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8. (1) 数学赵老师布置了一道数学题:已知 $ x = 2025 $,求整式 $ 2(x^2 -5x +1)-(-x +2x^2 -1)+9x $ 的值.小涵观察后提出:“已知 $ x = 2025 $ 是多余的.”你认为小涵的说法对吗?请说明理由.
(2) 已知整式 $ A = 2x^2 -3kx +x +1 $,整式 $ A $ 与整式 $ B $ 之差是 $ 3x^2 -2kx +x $.
①求整式 $ B $;
②若 $ k $ 是常数,且 $ A+2B $ 的值与 $ x $ 无关,求 $ k $ 的值.
(2) 已知整式 $ A = 2x^2 -3kx +x +1 $,整式 $ A $ 与整式 $ B $ 之差是 $ 3x^2 -2kx +x $.
①求整式 $ B $;
②若 $ k $ 是常数,且 $ A+2B $ 的值与 $ x $ 无关,求 $ k $ 的值.
答案
解：
(1) 小涵的说法对，理由如下：
对整式进行化简：
$\begin{aligned}&2(x^2 -5x +1)-(-x +2x^2 -1)+9x\\=&2x^2 -10x +2 +x -2x^2 +1 +9x\\=&(2x^2-2x^2)+(-10x+x+9x)+(2+1)\\=&3\end{aligned}$
化简后结果为常数3，不含字母x，该整式的值与x的取值无关，因此x=2025是多余的，小涵的说法正确。
(2) ① 由题意得 $ A-B=3x^2-2kx+x $，因此：
$\begin{aligned}B&=A-(3x^2-2kx+x)\\&=(2x^2 -3kx +x +1)-(3x^2 -2kx +x)\\&=2x^2 -3kx +x +1 -3x^2 +2kx -x\\&=-x^2 -kx +1\end{aligned}$
② 计算 $ A+2B $：
$\begin{aligned}A+2B&=(2x^2 -3kx +x +1)+2(-x^2 -kx +1)\\&=2x^2 -3kx +x +1 -2x^2 -2kx +2\\&=(-5k+1)x +3\end{aligned}$
因为 $ A+2B $ 的值与x无关，所以x的系数为0，即：
$-5k+1=0$
解得 $ k=\frac{1}{5} $
(1) 小涵的说法对，理由如下：
对整式进行化简：
$\begin{aligned}&2(x^2 -5x +1)-(-x +2x^2 -1)+9x\\=&2x^2 -10x +2 +x -2x^2 +1 +9x\\=&(2x^2-2x^2)+(-10x+x+9x)+(2+1)\\=&3\end{aligned}$
化简后结果为常数3，不含字母x，该整式的值与x的取值无关，因此x=2025是多余的，小涵的说法正确。
(2) ① 由题意得 $ A-B=3x^2-2kx+x $，因此：
$\begin{aligned}B&=A-(3x^2-2kx+x)\\&=(2x^2 -3kx +x +1)-(3x^2 -2kx +x)\\&=2x^2 -3kx +x +1 -3x^2 +2kx -x\\&=-x^2 -kx +1\end{aligned}$
② 计算 $ A+2B $：
$\begin{aligned}A+2B&=(2x^2 -3kx +x +1)+2(-x^2 -kx +1)\\&=2x^2 -3kx +x +1 -2x^2 -2kx +2\\&=(-5k+1)x +3\end{aligned}$
因为 $ A+2B $ 的值与x无关，所以x的系数为0，即：
$-5k+1=0$
解得 $ k=\frac{1}{5} $
解析
【分析】
(1) 要判断给出的$x=2025$是否多余，只需先对整式进行化简：先去括号，再合并同类项，若化简结果不含$x$，说明整式的值与$x$的取值无关，即可说明已知$x$的数值是多余的。
(2) ①已知整式$A$与$A-B$的结果，根据减法各部分的关系可得$B=A-(3x^2-2kx+x)$，代入$A$的表达式后去括号、合并同类项即可求出$B$；②先计算$A+2B$的表达式并合并同类项，若值与$x$无关，说明$x$的系数为0，据此列方程求解即可得到$k$的值。
【解析】
(1) 小涵的说法对，理由如下：
对整式进行化简：
$\begin{aligned}&2(x^2 -5x +1)-(-x +2x^2 -1)+9x\\=&2x^2 -10x +2 +x -2x^2 +1 +9x\\=&(2x^2-2x^2)+(-10x+x+9x)+(2+1)\\=&3\end{aligned}$
化简后结果为常数3，不含字母$x$，该整式的值与$x$的取值无关，因此$x=2025$是多余的，小涵的说法正确。
(2) ① 由题意得 $A-B=3x^2-2kx+x$，因此：
$\begin{aligned}B&=A-(3x^2-2kx+x)\\&=(2x^2 -3kx +x +1)-(3x^2 -2kx +x)\\&=2x^2 -3kx +x +1 -3x^2 +2kx -x\\&=-x^2 -kx +1\end{aligned}$
② 计算 $A+2B$：
$\begin{aligned}A+2B&=(2x^2 -3kx +x +1)+2(-x^2 -kx +1)\\&=2x^2 -3kx +x +1 -2x^2 -2kx +2\\&=(-5k+1)x +3\end{aligned}$
因为 $A+2B$ 的值与$x$无关，所以$x$的系数为0，即：
$-5k+1=0$
解得 $k=\frac{1}{5}$
【答案】
(1) 小涵的说法正确；
(2) ①$B=-x^2 -kx +1$；②$k=\frac{1}{5}$
【知识点】
整式的加减运算，合并同类项，含参整式取值无关条件
【点评】
本题侧重考察整式加减的基础运算能力，核心是熟练掌握去括号、合并同类项的法则，同时需要理解“整式的值与某字母无关”等价于该字母的系数为0，是整式章节的典型基础题型，能有效检验学生对整式相关概念和运算的掌握情况。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断给出的$x=2025$是否多余，只需先对整式进行化简：先去括号，再合并同类项，若化简结果不含$x$，说明整式的值与$x$的取值无关，即可说明已知$x$的数值是多余的。
(2) ①已知整式$A$与$A-B$的结果，根据减法各部分的关系可得$B=A-(3x^2-2kx+x)$，代入$A$的表达式后去括号、合并同类项即可求出$B$；②先计算$A+2B$的表达式并合并同类项，若值与$x$无关，说明$x$的系数为0，据此列方程求解即可得到$k$的值。
【解析】
(1) 小涵的说法对，理由如下：
对整式进行化简：
$\begin{aligned}&2(x^2 -5x +1)-(-x +2x^2 -1)+9x\\=&2x^2 -10x +2 +x -2x^2 +1 +9x\\=&(2x^2-2x^2)+(-10x+x+9x)+(2+1)\\=&3\end{aligned}$
化简后结果为常数3，不含字母$x$，该整式的值与$x$的取值无关，因此$x=2025$是多余的，小涵的说法正确。
(2) ① 由题意得 $A-B=3x^2-2kx+x$，因此：
$\begin{aligned}B&=A-(3x^2-2kx+x)\\&=(2x^2 -3kx +x +1)-(3x^2 -2kx +x)\\&=2x^2 -3kx +x +1 -3x^2 +2kx -x\\&=-x^2 -kx +1\end{aligned}$
② 计算 $A+2B$：
$\begin{aligned}A+2B&=(2x^2 -3kx +x +1)+2(-x^2 -kx +1)\\&=2x^2 -3kx +x +1 -2x^2 -2kx +2\\&=(-5k+1)x +3\end{aligned}$
因为 $A+2B$ 的值与$x$无关，所以$x$的系数为0，即：
$-5k+1=0$
解得 $k=\frac{1}{5}$
【答案】
(1) 小涵的说法正确；
(2) ①$B=-x^2 -kx +1$；②$k=\frac{1}{5}$
【知识点】
整式的加减运算，合并同类项，含参整式取值无关条件
【点评】
本题侧重考察整式加减的基础运算能力，核心是熟练掌握去括号、合并同类项的法则，同时需要理解“整式的值与某字母无关”等价于该字母的系数为0，是整式章节的典型基础题型，能有效检验学生对整式相关概念和运算的掌握情况。
【难度系数】
0.7
