式分解的部分分解，再判断二者是否有公因式，若有公因式则可约分，不属于最简分式，若无公因式则为最简分式。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：分式$\dfrac{-2bc}{ac}$的分子和分母存在公因式$c$，约分后得$\dfrac{-2b}{a}$，不是最简分式；
B选项：分式$\dfrac{(x+y)y}{xy^2}$的分子和分母存在公因式$y$，约分后得$\dfrac{x+y}{xy}$，不是最简分式；
C选项：分式$\dfrac{x}{(x+y)^2}$的分子为$x$，分母为$(x+y)^2$，二者没有公因式，不能再约分，是最简分式；
D选项：先将分子因式分解，$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，则分式$\dfrac{x^2 - y^2}{(x - y)^2}$的分子和分母存在公因式$(x-y)$，约分后得$\dfrac{x+y}{x-y}$，不是最简分式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
最简分式的定义、分式约分、因式分解
【点评】
本题属于基础题型，主要考查最简分式的判断，解题的关键是熟练掌握找分子分母公因式的方法，遇到能因式分解的多项式要先分解再判断，避免遗漏公因式。
【难度系数】
0.8
要判断最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题时需逐个分析选项，先将每个选项的分子、分母中能因式分解的部分分解，再判断二者是否有公因式，若有公因式则可约分，不属于最简分式，若无公因式则为最简分式。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：分式$\dfrac{-2bc}{ac}$的分子和分母存在公因式$c$，约分后得$\dfrac{-2b}{a}$，不是最简分式；
B选项：分式$\dfrac{(x+y)y}{xy^2}$的分子和分母存在公因式$y$，约分后得$\dfrac{x+y}{xy}$，不是最简分式；
C选项：分式$\dfrac{x}{(x+y)^2}$的分子为$x$，分母为$(x+y)^2$，二者没有公因式，不能再约分，是最简分式；
D选项：先将分子因式分解，$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，则分式$\dfrac{x^2 - y^2}{(x - y)^2}$的分子和分母存在公因式$(x-y)$，约分后得$\dfrac{x+y}{x-y}$，不是最简分式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
最简分式的定义、分式约分、因式分解
【点评】
本题属于基础题型，主要考查最简分式的判断，解题的关键是熟练掌握找分子分母公因式的方法，遇到能因式分解的多项式要先分解再判断，避免遗漏公因式。
【难度系数】
0.8
3. 下列约分正确的是（
A.$\frac{m+1}{m+2}=\frac{1}{2}$
B.$\frac{ab}{ab - b^2}=\frac{a}{a - b}$
C.$\frac{b+a}{b - a}=-1$
D.$\frac{x^2 + y}{xy^2}=\frac{x + y}{y^2}$
B
）A.$\frac{m+1}{m+2}=\frac{1}{2}$
B.$\frac{ab}{ab - b^2}=\frac{a}{a - b}$
C.$\frac{b+a}{b - a}=-1$
D.$\frac{x^2 + y}{xy^2}=\frac{x + y}{y^2}$
答案
3. B
解析
【分析】
要判断分式约分是否正确，需依据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。约分的核心是约去分子分母的公因式，注意不能直接约去分子分母中单独的加减项。解题时可逐个分析选项，先对各选项的分子、分母因式分解，再判断约分是否符合规则。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：$\frac{m+1}{m+2}$的分子$m+1$和分母$m+2$没有公因式，无法约分，不能直接去掉$m$得到$\frac{1}{2}$，该选项错误；
B选项：先对分母因式分解，$ab-b^2=b(a-b)$，原分式可写为$\frac{ab}{b(a-b)}$，由于原分式有意义时分母不为0，因此$b≠0$，可约去公因式$b$，得到$\frac{a}{a-b}$，该选项正确；
C选项：$\frac{b+a}{b-a}$的分子$a+b$和分母$b-a$没有公因式，不能约分，仅当分子为$a-b$时，$\frac{a-b}{b-a}=-1$，该选项错误；
D选项：分子$x^2+y$无法提取公因式$x$，和分母没有公因式$x$，不能直接约去$x$得到$\frac{x+y}{y^2}$，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
分式基本性质，分式约分，因式分解
【点评】
本题考查分式约分的正误判断，解题的关键是明确约分的规则：只能约去分子、分母的公因式，不可直接约去分子分母中加减运算的单独项，做题时要先对分子分母因式分解，确认公因式后再约分，避免因概念不清出错。
【难度系数】
0.7
要判断分式约分是否正确，需依据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。约分的核心是约去分子分母的公因式，注意不能直接约去分子分母中单独的加减项。解题时可逐个分析选项，先对各选项的分子、分母因式分解，再判断约分是否符合规则。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：$\frac{m+1}{m+2}$的分子$m+1$和分母$m+2$没有公因式，无法约分，不能直接去掉$m$得到$\frac{1}{2}$，该选项错误；
B选项：先对分母因式分解，$ab-b^2=b(a-b)$，原分式可写为$\frac{ab}{b(a-b)}$，由于原分式有意义时分母不为0，因此$b≠0$，可约去公因式$b$，得到$\frac{a}{a-b}$，该选项正确；
C选项：$\frac{b+a}{b-a}$的分子$a+b$和分母$b-a$没有公因式，不能约分，仅当分子为$a-b$时，$\frac{a-b}{b-a}=-1$，该选项错误；
D选项：分子$x^2+y$无法提取公因式$x$，和分母没有公因式$x$，不能直接约去$x$得到$\frac{x+y}{y^2}$，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
分式基本性质，分式约分，因式分解
【点评】
本题考查分式约分的正误判断，解题的关键是明确约分的规则：只能约去分子、分母的公因式，不可直接约去分子分母中加减运算的单独项，做题时要先对分子分母因式分解，确认公因式后再约分，避免因概念不清出错。
【难度系数】
0.7
4.分式$-\frac{a}{3x^2}$与$\frac{x}{6xy}$的最简公分母是 （
A.$6x^3y$
B.$6x^2y$
C.$18x^2y$
D.$18x^3y$
B
）A.$6x^3y$
B.$6x^2y$
C.$18x^2y$
D.$18x^3y$
答案
4. B
解析
【分析】
要确定两个分式的最简公分母，需按固定步骤思考：第一步先分别提取两个分式的分母；第二步计算各分母系数的最小公倍数；第三步处理字母部分，相同字母取最高次幂，所有出现过的不同字母都要保留，最后将系数最小公倍数与各字母的最高次幂相乘，得到的结果就是最简公分母。
【解析】
首先确定两个分式的分母：$-\frac{a}{3x^2}$的分母是$3x^2$，$\frac{x}{6xy}$的分母是$6xy$。
1. 计算系数的最小公倍数：3和6的最小公倍数是6；
2. 处理字母部分：相同字母$x$的最高次幂是$x^2$，仅在第二个分母出现的字母$y$保留1次幂即$y$；
3. 组合得到最简公分母：$6× x^2× y=6x^2y$。
因此选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 最简公分母的确定
2. 最小公倍数计算
【点评】
本题是分式相关的基础题型，核心考查最简公分母的确定规则，熟练掌握“系数取最小公倍数、同字母取最高次幂、不同字母全保留”的判定步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要确定两个分式的最简公分母，需按固定步骤思考：第一步先分别提取两个分式的分母；第二步计算各分母系数的最小公倍数；第三步处理字母部分，相同字母取最高次幂，所有出现过的不同字母都要保留，最后将系数最小公倍数与各字母的最高次幂相乘，得到的结果就是最简公分母。
【解析】
首先确定两个分式的分母：$-\frac{a}{3x^2}$的分母是$3x^2$，$\frac{x}{6xy}$的分母是$6xy$。
1. 计算系数的最小公倍数：3和6的最小公倍数是6；
2. 处理字母部分：相同字母$x$的最高次幂是$x^2$，仅在第二个分母出现的字母$y$保留1次幂即$y$；
3. 组合得到最简公分母：$6× x^2× y=6x^2y$。
因此选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 最简公分母的确定
2. 最小公倍数计算
【点评】
本题是分式相关的基础题型，核心考查最简公分母的确定规则，熟练掌握“系数取最小公倍数、同字母取最高次幂、不同字母全保留”的判定步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. (1) 分式$\frac{1}{3(x+2)}$与$\frac{1}{x-2}$的最简公分母是________。
(2) 分式$\frac{x}{x^2 -1}$和$\frac{1}{x^2 -x}$的最简公分母是________。
(3) 分式$\frac{1}{xy}, -\frac{y}{4x^3}, \frac{3x}{2x^2y}$的最简公分母是________。
(2) 分式$\frac{x}{x^2 -1}$和$\frac{1}{x^2 -x}$的最简公分母是________。
(3) 分式$\frac{1}{xy}, -\frac{y}{4x^3}, \frac{3x}{2x^2y}$的最简公分母是________。
答案
(1) $3(x+2)(x-2)$ (2) $x(x+1)(x-1)$ (3) $4x^3 y$
解析
【分析】
求解最简公分母需按照固定思路：①若分母是多项式，先对分母进行因式分解；②取各分母系数的最小公倍数；③相同因式取最高次幂，不同的因式全部保留，最后将上述部分相乘即得最简公分母。
(1) 两个分母分别为$3(x+2)$、$x-2$，均已为最简因式形式，系数最小公倍数为3，所含因式为$(x+2)$、$(x-2)$，相乘即可；
(2) 先对两个分母因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-x=x(x-1)$，系数最小公倍数为1，所含因式为$x$、$(x+1)$、$(x-1)$，相乘即可；
(3) 三个分母均为单项式，系数1、4、2的最小公倍数为4，$x$的最高次为3次，$y$的最高次为1次，组合即可。
【解析】
(1) 分母$3(x+2)$和$x-2$的系数最小公倍数是3，不同因式为$(x+2)$、$(x-2)$，故最简公分母为$3(x+2)(x-2)$；
(2) 先分解分母：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-x=x(x-1)$，系数最小公倍数是1，不同因式为$x$、$(x+1)$、$(x-1)$，故最简公分母为$x(x+1)(x-1)$；
(3) 分母$xy$、$4x^3$、$2x^2y$的系数最小公倍数是4，$x$的最高次幂为$x^3$，$y$的最高次幂为$y$，故最简公分母为$4x^3y$。
【答案】
(1) $3(x+2)(x-2)$；(2) $x(x+1)(x-1)$；(3) $4x^3 y$
【知识点】
1. 最简公分母的确定；2. 因式分解；3. 幂的运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查最简公分母的求解方法，解题时需注意多项式类分母要先因式分解，再按规则提取公共部分和独有部分，熟练掌握方法即可快速准确求解。
【难度系数】
0.85
求解最简公分母需按照固定思路：①若分母是多项式，先对分母进行因式分解；②取各分母系数的最小公倍数；③相同因式取最高次幂，不同的因式全部保留，最后将上述部分相乘即得最简公分母。
(1) 两个分母分别为$3(x+2)$、$x-2$，均已为最简因式形式，系数最小公倍数为3，所含因式为$(x+2)$、$(x-2)$，相乘即可；
(2) 先对两个分母因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-x=x(x-1)$，系数最小公倍数为1，所含因式为$x$、$(x+1)$、$(x-1)$，相乘即可；
(3) 三个分母均为单项式，系数1、4、2的最小公倍数为4，$x$的最高次为3次，$y$的最高次为1次，组合即可。
【解析】
(1) 分母$3(x+2)$和$x-2$的系数最小公倍数是3，不同因式为$(x+2)$、$(x-2)$，故最简公分母为$3(x+2)(x-2)$；
(2) 先分解分母：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-x=x(x-1)$，系数最小公倍数是1，不同因式为$x$、$(x+1)$、$(x-1)$，故最简公分母为$x(x+1)(x-1)$；
(3) 分母$xy$、$4x^3$、$2x^2y$的系数最小公倍数是4，$x$的最高次幂为$x^3$，$y$的最高次幂为$y$，故最简公分母为$4x^3y$。
【答案】
(1) $3(x+2)(x-2)$；(2) $x(x+1)(x-1)$；(3) $4x^3 y$
【知识点】
1. 最简公分母的确定；2. 因式分解；3. 幂的运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查最简公分母的求解方法，解题时需注意多项式类分母要先因式分解，再按规则提取公共部分和独有部分，熟练掌握方法即可快速准确求解。
【难度系数】
0.85
6. 分式$\frac{y}{2x}$与$\frac{x}{4y^2}$的最简公分母是
$4xy^2$
，将它们通分时，各分式的分子和分母所乘的单项式分别是$2y^2,x$
。答案
6. $4xy^2$ $2y^2,x$
解析
【分析】
解决本题需要先明确最简公分母的确定方法：①取各分母系数的最小公倍数；②单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的因式；③同底数幂取次数最高的，将上述得到的因式相乘即为最简公分母。确定最简公分母后，用最简公分母分别除以两个分式的原分母，即可得到各分式分子、分母需要乘的单项式。
【解析】
首先确定两个分式的分母：$\frac{y}{2x}$的分母为$2x$，$\frac{x}{4y^2}$的分母为$4y^2$。
1. 求最简公分母：
系数部分：2和4的最小公倍数是4；
字母部分：两个分母中出现的字母为$x$和$y$，$x$的最高次幂为$x^1$，$y$的最高次幂为$y^2$；
因此最简公分母为$4× x× y^2=4xy^2$。
2. 求各分式分子分母需乘的单项式：
对于$\frac{y}{2x}$：$4xy^2÷2x=2y^2$，即需乘$2y^2$；
对于$\frac{x}{4y^2}$：$4xy^2÷4y^2=x$，即需乘$x$。
【答案】
$4xy^2$；$2y^2,x$
【知识点】
最简公分母的确定，分式通分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是掌握最简公分母的确定规则，是后续分式加减、化简求值等运算的必备基础。
【难度系数】
0.8
解决本题需要先明确最简公分母的确定方法：①取各分母系数的最小公倍数；②单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的因式；③同底数幂取次数最高的，将上述得到的因式相乘即为最简公分母。确定最简公分母后，用最简公分母分别除以两个分式的原分母，即可得到各分式分子、分母需要乘的单项式。
【解析】
首先确定两个分式的分母：$\frac{y}{2x}$的分母为$2x$，$\frac{x}{4y^2}$的分母为$4y^2$。
1. 求最简公分母：
系数部分：2和4的最小公倍数是4；
字母部分：两个分母中出现的字母为$x$和$y$，$x$的最高次幂为$x^1$，$y$的最高次幂为$y^2$；
因此最简公分母为$4× x× y^2=4xy^2$。
2. 求各分式分子分母需乘的单项式：
对于$\frac{y}{2x}$：$4xy^2÷2x=2y^2$，即需乘$2y^2$；
对于$\frac{x}{4y^2}$：$4xy^2÷4y^2=x$，即需乘$x$。
【答案】
$4xy^2$；$2y^2,x$
【知识点】
最简公分母的确定，分式通分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是掌握最简公分母的确定规则，是后续分式加减、化简求值等运算的必备基础。
【难度系数】
0.8
7.【教材P143例5变式】通分：
(1)$\frac{x}{2y}$与$\frac{2}{3xy^2}$；
(2)$\frac{x}{2(x-4)}$与$\frac{4}{x+4}$。
(1)$\frac{x}{2y}$与$\frac{2}{3xy^2}$；
(2)$\frac{x}{2(x-4)}$与$\frac{4}{x+4}$。
答案
7. (1)解:最简公分母是 $6xy^2$. $\frac{x}{2y}=\frac{x · 3xy}{2y · 3xy}=\frac{3x^2 y}{6xy^2}$,$\frac{2}{3xy^2}=\frac{2× 2}{3xy^2 × 2}=\frac{4}{6xy^2}$；
(2)解:最简公分母是 $2(x-4)(x+4)$,$\frac{x}{2(x-4)}=\frac{x(x+4)}{2(x-4)(x+4)}=\frac{x^2 +4x}{2(x^2 -16)}$,$\frac{4}{x+4}=\frac{8(x-4)}{2(x-4)(x+4)}=\frac{8x-32}{2(x^2 -16)}$.
(2)解:最简公分母是 $2(x-4)(x+4)$,$\frac{x}{2(x-4)}=\frac{x(x+4)}{2(x-4)(x+4)}=\frac{x^2 +4x}{2(x^2 -16)}$,$\frac{4}{x+4}=\frac{8(x-4)}{2(x-4)(x+4)}=\frac{8x-32}{2(x^2 -16)}$.
解析
【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，将各分式的分母统一化为最简公分母，同时保证分式的值不变。
(1) 两个分式的分母是单项式，找最简公分母的方法：系数取2和3的最小公倍数6，所有出现的字母为x、y，相同字母取最高次幂（x的最高次为1次，y的最高次为2次），因此最简公分母为$6xy^2$，再分别给两个分式的分子分母同乘分母变为$6xy^2$缺少的因式即可。
(2) 两个分式的分母是多项式，系数取2和1的最小公倍数2，所有出现的因式为$(x-4)$、$(x+4)$，次数都是1次，因此最简公分母为$2(x-4)(x+4)$，再分别给两个分式的分子分母同乘分母变为最简公分母缺少的因式，最后展开分子即可。
【解析】
(1) 最简公分母是$6xy^2$：
根据分式的基本性质，对$\frac{x}{2y}$的分子分母同乘$3xy$：
$\frac{x}{2y}=\frac{x · 3xy}{2y · 3xy}=\frac{3x^2 y}{6xy^2}$
对$\frac{2}{3xy^2}$的分子分母同乘2：
$\frac{2}{3xy^2}=\frac{2× 2}{3xy^2 × 2}=\frac{4}{6xy^2}$
(2) 最简公分母是$2(x-4)(x+4)$：
根据分式的基本性质，对$\frac{x}{2(x-4)}$的分子分母同乘$(x+4)$：
$\frac{x}{2(x-4)}=\frac{x(x+4)}{2(x-4)(x+4)}=\frac{x^2 +4x}{2(x^2 -16)}$
对$\frac{4}{x+4}$的分子分母同乘$2(x-4)$：
$\frac{4}{x+4}=\frac{4×2(x-4)}{(x+4)×2(x-4)}=\frac{8x-32}{2(x^2 -16)}$
【答案】
(1) $\frac{x}{2y}=\frac{3x^2 y}{6xy^2}$，$\frac{2}{3xy^2}=\frac{4}{6xy^2}$；
(2) $\frac{x}{2(x-4)}=\frac{x^2 +4x}{2(x^2 -16)}$，$\frac{4}{x+4}=\frac{8x-32}{2(x^2 -16)}$。
【知识点】
分式的通分；最简公分母的确定；分式的基本性质
【点评】
本题属于分式通分的基础题型，重点考查最简公分母的找法和分式基本性质的应用，解题时要注意分子不能漏乘分母所乘的因式，多项式运算时要正确展开，是后续分式加减运算的必备基础。
【难度系数】
0.85
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，将各分式的分母统一化为最简公分母，同时保证分式的值不变。
(1) 两个分式的分母是单项式，找最简公分母的方法：系数取2和3的最小公倍数6，所有出现的字母为x、y，相同字母取最高次幂（x的最高次为1次，y的最高次为2次），因此最简公分母为$6xy^2$，再分别给两个分式的分子分母同乘分母变为$6xy^2$缺少的因式即可。
(2) 两个分式的分母是多项式，系数取2和1的最小公倍数2，所有出现的因式为$(x-4)$、$(x+4)$，次数都是1次，因此最简公分母为$2(x-4)(x+4)$，再分别给两个分式的分子分母同乘分母变为最简公分母缺少的因式，最后展开分子即可。
【解析】
(1) 最简公分母是$6xy^2$：
根据分式的基本性质，对$\frac{x}{2y}$的分子分母同乘$3xy$：
$\frac{x}{2y}=\frac{x · 3xy}{2y · 3xy}=\frac{3x^2 y}{6xy^2}$
对$\frac{2}{3xy^2}$的分子分母同乘2：
$\frac{2}{3xy^2}=\frac{2× 2}{3xy^2 × 2}=\frac{4}{6xy^2}$
(2) 最简公分母是$2(x-4)(x+4)$：
根据分式的基本性质，对$\frac{x}{2(x-4)}$的分子分母同乘$(x+4)$：
$\frac{x}{2(x-4)}=\frac{x(x+4)}{2(x-4)(x+4)}=\frac{x^2 +4x}{2(x^2 -16)}$
对$\frac{4}{x+4}$的分子分母同乘$2(x-4)$：
$\frac{4}{x+4}=\frac{4×2(x-4)}{(x+4)×2(x-4)}=\frac{8x-32}{2(x^2 -16)}$
【答案】
(1) $\frac{x}{2y}=\frac{3x^2 y}{6xy^2}$，$\frac{2}{3xy^2}=\frac{4}{6xy^2}$；
(2) $\frac{x}{2(x-4)}=\frac{x^2 +4x}{2(x^2 -16)}$，$\frac{4}{x+4}=\frac{8x-32}{2(x^2 -16)}$。
【知识点】
分式的通分；最简公分母的确定；分式的基本性质
【点评】
本题属于分式通分的基础题型，重点考查最简公分母的找法和分式基本性质的应用，解题时要注意分子不能漏乘分母所乘的因式，多项式运算时要正确展开，是后续分式加减运算的必备基础。
【难度系数】
0.85
8. 在等式$\frac{*}{x^2 - 1} = \frac{x - 1}{x + 1}$中，*处表示的式子是
$(x-1)^2$
。答案
8. $(x-1)^2$
解析
【分析】
要确定等式中*处的式子，需结合分式的基本性质思考：首先将等式左侧的分母利用平方差公式因式分解，对比左右两边分式的分母，可发现右侧分母乘(x-1)即可得到左侧分母，根据分式的基本性质，右侧分子也需乘同一个(x-1)，计算后即可得到*代表的式子。
【解析】
首先对左侧分母因式分解：
$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$
根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘同一个不为0的整式，分式的值不变。右侧分式$\frac{x-1}{x+1}$的分子、分母同时乘$(x-1)$，可得：
$\frac{x-1}{x+1} = \frac{(x-1)·(x-1)}{(x+1)·(x-1)} = \frac{(x-1)^2}{x^2 - 1}$
因此*处表示的式子为$(x-1)^2$。
【答案】
$(x-1)^2$
【知识点】
分式的基本性质；平方差公式因式分解
【点评】
本题属于分式章节的基础常规题，解题关键是先通过因式分解找到两个分式分母的变化关系，再结合分式基本性质推导对应的分子，掌握分式变形规则是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要确定等式中*处的式子，需结合分式的基本性质思考：首先将等式左侧的分母利用平方差公式因式分解，对比左右两边分式的分母，可发现右侧分母乘(x-1)即可得到左侧分母，根据分式的基本性质，右侧分子也需乘同一个(x-1)，计算后即可得到*代表的式子。
【解析】
首先对左侧分母因式分解：
$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$
根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘同一个不为0的整式，分式的值不变。右侧分式$\frac{x-1}{x+1}$的分子、分母同时乘$(x-1)$，可得：
$\frac{x-1}{x+1} = \frac{(x-1)·(x-1)}{(x+1)·(x-1)} = \frac{(x-1)^2}{x^2 - 1}$
因此*处表示的式子为$(x-1)^2$。
【答案】
$(x-1)^2$
【知识点】
分式的基本性质；平方差公式因式分解
【点评】
本题属于分式章节的基础常规题，解题关键是先通过因式分解找到两个分式分母的变化关系，再结合分式基本性质推导对应的分子，掌握分式变形规则是解题的核心。
【难度系数】
0.8
9.化简分式：
答案
9. 解: 原式 $=\frac{(x-1)^2}{(x^2 +1 +2x)(x^2 +1 -2x)}=\frac{(x-1)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.
解析
【分析】
化简分式的核心思路是先对分子、分母分别因式分解，再约去公因式得到最简结果。第一步先看分子：$x^2-2x+1$符合完全平方差公式的结构，可直接分解；第二步看分母：$(x^2+1)^2-4x^2$符合平方差公式的结构，先利用平方差公式分解，再观察分解后的两个因式，发现也符合完全平方公式的形式，可继续分解；最后将分子分母的公因式约去即可。
【解析】
解：先对分子、分母分别因式分解：
分子$x^2-2x+1=(x-1)^2$，
分母符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=x^2+1$，$b=2x$，因此：
$(x^2+1)^2-4x^2=(x^2+1+2x)(x^2+1-2x)$
再对分解后的两个因式用完全平方公式分解：
$x^2+1+2x=(x+1)^2$，$x^2+1-2x=(x-1)^2$
因此原式可化为：
$\frac{(x-1)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}$
约去分子分母的公因式$(x-1)^2$，得：
$\frac{1}{(x+1)^2}$
【答案】
$\frac{1}{(x+1)^2}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式化简的基础题型，解题的关键是熟练掌握乘法公式的结构特征，对分子分母分解因式时要做到分解彻底，约分后要保证结果是最简分式。
【难度系数】
0.7
化简分式的核心思路是先对分子、分母分别因式分解，再约去公因式得到最简结果。第一步先看分子：$x^2-2x+1$符合完全平方差公式的结构，可直接分解；第二步看分母：$(x^2+1)^2-4x^2$符合平方差公式的结构，先利用平方差公式分解，再观察分解后的两个因式，发现也符合完全平方公式的形式，可继续分解；最后将分子分母的公因式约去即可。
【解析】
解：先对分子、分母分别因式分解：
分子$x^2-2x+1=(x-1)^2$，
分母符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=x^2+1$，$b=2x$，因此：
$(x^2+1)^2-4x^2=(x^2+1+2x)(x^2+1-2x)$
再对分解后的两个因式用完全平方公式分解：
$x^2+1+2x=(x+1)^2$，$x^2+1-2x=(x-1)^2$
因此原式可化为：
$\frac{(x-1)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}$
约去分子分母的公因式$(x-1)^2$，得：
$\frac{1}{(x+1)^2}$
【答案】
$\frac{1}{(x+1)^2}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式化简的基础题型，解题的关键是熟练掌握乘法公式的结构特征，对分子分母分解因式时要做到分解彻底，约分后要保证结果是最简分式。
【难度系数】
0.7
