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7.(2024·遵义期末)有下列三角形:①有两个角等于$60°$;②三个外角都相等的三角形;③有两边相等;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的是
02 综合练
关键能力提升
①②④
(填序号).02 综合练
关键能力提升
答案
7. ①②④
解析
【分析】
解题时先回忆等边三角形的判定规则：1. 三个内角均为60°的三角形是等边三角形；2. 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。接下来逐一对题干给出的4个条件进行验证，判断其是否符合等边三角形的判定要求即可。
【解析】
我们逐个分析每个条件对应的三角形类型：
1. 对于①：三角形两个角为60°，根据三角形内角和为180°，可得第三个角为$180°-60°-60°=60°$，三个内角均为60°，因此是等边三角形；
2. 对于②：三角形三个外角相等，三角形外角和为360°，则每个外角为$360°÷3=120°$，对应每个内角为$180°-120°=60°$，三个内角均为60°，因此是等边三角形；
3. 对于③：有两边相等的三角形是等腰三角形，若两边为腰和底且长度不等时，不是等边三角形，因此不符合要求；
4. 对于④：在等腰三角形中，一腰上的中线也是这条腰的高，说明这条线段是腰的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得腰长与底边长相等，即该等腰三角形三边均相等，因此是等边三角形。
综上，符合要求的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查等边三角形的判定，解题时需注意区分等腰三角形和等边三角形的判定差异，逐一验证条件即可避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆等边三角形的判定规则：1. 三个内角均为60°的三角形是等边三角形；2. 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。接下来逐一对题干给出的4个条件进行验证，判断其是否符合等边三角形的判定要求即可。
【解析】
我们逐个分析每个条件对应的三角形类型：
1. 对于①：三角形两个角为60°，根据三角形内角和为180°，可得第三个角为$180°-60°-60°=60°$，三个内角均为60°，因此是等边三角形；
2. 对于②：三角形三个外角相等，三角形外角和为360°，则每个外角为$360°÷3=120°$，对应每个内角为$180°-120°=60°$，三个内角均为60°，因此是等边三角形；
3. 对于③：有两边相等的三角形是等腰三角形，若两边为腰和底且长度不等时，不是等边三角形，因此不符合要求；
4. 对于④：在等腰三角形中，一腰上的中线也是这条腰的高，说明这条线段是腰的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得腰长与底边长相等，即该等腰三角形三边均相等，因此是等边三角形。
综上，符合要求的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查等边三角形的判定，解题时需注意区分等腰三角形和等边三角形的判定差异，逐一验证条件即可避免出错。
【难度系数】
0.7
8.【教材P82练习T2变式】如图,在等边三角形ABC中,CD是AB上的高,DE//BC,DF//AC,则图中与AD相等的线段有 (
A.2条
B.5条
C.7条
D.9条
C
)A.2条
B.5条
C.7条
D.9条
答案
8. C
解析
【分析】
解题时先利用等边三角形三线合一的性质，得到AD与BD相等，且CD平分∠ACB；再结合DE//BC、DF//AC的条件，根据平行线同位角相等的性质，判断出△ADE、△BDF都是等边三角形，得到和AD相等的多组线段；最后利用平行线内错角相等，结合角平分线的角度，判断出△EDC、△FDC为等腰三角形，得到剩余的相等线段，汇总计数即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=AC=BC。
∵CD是AB边上的高，由等边三角形三线合一可得：
AD=BD，CD平分∠ACB，即∠ACD=∠BCD=30°。
①
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠ACB=60°，∠EDC=∠BCD=30°，
∴△ADE是等边三角形，即AD=AE=DE；
又∠EDC=∠ACD=30°，
∴DE=EC，即EC=AD。
②
∵DF//AC，
∴∠BDF=∠A=60°，∠BFD=∠ACB=60°，∠FDC=∠ACD=30°，
∴△BDF是等边三角形，即BD=BF=DF，结合AD=BD可得AD=BF=DF；
又∠FDC=∠BCD=30°，
∴DF=FC，即FC=AD。
综上，与AD相等的线段有BD、AE、DE、EC、BF、DF、FC，共7条。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质与判定，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，需要结合多个几何性质逐层推导相等线段，解题时要注意全面梳理图形中的特殊三角形，避免遗漏线段导致计数错误。
【难度系数】
0.6
解题时先利用等边三角形三线合一的性质，得到AD与BD相等，且CD平分∠ACB；再结合DE//BC、DF//AC的条件，根据平行线同位角相等的性质，判断出△ADE、△BDF都是等边三角形，得到和AD相等的多组线段；最后利用平行线内错角相等，结合角平分线的角度，判断出△EDC、△FDC为等腰三角形，得到剩余的相等线段，汇总计数即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=AC=BC。
∵CD是AB边上的高，由等边三角形三线合一可得：
AD=BD，CD平分∠ACB，即∠ACD=∠BCD=30°。
①
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠ACB=60°，∠EDC=∠BCD=30°，
∴△ADE是等边三角形，即AD=AE=DE；
又∠EDC=∠ACD=30°，
∴DE=EC，即EC=AD。
②
∵DF//AC，
∴∠BDF=∠A=60°，∠BFD=∠ACB=60°，∠FDC=∠ACD=30°，
∴△BDF是等边三角形，即BD=BF=DF，结合AD=BD可得AD=BF=DF；
又∠FDC=∠BCD=30°，
∴DF=FC，即FC=AD。
综上，与AD相等的线段有BD、AE、DE、EC、BF、DF、FC，共7条。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质与判定，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，需要结合多个几何性质逐层推导相等线段，解题时要注意全面梳理图形中的特殊三角形，避免遗漏线段导致计数错误。
【难度系数】
0.6
9.【教材P93复习题T12变式】如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交BC的延长线于点E，则∠DEC的度数为
30°
。答案
9. 30°
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是等边三角形，可得到它的内角为60°，再结合BD是AC边上的高，利用等边三角形“三线合一”的性质，可求出∠DBC的度数；接着根据作图规则可知DB=DE，即△DBE是等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质，就可以得到∠DEC与∠DBC相等，从而求出∠DEC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵BD是AC边上的高，根据等边三角形三线合一的性质，BD平分∠ABC，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
由作图可知：DB=DE，
∴△DBE为等腰三角形，
∴∠DEC=∠DBC=30°。
【答案】
30°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三线合一
【点评】
本题是基础的角度计算题，解题的核心是熟练掌握特殊三角形的性质，结合作图得到相等的线段，进而推导角的数量关系，是对基础几何知识应用的常规考查。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是等边三角形，可得到它的内角为60°，再结合BD是AC边上的高，利用等边三角形“三线合一”的性质，可求出∠DBC的度数；接着根据作图规则可知DB=DE，即△DBE是等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质，就可以得到∠DEC与∠DBC相等，从而求出∠DEC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵BD是AC边上的高，根据等边三角形三线合一的性质，BD平分∠ABC，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
由作图可知：DB=DE，
∴△DBE为等腰三角形，
∴∠DEC=∠DBC=30°。
【答案】
30°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三线合一
【点评】
本题是基础的角度计算题，解题的核心是熟练掌握特殊三角形的性质，结合作图得到相等的线段，进而推导角的数量关系，是对基础几何知识应用的常规考查。
【难度系数】
0.8
10. 如图，$△ ABC$为等边三角形，点$D$，$E$分别在$BC$，$AC$边上，且$AE=CD$，$AD$与$BE$相交于点$F$。
(1) 求证：$△ ABE ≌ △ CAD$；
(2) 求$∠ BFD$的度数。
(1) 求证：$△ ABE ≌ △ CAD$；
(2) 求$∠ BFD$的度数。
答案
10. (1) 证明：
∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAE=∠C=60°,AB=AC. 在△ABE和△CAD中，$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAE=∠C, \\ AE=CD, \end{cases}$
∴△ABE≌△CAD(SAS); (2) 解：
∵△ABE≌△CAD,
∴∠ABE=∠DAC.
∵∠BAF+∠DAC=∠BAC=60°,
∴∠BFD=∠BAF+∠ABF=∠BAF+∠DAC=60°.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAE=∠C=60°,AB=AC. 在△ABE和△CAD中，$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAE=∠C, \\ AE=CD, \end{cases}$
∴△ABE≌△CAD(SAS); (2) 解：
∵△ABE≌△CAD,
∴∠ABE=∠DAC.
∵∠BAF+∠DAC=∠BAC=60°,
∴∠BFD=∠BAF+∠ABF=∠BAF+∠DAC=60°.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABE≌△CAD，先结合等边三角形的性质获取全等所需的边、角条件：等边三角形三边相等、内角均为60°，可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，再搭配题目给出的AE=CD，刚好符合SAS全等判定的要求，即可完成证明。
(2) 求∠BFD的度数时，可先观察角的位置关系：∠BFD是△ABF的外角，等于不相邻两个内角∠BAF与∠ABF的和。结合第一问全等的结论，可得到∠ABF=∠CAD，将角等量代换后，就能把∠BFD转化为等边三角形的内角∠BAC，从而求出度数。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAE=∠C=60°，AB=AC。
在△ABE和△CAD中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAE=∠C, \\ AE=CD, \end{cases}$
∴△ABE≌△CAD（SAS）。
(2) 解：
∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠DAC。
∵∠BAF+∠DAC=∠BAC=60°，
∴∠BFD=∠BAF+∠ABF=∠BAF+∠DAC=60°。
【答案】
(1) 已证△ABE≌△CAD；
(2) $\boldsymbol{60°}$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形章节的基础常考题，核心考察全等三角形的判定、性质的应用，解题关键是利用全等关系完成角的等量代换，逻辑链条清晰，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ABE≌△CAD，先结合等边三角形的性质获取全等所需的边、角条件：等边三角形三边相等、内角均为60°，可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，再搭配题目给出的AE=CD，刚好符合SAS全等判定的要求，即可完成证明。
(2) 求∠BFD的度数时，可先观察角的位置关系：∠BFD是△ABF的外角，等于不相邻两个内角∠BAF与∠ABF的和。结合第一问全等的结论，可得到∠ABF=∠CAD，将角等量代换后，就能把∠BFD转化为等边三角形的内角∠BAC，从而求出度数。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAE=∠C=60°，AB=AC。
在△ABE和△CAD中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAE=∠C, \\ AE=CD, \end{cases}$
∴△ABE≌△CAD（SAS）。
(2) 解：
∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠DAC。
∵∠BAF+∠DAC=∠BAC=60°，
∴∠BFD=∠BAF+∠ABF=∠BAF+∠DAC=60°。
【答案】
(1) 已证△ABE≌△CAD；
(2) $\boldsymbol{60°}$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形章节的基础常考题，核心考察全等三角形的判定、性质的应用，解题关键是利用全等关系完成角的等量代换，逻辑链条清晰，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
11. 如图1，等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC，连接AE.
(1)△DBC和△EAC全等吗？请说说你的理由；
(2)AE与BC的位置关系是：
(3)如图2，当图1中动点D运动到边BA的延长线上时，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE//BC？说明理由.
(1)△DBC和△EAC全等吗？请说说你的理由；
(2)AE与BC的位置关系是：
AE//BC
；(3)如图2，当图1中动点D运动到边BA的延长线上时，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE//BC？说明理由.
答案
11. AE//BC 解：(1) △DBC和△EAC全等. 理由：
∵等边△ABC和等边△DCE,
∴BC=AC,DC=EC,∠ACB=60°=∠DCE.
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD. 即∠BCD=∠ACE. 在△DBC和△EAC中，$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCD=∠ACE, \\ DC=EC, \end{cases}$
∴△DBC≌△EAC(SAS). (2) AE//BC (3) AE//BC. 理由：
∵△ABC,△EDC为等边三角形.
∴BC=AC,DC=CE,∠BCA=∠DCE=60°.
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD. 即∠BCD=∠ACE. 在△DBC和△EAC中，$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCD=∠ACE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴△DBC≌△EAC(SAS).
∴∠EAC=∠B=60°. 又∠ACB=60°,
∴∠EAC=∠ACB.
∴AE//BC.
∵等边△ABC和等边△DCE,
∴BC=AC,DC=EC,∠ACB=60°=∠DCE.
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD. 即∠BCD=∠ACE. 在△DBC和△EAC中，$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCD=∠ACE, \\ DC=EC, \end{cases}$
∴△DBC≌△EAC(SAS). (2) AE//BC (3) AE//BC. 理由：
∵△ABC,△EDC为等边三角形.
∴BC=AC,DC=CE,∠BCA=∠DCE=60°.
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD. 即∠BCD=∠ACE. 在△DBC和△EAC中，$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCD=∠ACE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴△DBC≌△EAC(SAS).
∴∠EAC=∠B=60°. 又∠ACB=60°,
∴∠EAC=∠ACB.
∴AE//BC.
解析
【分析】
(1)要证明两个三角形全等，首先回忆等边三角形的性质：等边三角形三边相等，内角均为60°。先从已知的两个等边三角形中得到对应边相等，再通过角的和差计算得到两边的夹角相等，即可用SAS判定定理证明全等。
(2)判断AE与BC的位置关系，可借助第一问的全等结论得到对应角相等，结合内错角相等两直线平行的判定即可得出平行关系。
(3)当点D运动到BA延长线上时，思路和前两问一致，只是角的和差由减公共角变为加公共角，仍先证全等，再通过对应角相等推出内错角相等，即可证明平行关系不变。
【解析】
(1)△DBC和△EAC全等，理由如下：
∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC=AC，DC=EC，∠ACB=60°=∠DCE，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
在△DBC和△EAC中：
$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCD=∠ACE, \\ DC=EC, \end{cases}$
∴△DBC≌△EAC(SAS)。
(2)由(1)中全等可得∠EAC=∠B=60°，又
∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB，内错角相等，两直线平行，故AE//BC。
(3)仍有AE//BC，理由如下：
∵△ABC、△EDC为等边三角形，
∴BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
在△DBC和△EAC中：
$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCD=∠ACE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴△DBC≌△EAC(SAS)，
∴∠EAC=∠B=60°，又
∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE//BC。
【答案】
(1)△DBC和△EAC全等，理由见解析；
(2)AE//BC；
(3)仍有AE//BC，理由见解析。
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定
【点评】
本题属于动态几何基础题，解题的核心是抓住动点运动过程中不变的边角关系，利用等边三角形的性质构造全等条件，再结合全等性质推导角的关系即可判断直线位置关系，掌握全等判定和平行线判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1)要证明两个三角形全等，首先回忆等边三角形的性质：等边三角形三边相等，内角均为60°。先从已知的两个等边三角形中得到对应边相等，再通过角的和差计算得到两边的夹角相等，即可用SAS判定定理证明全等。
(2)判断AE与BC的位置关系，可借助第一问的全等结论得到对应角相等，结合内错角相等两直线平行的判定即可得出平行关系。
(3)当点D运动到BA延长线上时，思路和前两问一致，只是角的和差由减公共角变为加公共角，仍先证全等，再通过对应角相等推出内错角相等，即可证明平行关系不变。
【解析】
(1)△DBC和△EAC全等，理由如下：
∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC=AC，DC=EC，∠ACB=60°=∠DCE，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
在△DBC和△EAC中：
$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCD=∠ACE, \\ DC=EC, \end{cases}$
∴△DBC≌△EAC(SAS)。
(2)由(1)中全等可得∠EAC=∠B=60°，又
∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB，内错角相等，两直线平行，故AE//BC。
(3)仍有AE//BC，理由如下：
∵△ABC、△EDC为等边三角形，
∴BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
在△DBC和△EAC中：
$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCD=∠ACE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴△DBC≌△EAC(SAS)，
∴∠EAC=∠B=60°，又
∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE//BC。
【答案】
(1)△DBC和△EAC全等，理由见解析；
(2)AE//BC；
(3)仍有AE//BC，理由见解析。
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定
【点评】
本题属于动态几何基础题，解题的核心是抓住动点运动过程中不变的边角关系，利用等边三角形的性质构造全等条件，再结合全等性质推导角的关系即可判断直线位置关系，掌握全等判定和平行线判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
