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1.已知∠1和∠2互为余角，且∠2与∠3互补，∠1=60°，则∠3为（）
A.120°
B.60°
C.30°
D.150°
A.120°
B.60°
C.30°
D.150°
答案
D
解析
【分析】
解题时先回忆余角、补角的定义：互余的两个角和为90°，互补的两个角和为180°。第一步先根据∠1和∠2的互余关系，结合已知的∠1的度数算出∠2的度数；第二步再根据∠2和∠3的互补关系，算出∠3的度数即可选出正确选项。
【解析】
解：
∵ ∠1和∠2互为余角，
∴ ∠1 + ∠2 = 90°，
又
∵ ∠1 = 60°，
∴ ∠2 = 90° - ∠1 = 90° - 60° = 30°。
∵ ∠2和∠3互补，
∴ ∠2 + ∠3 = 180°，
∴ ∠3 = 180° - ∠2 = 180° - 30° = 150°。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义；补角的定义；角度计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查余角和补角定义的实际应用，解题的关键是准确掌握互余、互补两角的数量关系，按顺序逐步计算就能得到结果，不易出错。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆余角、补角的定义：互余的两个角和为90°，互补的两个角和为180°。第一步先根据∠1和∠2的互余关系，结合已知的∠1的度数算出∠2的度数；第二步再根据∠2和∠3的互补关系，算出∠3的度数即可选出正确选项。
【解析】
解：
∵ ∠1和∠2互为余角，
∴ ∠1 + ∠2 = 90°，
又
∵ ∠1 = 60°，
∴ ∠2 = 90° - ∠1 = 90° - 60° = 30°。
∵ ∠2和∠3互补，
∴ ∠2 + ∠3 = 180°，
∴ ∠3 = 180° - ∠2 = 180° - 30° = 150°。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义；补角的定义；角度计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查余角和补角定义的实际应用，解题的关键是准确掌握互余、互补两角的数量关系，按顺序逐步计算就能得到结果，不易出错。
【难度系数】
0.8
2. (2026·河北)如图14，点P在直线AB外，点C是直线AB上的动点，则∠1与∠2的关系一定成立的是 ()
A.$∠ 1＞∠ 2$
B.$∠ 1=3∠ 2$
C.$∠ 1-∠ 2=90°$
D.$∠ 1+∠ 2=180°$
A.$∠ 1＞∠ 2$
B.$∠ 1=3∠ 2$
C.$∠ 1-∠ 2=90°$
D.$∠ 1+∠ 2=180°$
答案
D
解析
【分析】
首先观察图形特征，直线AB上的点C处形成平角，平角的度数固定为180°。∠1和∠2是点C处被射线CP分成的两个相邻的角，二者刚好组成这个平角，因此二者之和恒为180°。再逐一判断选项：A选项只有当∠2＜90°时成立，B、C选项都仅在特定角度下成立，只有D选项的关系始终成立。
【解析】
∵ 点C在直线AB上，
∴ ∠ACB是平角，即∠ACB=180°。
由图可知，∠1+∠2=∠ACB，
∴ ∠1+∠2=180°，该关系始终成立。
其余选项：当∠2＞90°时∠1＜∠2，A不成立；∠1=3∠2、∠1-∠2=90°都仅在特殊角度下成立，不是一定成立的关系。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
平角的定义；邻补角的性质
【点评】
本题主要考查对平角、邻补角概念的理解和应用，解题的关键是准确识别图中两个角的位置关系，结合平角度数为180°的性质即可快速判断。
【难度系数】
0.9
首先观察图形特征，直线AB上的点C处形成平角，平角的度数固定为180°。∠1和∠2是点C处被射线CP分成的两个相邻的角，二者刚好组成这个平角，因此二者之和恒为180°。再逐一判断选项：A选项只有当∠2＜90°时成立，B、C选项都仅在特定角度下成立，只有D选项的关系始终成立。
【解析】
∵ 点C在直线AB上，
∴ ∠ACB是平角，即∠ACB=180°。
由图可知，∠1+∠2=∠ACB，
∴ ∠1+∠2=180°，该关系始终成立。
其余选项：当∠2＞90°时∠1＜∠2，A不成立；∠1=3∠2、∠1-∠2=90°都仅在特殊角度下成立，不是一定成立的关系。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
平角的定义；邻补角的性质
【点评】
本题主要考查对平角、邻补角概念的理解和应用，解题的关键是准确识别图中两个角的位置关系，结合平角度数为180°的性质即可快速判断。
【难度系数】
0.9
3. 如果$∠α$和$∠β$互补，且$∠α＞∠β$，则下列表示$∠β$的余角的式子中正确的有（）
①$90° - ∠β$；②$∠α - 90°$；③$\frac{1}{2}(∠α + ∠β)$；④$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$。
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
①$90° - ∠β$；②$∠α - 90°$；③$\frac{1}{2}(∠α + ∠β)$；④$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$。
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
B
解析
【分析】
解题核心是先明确余角、补角的定义，结合题目给出的∠α与∠β互补的条件得到∠α+∠β=180°，再将四个式子分别变形，判断是否等于∠β的余角（即90°-∠β）即可。思考步骤：第一步先回忆余角、补角概念，写出已知的角度关系；第二步逐个验证4个式子，通过代换变形看是否和余角的表达式一致。
【解析】
解：
∵ ∠α和∠β互补，
∴ ∠α + ∠β = 180°，
根据余角的定义，∠β的余角为90° - ∠β，因此：
① 90° - ∠β就是∠β余角的直接表达式，故①正确；
② 把∠α = 180° - ∠β代入得：∠α - 90° = 180° - ∠β - 90° = 90° - ∠β，故②正确；
③ $\frac{1}{2}(∠α + ∠β)$ = $\frac{1}{2}×180°$ = 90°，90°不是∠β的余角，不符合题意，故③错误；
④ 把∠α = 180° - ∠β代入得：$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$ = $\frac{1}{2}(180° - ∠β - ∠β)$ = $\frac{1}{2}(180° - 2∠β)$ = 90° - ∠β，故④正确。
综上，正确的有①②④共3个。
【答案】
B
【知识点】
余角和补角的定义，角的和差运算
【点评】
本题重点考查对余角、补角概念的理解和运用，解题时要紧扣互补的条件对式子进行等价变形，不要仅凭直观判断，通过代数代换验证更准确。
【难度系数】
0.7
解题核心是先明确余角、补角的定义，结合题目给出的∠α与∠β互补的条件得到∠α+∠β=180°，再将四个式子分别变形，判断是否等于∠β的余角（即90°-∠β）即可。思考步骤：第一步先回忆余角、补角概念，写出已知的角度关系；第二步逐个验证4个式子，通过代换变形看是否和余角的表达式一致。
【解析】
解：
∵ ∠α和∠β互补，
∴ ∠α + ∠β = 180°，
根据余角的定义，∠β的余角为90° - ∠β，因此：
① 90° - ∠β就是∠β余角的直接表达式，故①正确；
② 把∠α = 180° - ∠β代入得：∠α - 90° = 180° - ∠β - 90° = 90° - ∠β，故②正确；
③ $\frac{1}{2}(∠α + ∠β)$ = $\frac{1}{2}×180°$ = 90°，90°不是∠β的余角，不符合题意，故③错误；
④ 把∠α = 180° - ∠β代入得：$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$ = $\frac{1}{2}(180° - ∠β - ∠β)$ = $\frac{1}{2}(180° - 2∠β)$ = 90° - ∠β，故④正确。
综上，正确的有①②④共3个。
【答案】
B
【知识点】
余角和补角的定义，角的和差运算
【点评】
本题重点考查对余角、补角概念的理解和运用，解题时要紧扣互补的条件对式子进行等价变形，不要仅凭直观判断，通过代数代换验证更准确。
【难度系数】
0.7
4. (2025·广安)若$∠ A=25°$,则$∠ A$的余角为 ()
A.$25°$
B.$65°$
C.$75°$
D.$155°$
A.$25°$
B.$65°$
C.$75°$
D.$155°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆余角的定义：如果两个角的度数之和等于90°，那么这两个角互为余角。要求∠A的余角，只需用90°减去∠A的度数，算出结果后对应选项即可得到正确答案。
【解析】
解：根据余角的定义，互为余角的两个角的和为90°。
已知∠A=25°，则∠A的余角 = 90° - ∠A = 90° - 25° = 65°。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
余角的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查余角的相关计算，熟记余角的概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆余角的定义：如果两个角的度数之和等于90°，那么这两个角互为余角。要求∠A的余角，只需用90°减去∠A的度数，算出结果后对应选项即可得到正确答案。
【解析】
解：根据余角的定义，互为余角的两个角的和为90°。
已知∠A=25°，则∠A的余角 = 90° - ∠A = 90° - 25° = 65°。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
余角的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查余角的相关计算，熟记余角的概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
5. 一个角的补角比它的余角的2倍多30°,求这个角的度数.
答案
解：设这个角的度数为$x$，
则它的补角为$(180° - x)$，它的余角为$(90° - x)$。
根据题意列方程：
$180° - x = 2(90° - x) + 30°$
去括号，得：
$180° - x = 180° - 2x + 30°$
移项，得：
$-x + 2x = 180° + 30° - 180°$
合并同类项，得：
$x = 30°$
答：这个角的度数为$30°$。
则它的补角为$(180° - x)$，它的余角为$(90° - x)$。
根据题意列方程：
$180° - x = 2(90° - x) + 30°$
去括号，得：
$180° - x = 180° - 2x + 30°$
移项，得：
$-x + 2x = 180° + 30° - 180°$
合并同类项，得：
$x = 30°$
答：这个角的度数为$30°$。
解析
【分析】
遇到这类涉及余角、补角的求角度问题，可通过列方程的方法解答：首先回忆余角和补角的定义，互余的两个角和为90°，互补的两个角和为180°；其次设这个角的度数为x，用含x的代数式分别表示出它的余角和补角；再根据题目中“补角比它的余角的2倍多30°”的等量关系列出方程，最后解方程求出结果即可。
【解析】
解：设这个角的度数为$x$，
则它的补角为$(180° - x)$，它的余角为$(90° - x)$。
根据题意列方程：
$180° - x = 2(90° - x) + 30°$
去括号，得：
$180° - x = 180° - 2x + 30°$
移项，得：
$-x + 2x = 180° + 30° - 180°$
合并同类项，得：
$x = 30°$
答：这个角的度数为$30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
余角和补角的概念；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对余角、补角概念的掌握，以及运用方程思想解决几何角度计算问题的能力，解题关键是准确提取题干中的等量关系，正确表示出对应角的度数。
【难度系数】
0.8
遇到这类涉及余角、补角的求角度问题，可通过列方程的方法解答：首先回忆余角和补角的定义，互余的两个角和为90°，互补的两个角和为180°；其次设这个角的度数为x，用含x的代数式分别表示出它的余角和补角；再根据题目中“补角比它的余角的2倍多30°”的等量关系列出方程，最后解方程求出结果即可。
【解析】
解：设这个角的度数为$x$，
则它的补角为$(180° - x)$，它的余角为$(90° - x)$。
根据题意列方程：
$180° - x = 2(90° - x) + 30°$
去括号，得：
$180° - x = 180° - 2x + 30°$
移项，得：
$-x + 2x = 180° + 30° - 180°$
合并同类项，得：
$x = 30°$
答：这个角的度数为$30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
余角和补角的概念；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对余角、补角概念的掌握，以及运用方程思想解决几何角度计算问题的能力，解题关键是准确提取题干中的等量关系，正确表示出对应角的度数。
【难度系数】
0.8
