知识储备
在直角三角形中,如果一个锐角等于$30°$,那么
它所对的直角边等于斜边的.

一半

【分析】
本题考查含30°锐角的直角三角形的基础性质，解题时先明确题干给出的前提为直角三角形，且有一个锐角是30°，回忆对应性质即可作答。我们也可以通过拼接法辅助记忆该性质：将两个全等的含30°角的直角三角形沿长直角边拼接，可得到一个等边三角形，此时原直角三角形的斜边就是等边三角形的边长，30°角对的直角边恰好是等边三角形边长的一半，由此就能得出二者的数量关系。
【解析】
这是直角三角形的经典性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，因此横线处应填入“一半”。
【答案】
一半
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对直角三角形相关性质的掌握程度，牢记对应定理即可快速得出答案，该性质是后续解决直角三角形相关几何题的重要基础。
【难度系数】
0.9

1.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=10,∠B=60°,则 BC=.

1. 5

【分析】
拿到题目先观察已知条件：△ABC是直角三角形，∠C=90°，已知斜边AB的长度和锐角∠B的度数，求直角边BC的长度。第一步先根据三角形内角和相关性质，计算出另一个锐角∠A的度数，可得∠A=30°；第二步回忆直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，BC是∠A所对的直角边，AB是斜边，代入数值即可求出BC的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°
∴∠A=180°-∠C-∠B=180°-90°-60°=30°
∵直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，BC是∠A所对的直角边，斜边AB=10
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×10=5
【答案】
5
【知识点】
1.直角三角形两锐角互余
2.含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础常规题，解题的核心是先推导得到30°的锐角，再结合30°角对应的直角边与斜边的数量关系计算，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2.(2024·南宁期末)如图,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面3 m处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量∠ABC=30°,则这棵树折断前的高度为 ()

A.6 m
B.9 m
C.10 m
D.12 m

2. B

【分析】
首先根据题意可知树垂直于地面，因此△ABC是直角三角形，∠A=90°。已知折断处距离地面高度AC=3m，∠ABC=30°，我们可以利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，先求出折断部分BC的长度，再将未折断部分AC和折断部分BC相加，即可得到树折断前的总高度。
【解析】
解：由题意得AC⊥AB，即∠BAC=90°，△ABC为直角三角形。
已知AC=3m，∠ABC=30°，根据直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=2AC=2×3=6\mathrm{m}$
树折断前的高度为$AC+BC=3+6=9\mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
1. 直角三角形30°角的性质
2. 线段和的计算
【点评】
本题结合生活场景考查几何性质的应用，解题关键是准确判断直角三角形，找准30°角对应的直角边和斜边，代入性质计算即可。
【难度系数】
0.8

3. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ A=90°$,$∠ ABC=2∠ C$,$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于$D$点.
求证:$CD=2AD$.

02 综合练
关键能力提升

证明:$\because ∠A=90°,∠ABC=2∠C, \therefore ∠ABC+∠C=90°=3∠C.$解得$∠C=30°,∠ABC=60°. \because BD$平分$∠ABC, \therefore ∠ABD=∠CBD=30°. \therefore ∠CBD=∠C. \therefore BD=CD.$在$Rt△ABD$中,$∠ABD=30°, \therefore BD=2AD. \therefore CD=2AD.$

【分析】
要证明CD=2AD，可通过等量代换将两条线段转化到同一个特殊三角形中分析：①先利用直角三角形两锐角和为90°的性质，结合∠ABC=2∠C的已知条件，计算出∠C和∠ABC的具体度数；②根据角平分线的定义得到∠CBD=∠ABD=30°，由∠CBD=∠C可推出BD=CD，将待证结论转化为证明BD=2AD；③最后在Rt△ABD中利用30°角所对直角边是斜边一半的性质，即可得到BD=2AD，通过等量代换证得最终结论。
【解析】
证明：$\because ∠A=90°,∠ABC=2∠C$,
$\therefore ∠ABC+∠C=90°=3∠C$,
解得$∠C=30°,∠ABC=60°$.
$\because BD$平分$∠ABC$,
$\therefore ∠ABD=∠CBD=30°$,
$\therefore ∠CBD=∠C$,
$\therefore BD=CD$.
在$Rt△ABD$中,$∠ABD=30°$,
$\therefore BD=2AD$,
$\therefore CD=2AD$.
【答案】
证明过程如上，可证得$CD=2AD$。
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边
【点评】
本题通过角度推导将待证的线段关系转化为特殊直角三角形的边角关系，解题的关键是熟练掌握直角三角形的相关性质和等腰三角形的判定方法，完成线段的等量代换。
【难度系数】
0.7

4.【教材P92复习题T7变式】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若BD=1，则AD长为（）

A.2
B.3
C.4
D.5

4. B

【分析】
解题时可结合已知的直角和30°角，优先运用含30°角的直角三角形的性质推导边长关系：第一步先根据Rt△ABC中∠A=30°，得出∠B的度数与AB、BC的数量关系；第二步在Rt△BCD中，利用∠B的度数推出∠BCD=30°，结合BD的长度求出BC的长；第三步利用BC的长求出AB的总长，最后用AB减去BD即可得到AD的长度。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=60°，且AB=2BC（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=60°，
∴∠BCD=90°-∠B=30°，
∴BC=2BD，
已知BD=1，代入得BC=2×1=2，
∴AB=2BC=2×2=4，
∴AD=AB-BD=4-1=3。
【答案】
B
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余；2. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何计算类题目，核心考查直角三角形的相关性质，解题关键是两次运用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质建立各边长的关联，即可快速求解。
【难度系数】
0.7

5.【教材P86习题T12变式】如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，$AD⊥ AC$交BC于点D，若$BC=3$，则BD的长是（）

A.1
B.2
C.3
D.4

5. A

【分析】
解题时首先利用等腰三角形的性质计算底角的度数，再结合垂直的条件推导∠BAD的度数，通过等角对等边得到BD与AD的等量关系；接着利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，得到DC与AD的关系，最后结合BC的总长度，即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$∠BAC=120°$，
∴$∠B=∠C=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∵$AD⊥AC$，
∴$∠DAC=90°$，
∴$∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°$，
∴$∠BAD=∠B=30°$，根据等角对等边可得$BD=AD$，
在$Rt△ADC$中，$∠C=30°$，
∴$AD=\frac{1}{2}DC$，即$DC=2AD=2BD$，
∵$BC=BD+DC=BD+2BD=3BD=3$，
∴$BD=1$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等角对等边
【点评】
本题属于特殊三角形性质的综合基础题，解题核心是通过角度推导得到线段间的等量关系，再结合线段和的条件列等式求解，要求熟练掌握等腰三角形和含30°角直角三角形的边角性质。
【难度系数】
0.7

6. 如图,在等腰△ABC中,AB=AC=8,∠C=15°,过点B作BD//AC,过点A作AD⊥BD于点D,则AD的长为.

6. 4

【分析】
解题时先从等腰三角形的性质入手，由AB=AC得到两个底角相等，求出∠ABC的度数；再结合BD平行AC的条件，利用平行线的内错角相等得到∠CBD的度数，进而得到直角△ABD中∠ABD的度数；最后利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC=8，△ABC为等腰三角形
∴∠ABC=∠C=15°
∵BD//AC
∴∠CBD=∠C=15°（两直线平行，内错角相等）
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=15°+15°=30°
又
∵AD⊥BD，即∠D=90°，△ABD是直角三角形
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，斜边AB=8
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是通过角度计算得到直角三角形的特殊角，只要熟练掌握等腰三角形、平行线、直角三角形的相关性质，就能快速求出结果，属于几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7

7. 如图,在等边$△ ABC$中,D是AB的中点,$DE ⊥ AC$于点E,$EF ⊥ BC$于点F.已知$AB=8$,求BF的长.

03 素养练
学科素养培育

7. 解:$\because △ABC$是等边三角形,$\therefore AB=BC=AC=8$,$∠A=∠B=∠C=60°. \because D$为$AB$的中点,$\therefore AD=BD=4, \because DE⊥AC,EF⊥BC, \therefore ∠DEA=90°=∠EFC. \therefore ∠ADE=180°-∠DEA-∠A=30°,∠FEC=180°-∠EFC-∠C=30°. \therefore AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×4=2,CF=\frac{1}{2}EC=\frac{1}{2}×(8-2)=3. \therefore BF=BC-CF=8-3=5.$

【分析】
解题时先从已知的等边三角形条件入手，首先利用等边三角形三边相等、三个内角均为60°的性质，得到AC、BC的长度及各内角度数；再结合D是AB中点的条件算出AD的长度。随后根据两个垂直条件可知△ADE和△EFC均为直角三角形，结合60°的内角可推得两个直角三角形中均存在30°的锐角，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”依次求出AE、EC、CF的长度，最后用BC的长度减去CF的长度即可得到BF的长。
【解析】
解：$\because △ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=BC=AC=8$，$∠A=∠B=∠C=60°$。
$\because D$为$AB$的中点，
$\therefore AD=BD=4$，
$\because DE⊥AC$，$EF⊥BC$，
$\therefore ∠DEA=90°=∠EFC$。
$\therefore ∠ADE=180°-∠DEA-∠A=30°$，$∠FEC=180°-∠EFC-∠C=30°$。
$\therefore AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×4=2$，
$CF=\frac{1}{2}EC=\frac{1}{2}×(8-2)=3$。
$\therefore BF=BC-CF=8-3=5$。
【答案】
$\boxed{5}$
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于几何基础计算题，重点考查特殊三角形性质的综合应用，解题的关键是理清各线段的数量关系，利用30°直角三角形的边长特性逐步推导所求线段长度，解题思路清晰，逻辑连贯。
【难度系数】
0.7

8.某轮船由西向东航行,在A处测得小岛P的方位是北偏东$75°$,又继续航行7海里后,在B处测得小岛P的方位是北偏东$60°$.求:
(1)此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里?
(2)小岛P方圆3海里内有暗礁,如果轮船继续向东航行,请问轮船有没有触礁的危险?请说明理由.

8. 解:(1)$\because ∠PBD=90°-60°=30°,∠PAB=90°-75°=15°, \therefore ∠APB=30°-15°=15°. \therefore ∠PAB=∠APB. \therefore BP=AB=7$海里;(2)过点P作$PD⊥AB$于点D.$\because ∠PBD=30°,∠PDB=90°, \therefore PD=\frac{1}{2}PB=3.5$海里.$\because 3.5＞3, \therefore$该轮船继续向东航行,没有触礁的危险.

【分析】
解题思路：(1) 先根据方位角的定义，将题目给出的方位角度数转化为△ABP的内角：计算出∠PAB和∠PBD的度数，再利用三角形外角的性质求出∠APB的度数，发现∠PAB与∠APB相等，根据等角对等边即可推出BP=AB，结合AB的长度直接得到BP的值。(2) 判断轮船是否有触礁危险，本质是求小岛P到航线AB的最短距离，因此过P作AB的垂线段PD，在Rt△PBD中利用直角三角形30°角的性质求出PD的长度，再和3海里比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 由方位角的定义可知：
$∠ PAB = 90° - 75° = 15°$，
$∠ PBD = 90° - 60° = 30°$，
∵$∠ PBD$是$△ ABP$的外角，
∴$∠ PBD = ∠ PAB + ∠ APB$，
代入角度得：$∠ APB = ∠ PBD - ∠ PAB = 30° - 15° = 15°$，
∴$∠ PAB = ∠ APB$，根据等角对等边可得$BP = AB = 7$海里；
(2) 过点P作$PD ⊥ AB$，交AB的延长线于点D，
在$Rt△ PBD$中，$∠ PBD=30°$，$∠ PDB=90°$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$PD = \frac{1}{2}PB = \frac{1}{2} × 7 = 3.5$海里，
∵$3.5 ＞ 3$，即小岛P到航线的最短距离大于3海里，
∴轮船继续向东航行没有触礁的危险。
【答案】
(1) BP是7海里；(2) 轮船没有触礁的危险。
【知识点】
方位角的应用；等腰三角形的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题是结合实际航行场景的几何应用题，解题核心是将方位角信息转化为三角形的内角，再利用等腰三角形和直角三角形的性质求解，能够有效考查学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7