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6.某网店开展促销活动，其商品一律按八折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件.该商品打折前每件多少元？
02 综合练 关键能力提升
02 综合练 关键能力提升
答案
6. 解:设该商品打折前每件x元,则打折后每件0.8x元,根据题意,得$\frac{400}{x}+2=\frac{400}{0.8x}$,解得x=50.经检验,x=50是原方程的解,且符合题意.答:该商品打折前每件50元.
解析
【分析】
本题是销售类的分式方程应用题，解题时首先明确核心等量关系：促销期间400元购买的商品数量 = 打折前400元购买的商品数量 + 2件。我们可以先设打折前每件商品的价格为x元，那么打折后八折的价格就是0.8x元，再根据“数量=总价÷单价”分别表示出打折前后购买的数量，代入等量关系即可列出方程求解，最后注意分式方程需要检验解是否符合要求。
【解析】
解：设该商品打折前每件x元，则打折后每件0.8x元。
根据题意可列方程：
$\frac{400}{x} + 2 = \frac{400}{0.8x}$
解方程：
两边同乘0.8x去分母得：$400×0.8 + 2×0.8x = 400$
计算得：$320 + 1.6x = 400$
移项得：$1.6x = 80$
解得：$x = 50$
检验：当$x=50$时，$0.8x=40≠0$，所以$x=50$是原方程的解，且符合实际意义。
答：该商品打折前每件50元。
【答案】
50元
【知识点】
分式方程的应用；销售打折问题；分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程在实际生活中的典型应用，解题核心是准确抓住题干中的数量差作为等量关系列方程，求解后要注意检验分式方程的解既要满足原方程，也要符合实际意义，避免出现增根或不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
本题是销售类的分式方程应用题，解题时首先明确核心等量关系：促销期间400元购买的商品数量 = 打折前400元购买的商品数量 + 2件。我们可以先设打折前每件商品的价格为x元，那么打折后八折的价格就是0.8x元，再根据“数量=总价÷单价”分别表示出打折前后购买的数量，代入等量关系即可列出方程求解，最后注意分式方程需要检验解是否符合要求。
【解析】
解：设该商品打折前每件x元，则打折后每件0.8x元。
根据题意可列方程：
$\frac{400}{x} + 2 = \frac{400}{0.8x}$
解方程：
两边同乘0.8x去分母得：$400×0.8 + 2×0.8x = 400$
计算得：$320 + 1.6x = 400$
移项得：$1.6x = 80$
解得：$x = 50$
检验：当$x=50$时，$0.8x=40≠0$，所以$x=50$是原方程的解，且符合实际意义。
答：该商品打折前每件50元。
【答案】
50元
【知识点】
分式方程的应用；销售打折问题；分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程在实际生活中的典型应用，解题核心是准确抓住题干中的数量差作为等量关系列方程，求解后要注意检验分式方程的解既要满足原方程，也要符合实际意义，避免出现增根或不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
7.某自动化车间计划生产 480 个零件,当生产任务完成一半时,停止生产进行自动化程序软件升级,用时 20 min,恢复生产后工作效率比原来提高了$\frac{1}{3}$,结果完成任务时比原计划提前了 40 min,软件升级后每小时生产
80
个零件.答案
7. 80
解析
【分析】
这是工程类分式方程应用题，解题核心是找准时间的等量关系。首先明确：①总任务的一半是240个零件；②升级后工作效率比原来提高$\frac{1}{3}$；③升级耗时20分钟，最终总用时比原计划提前40分钟，说明生产后240个零件时，实际用时比原来生产240个的用时少了$20+40=60$分钟（即1小时）。我们可以先设升级前每小时生产$x$个零件，再表示出升级后的效率，根据后240个零件的生产时间差列方程求解即可。
【解析】
先统一单位：$20\mathrm{min}=\frac{1}{3}\mathrm{h}$，$40\mathrm{min}=\frac{2}{3}\mathrm{h}$，生产后一半零件的时间差为$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1\mathrm{h}$。
设软件升级前每小时生产$x$个零件，则升级后每小时生产$(1+\frac{1}{3})x=\frac{4}{3}x$个零件。
生产后240个零件，原计划用时为$\frac{240}{x}$小时，升级后实际用时为$\frac{240}{\frac{4}{3}x}$小时，根据时间差列方程：
$\frac{240}{x}-\frac{240}{\frac{4}{3}x}=1$
化简计算：
$\frac{240}{x}-\frac{180}{x}=1$
$\frac{60}{x}=1$
解得$x=60$。
检验：当$x=60$时，分母不为0，是原方程的解，且符合实际意义。
则升级后每小时生产零件数量为：$\frac{4}{3}×60=80$（个）
【答案】
80
【知识点】
分式方程的应用、工程问题
【点评】
本题的易错点是容易忽略升级占用的时间，错误计算时间差，另外要注意将分钟换算为统一的小时单位，解分式方程后必须检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.65
这是工程类分式方程应用题，解题核心是找准时间的等量关系。首先明确：①总任务的一半是240个零件；②升级后工作效率比原来提高$\frac{1}{3}$；③升级耗时20分钟，最终总用时比原计划提前40分钟，说明生产后240个零件时，实际用时比原来生产240个的用时少了$20+40=60$分钟（即1小时）。我们可以先设升级前每小时生产$x$个零件，再表示出升级后的效率，根据后240个零件的生产时间差列方程求解即可。
【解析】
先统一单位：$20\mathrm{min}=\frac{1}{3}\mathrm{h}$，$40\mathrm{min}=\frac{2}{3}\mathrm{h}$，生产后一半零件的时间差为$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1\mathrm{h}$。
设软件升级前每小时生产$x$个零件，则升级后每小时生产$(1+\frac{1}{3})x=\frac{4}{3}x$个零件。
生产后240个零件，原计划用时为$\frac{240}{x}$小时，升级后实际用时为$\frac{240}{\frac{4}{3}x}$小时，根据时间差列方程：
$\frac{240}{x}-\frac{240}{\frac{4}{3}x}=1$
化简计算：
$\frac{240}{x}-\frac{180}{x}=1$
$\frac{60}{x}=1$
解得$x=60$。
检验：当$x=60$时，分母不为0，是原方程的解，且符合实际意义。
则升级后每小时生产零件数量为：$\frac{4}{3}×60=80$（个）
【答案】
80
【知识点】
分式方程的应用、工程问题
【点评】
本题的易错点是容易忽略升级占用的时间，错误计算时间差，另外要注意将分钟换算为统一的小时单位，解分式方程后必须检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.65
8.朱老师从家出发，驾车去离家180 km的风景区度假，出发1 h内按原计划的速度匀速行驶，1 h后以原计划速度的1.5倍匀速行驶，并提前40 min到达风景区.
(1)求朱老师原计划的速度是多少千米/时？
(2)若第二天返回时以去时原计划速度的1.2倍行驶回到家，那么来回行驶的时间相差多少分钟？
(1)求朱老师原计划的速度是多少千米/时？
(2)若第二天返回时以去时原计划速度的1.2倍行驶回到家，那么来回行驶的时间相差多少分钟？
答案
8. 解:(1)设朱老师原计划的速度是x km/h,由题意,得$1+\frac{180-x}{1.5x}+\frac{2}{3}=\frac{180}{x}$.解得x=60.经检验x=60是原方程的解.
∴x=60.答:朱老师原计划的速度是60千米/时.(2)第一天用时$180÷60-\frac{2}{3}=2\frac{1}{3}$h.第二天用时$180÷(60×1.2)=\frac{5}{2}$h.$\frac{5}{2}-2\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$h=10(分钟).答:来回行驶的时间相差10分钟.
∴x=60.答:朱老师原计划的速度是60千米/时.(2)第一天用时$180÷60-\frac{2}{3}=2\frac{1}{3}$h.第二天用时$180÷(60×1.2)=\frac{5}{2}$h.$\frac{5}{2}-2\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$h=10(分钟).答:来回行驶的时间相差10分钟.
解析
【分析】
这是一道行程类分式方程应用题，解题核心围绕“路程=速度×时间”的基本关系找等量关系：
(1) 设原计划行驶速度为x km/h，等量关系为：原计划总行驶时间=实际行驶时间+提前的40分钟（需换算为$\frac{2}{3}$h统一单位）。实际行驶分两段：前1h按速度x行驶，走了x km；剩余路程为$(180-x)$km，行驶速度为$1.5x$km/h，对应行驶时间为$\frac{180-x}{1.5x}$h，因此实际总时间为$1+\frac{180-x}{1.5x}$，原计划总时间为$\frac{180}{x}$，据此列方程求解即可，注意分式方程需要检验根的合理性。
(2) 先计算去程实际用时，再计算返程的行驶时间，二者作差后换算为分钟即可得到来回时间差。
【解析】
(1) 设朱老师原计划的速度是$x$ km/h，$40\mathrm{min}=\frac{2}{3}\mathrm{h}$。
根据题意列方程：
$1+\frac{180-x}{1.5x}+\frac{2}{3}=\frac{180}{x}$
去分母（两边同乘$3x$，$x≠0$）得：
$3x + 2(180-x) + 2x = 540$
展开合并得：$3x=180$
解得：$x=60$
检验：当$x=60$时，$1.5x=90≠0$，$x=60$是原方程的解，且符合实际行驶的意义。
(2) 去程实际用时：$\frac{180}{60}-\frac{2}{3}=2\frac{1}{3}\mathrm{h}$
返程速度为：$60×1.2=72\mathrm{km/h}$
返程用时：$180÷72=\frac{5}{2}\mathrm{h}$
时间差：$\frac{5}{2}-2\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\mathrm{h}=\frac{1}{6}×60=10\mathrm{min}$
【答案】
(1) 朱老师原计划的速度是60千米/时；
(2) 来回行驶的时间相差10分钟。
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 行程问题公式
3. 时间单位换算
【点评】
本题属于常规的行程类应用题，解题关键是准确梳理不同行驶阶段的路程、速度、时间的对应关系，找准实际时间与计划时间的等量关系，同时要注意解分式方程必须检验，计算过程中要统一时间单位，避免因单位不统一出错。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类分式方程应用题，解题核心围绕“路程=速度×时间”的基本关系找等量关系：
(1) 设原计划行驶速度为x km/h，等量关系为：原计划总行驶时间=实际行驶时间+提前的40分钟（需换算为$\frac{2}{3}$h统一单位）。实际行驶分两段：前1h按速度x行驶，走了x km；剩余路程为$(180-x)$km，行驶速度为$1.5x$km/h，对应行驶时间为$\frac{180-x}{1.5x}$h，因此实际总时间为$1+\frac{180-x}{1.5x}$，原计划总时间为$\frac{180}{x}$，据此列方程求解即可，注意分式方程需要检验根的合理性。
(2) 先计算去程实际用时，再计算返程的行驶时间，二者作差后换算为分钟即可得到来回时间差。
【解析】
(1) 设朱老师原计划的速度是$x$ km/h，$40\mathrm{min}=\frac{2}{3}\mathrm{h}$。
根据题意列方程：
$1+\frac{180-x}{1.5x}+\frac{2}{3}=\frac{180}{x}$
去分母（两边同乘$3x$，$x≠0$）得：
$3x + 2(180-x) + 2x = 540$
展开合并得：$3x=180$
解得：$x=60$
检验：当$x=60$时，$1.5x=90≠0$，$x=60$是原方程的解，且符合实际行驶的意义。
(2) 去程实际用时：$\frac{180}{60}-\frac{2}{3}=2\frac{1}{3}\mathrm{h}$
返程速度为：$60×1.2=72\mathrm{km/h}$
返程用时：$180÷72=\frac{5}{2}\mathrm{h}$
时间差：$\frac{5}{2}-2\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\mathrm{h}=\frac{1}{6}×60=10\mathrm{min}$
【答案】
(1) 朱老师原计划的速度是60千米/时；
(2) 来回行驶的时间相差10分钟。
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 行程问题公式
3. 时间单位换算
【点评】
本题属于常规的行程类应用题，解题关键是准确梳理不同行驶阶段的路程、速度、时间的对应关系，找准实际时间与计划时间的等量关系，同时要注意解分式方程必须检验，计算过程中要统一时间单位，避免因单位不统一出错。
【难度系数】
0.7
9.某药店用4000元购进若干包医用外科口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批同种口罩，第二批购进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包的进价多0.5元，请解答下列问题：
(1)求购进的第一批医用口罩有多少包？
(2)政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持不变，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？
03 素养练 学科素养培育
(1)求购进的第一批医用口罩有多少包？
(2)政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持不变，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？
03 素养练 学科素养培育
答案
9. 解:(1)设购进的第一批医用口罩有x包,则购进的第二批医用口罩有(1+50%)x包,依题意,得$\frac{7500}{(1+50\%)x}-\frac{4000}{x}=0.5$,解得x=2000,经检验,x=2000是原方程的解,且符合题意.答:购进的第一批医用口罩有2000包;(2)设药店销售该口罩每包的售价是y元,依题意,得$[2000+2000×(1+50\%)]y-4000-7500≤3500$,解得y≤3.答:药店销售该口罩每包的最高售价是3元.
解析
【分析】
对于第(1)问，属于分式方程的实际应用，解题核心是抓住“第二批每包进价比第一批多0.5元”的等量关系。先设第一批购进包数为x，第二批包数就是第一批的(1+50%)，再根据“单价=总进价÷数量”分别表示两批口罩的进价，按进价差列分式方程求解，最后要检验解是否符合实际意义。
对于第(2)问，属于一元一次不等式的实际应用，核心是抓住“总利润不高于3500元”的不等关系，总利润=总售价-总进货成本，总售价=总销售数量×单包售价，据此列不等式求解即可得到最高售价。
【解析】
(1) 设购进的第一批医用口罩有x包，则购进的第二批医用口罩有(1+50%)x包，依题意列方程：
$\frac{7500}{(1+50\%)x}-\frac{4000}{x}=0.5$
化简得：$\frac{5000}{x}-\frac{4000}{x}=0.5$，即$\frac{1000}{x}=0.5$，解得$x=2000$。
经检验，$x=2000$是原方程的解，且符合实际意义。
(2) 设药店销售该口罩每包的售价是y元，两批口罩总数量为$2000+2000×(1+50\%)=5000$包，总进货成本为$4000+7500=11500$元，依题意列不等式：
$5000y - 11500 ≤ 3500$
移项得：$5000y ≤ 15000$，解得$y ≤ 3$。
【答案】
(1) 购进的第一批医用口罩有2000包；
(2) 药店销售该口罩每包的最高售价是3元。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式的应用、销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，考查将实际问题转化为数学模型的能力，解题时要注意找准等量、不等关系，分式方程求解后必须检验解的合理性，是初中数学应用题的常考题型。
【难度系数】
0.65
对于第(1)问，属于分式方程的实际应用，解题核心是抓住“第二批每包进价比第一批多0.5元”的等量关系。先设第一批购进包数为x，第二批包数就是第一批的(1+50%)，再根据“单价=总进价÷数量”分别表示两批口罩的进价，按进价差列分式方程求解，最后要检验解是否符合实际意义。
对于第(2)问，属于一元一次不等式的实际应用，核心是抓住“总利润不高于3500元”的不等关系，总利润=总售价-总进货成本，总售价=总销售数量×单包售价，据此列不等式求解即可得到最高售价。
【解析】
(1) 设购进的第一批医用口罩有x包，则购进的第二批医用口罩有(1+50%)x包，依题意列方程：
$\frac{7500}{(1+50\%)x}-\frac{4000}{x}=0.5$
化简得：$\frac{5000}{x}-\frac{4000}{x}=0.5$，即$\frac{1000}{x}=0.5$，解得$x=2000$。
经检验，$x=2000$是原方程的解，且符合实际意义。
(2) 设药店销售该口罩每包的售价是y元，两批口罩总数量为$2000+2000×(1+50\%)=5000$包，总进货成本为$4000+7500=11500$元，依题意列不等式：
$5000y - 11500 ≤ 3500$
移项得：$5000y ≤ 15000$，解得$y ≤ 3$。
【答案】
(1) 购进的第一批医用口罩有2000包；
(2) 药店销售该口罩每包的最高售价是3元。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式的应用、销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，考查将实际问题转化为数学模型的能力，解题时要注意找准等量、不等关系，分式方程求解后必须检验解的合理性，是初中数学应用题的常考题型。
【难度系数】
0.65
10.某校组织八年级学生乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90千米，队伍8:00从学校出发.苏老师因有事情，8:30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地.问：
(1)大巴与小车的平均速度各是多少？
(2)苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
(1)大巴与小车的平均速度各是多少？
(2)苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
答案
10. 解:(1)设大巴的平均速度为x千米/小时,则小车的平均速度为1.5x千米/小时,根据题意,得$\frac{90}{x}=\frac{90}{1.5x}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$,解得x=40.经检验,x=40是原方程的解,且符合题意.所以1.5x=60.答:大巴的平均速度为40千米/小时,小车的平均速度为60千米/小时;(2)设苏老师赶上大巴的地点到基地的路程有y千米,根据题意,得$\frac{1}{2}+\frac{90-y}{60}=\frac{90-y}{40}$.解得y=30.答:苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30千米.
解析
【分析】
(1) 本题属于行程类应用题，核心等量关系为“路程=速度×时间”。已知两车行驶总路程均为90km，大巴比小车早出发30分钟（即$\frac{1}{2}$小时），小车比大巴早15分钟（即$\frac{1}{4}$小时）到达基地，因此大巴走完全程的总时间=小车走完全程的总时间+大巴早出发的时间+小车早到的时间。我们设大巴平均速度为x千米/小时，小车速度就是1.5x千米/小时，根据上述时间等量关系列分式方程求解即可，注意分式方程需要检验根是否符合实际意义。
(2) 第二问为追及问题，追及的核心等量关系是：追上时两车行驶的路程相等。设苏老师追上大巴的地点到基地的路程为y千米，那么学校到追上点的路程为$(90-y)$千米，大巴行驶这段路程的时间等于小车行驶这段路程的时间加上苏老师晚出发的30分钟，根据这个时间等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 设大巴的平均速度为x千米/小时，则小车的平均速度为1.5x千米/小时。
根据题意，大巴走完全程的时间比小车多$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$小时，列方程得：
$\frac{90}{x}=\frac{90}{1.5x}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$
两边同乘6x消去分母：$540=360+3x+1.5x$
整理得$4.5x=180$，解得$x=40$。
检验：当$x=40$时，$1.5x≠0$，$x≠0$，因此$x=40$是原方程的解，且符合实际意义。
则小车的平均速度为$1.5×40=60$（千米/小时）。
(2) 设苏老师追上大巴的地点到基地的路程有y千米，那么学校到追上点的路程为$(90-y)$千米。
根据追及时的时间关系列方程：
$\frac{1}{2}+\frac{90-y}{60}=\frac{90-y}{40}$
两边同乘120消去分母：$60+2×(90-y)=3×(90-y)$
整理得$60+180-2y=270-3y$，移项解得$y=30$，符合实际意义。
【答案】
(1) 大巴的平均速度为40千米/小时，小车的平均速度为60千米/小时；
(2) 苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30千米。
【知识点】
分式方程的应用、行程问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的行程类应用题，涵盖普通行程和追及问题两类模型，解题核心是准确找到时间或路程的等量关系，计算时要注意统一时间单位，解分式方程不要忘记验根。
【难度系数】
0.6
(1) 本题属于行程类应用题，核心等量关系为“路程=速度×时间”。已知两车行驶总路程均为90km，大巴比小车早出发30分钟（即$\frac{1}{2}$小时），小车比大巴早15分钟（即$\frac{1}{4}$小时）到达基地，因此大巴走完全程的总时间=小车走完全程的总时间+大巴早出发的时间+小车早到的时间。我们设大巴平均速度为x千米/小时，小车速度就是1.5x千米/小时，根据上述时间等量关系列分式方程求解即可，注意分式方程需要检验根是否符合实际意义。
(2) 第二问为追及问题，追及的核心等量关系是：追上时两车行驶的路程相等。设苏老师追上大巴的地点到基地的路程为y千米，那么学校到追上点的路程为$(90-y)$千米，大巴行驶这段路程的时间等于小车行驶这段路程的时间加上苏老师晚出发的30分钟，根据这个时间等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 设大巴的平均速度为x千米/小时，则小车的平均速度为1.5x千米/小时。
根据题意，大巴走完全程的时间比小车多$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$小时，列方程得：
$\frac{90}{x}=\frac{90}{1.5x}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$
两边同乘6x消去分母：$540=360+3x+1.5x$
整理得$4.5x=180$，解得$x=40$。
检验：当$x=40$时，$1.5x≠0$，$x≠0$，因此$x=40$是原方程的解，且符合实际意义。
则小车的平均速度为$1.5×40=60$（千米/小时）。
(2) 设苏老师追上大巴的地点到基地的路程有y千米，那么学校到追上点的路程为$(90-y)$千米。
根据追及时的时间关系列方程：
$\frac{1}{2}+\frac{90-y}{60}=\frac{90-y}{40}$
两边同乘120消去分母：$60+2×(90-y)=3×(90-y)$
整理得$60+180-2y=270-3y$，移项解得$y=30$，符合实际意义。
【答案】
(1) 大巴的平均速度为40千米/小时，小车的平均速度为60千米/小时；
(2) 苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30千米。
【知识点】
分式方程的应用、行程问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的行程类应用题，涵盖普通行程和追及问题两类模型，解题核心是准确找到时间或路程的等量关系，计算时要注意统一时间单位，解分式方程不要忘记验根。
【难度系数】
0.6
