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18.(9分)如图15,在菱形ABCD中,E是AB的中点,且DE⊥AB,AE=4,AC,BD交于点O,求:
(1)∠ABC的度数;
(2)对角线AC,BD的长。
(1)∠ABC的度数;
(2)对角线AC,BD的长。
答案
解：
(1) ∵ E是AB的中点，且DE⊥AB，
∴ DE垂直平分AB，
∴ AD = BD。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD = AB，
∴ AD = AB = BD，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ ∠DAB = 60°。
∵ 菱形ABCD中AD//BC，
∴ ∠DAB + ∠ABC = 180°，
∴ ∠ABC = 180° - 60° = 120°。
(2) ∵ E是AB中点，AE=4，
∴ AB = 2AE = 8，
∴ BD = AB = 8。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD = $\frac{1}{2}$BD = 4。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3}$，
∴ AC = 2OA = $8\sqrt{3}$。
综上，∠ABC的度数为120°，AC长为$8\sqrt{3}$，BD长为8。
(1) ∵ E是AB的中点，且DE⊥AB，
∴ DE垂直平分AB，
∴ AD = BD。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD = AB，
∴ AD = AB = BD，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ ∠DAB = 60°。
∵ 菱形ABCD中AD//BC，
∴ ∠DAB + ∠ABC = 180°，
∴ ∠ABC = 180° - 60° = 120°。
(2) ∵ E是AB中点，AE=4，
∴ AB = 2AE = 8，
∴ BD = AB = 8。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD = $\frac{1}{2}$BD = 4。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3}$，
∴ AC = 2OA = $8\sqrt{3}$。
综上，∠ABC的度数为120°，AC长为$8\sqrt{3}$，BD长为8。
解析
【分析】
(1)求解∠ABC的度数：首先根据“E是AB中点且DE⊥AB”判断DE是AB的垂直平分线，由垂直平分线性质可得AD=BD；再结合菱形四边相等的性质，得到AD=AB=BD，即可判定△ABD为等边三角形，得出∠DAB=60°；最后利用菱形对边平行、邻角互补的性质，就能求出∠ABC的度数。
(2)求解对角线AC、BD的长：首先由AE=4，E是AB中点，先求出AB的长度，结合(1)的结论可得BD的长度；再根据菱形对角线互相垂直平分的性质，得到Rt△AOB中OB的长度，用勾股定理求出OA的长度，乘以2即可得到AC的长度。
【解析】
(1)
∵ E是AB的中点，且DE⊥AB，
∴ DE垂直平分AB，
∴ AD = BD。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD = AB，
∴ AD = AB = BD，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ ∠DAB = 60°。
∵ 菱形ABCD中AD//BC，
∴ ∠DAB + ∠ABC = 180°，
∴ ∠ABC = 180° - 60° = 120°。
(2)
∵ E是AB中点，AE=4，
∴ AB = 2AE = 8，
∴ BD = AB = 8。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD = $\frac{1}{2}$BD = 4。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3}$，
∴ AC = 2OA = $8\sqrt{3}$。
【答案】
(1)∠ABC的度数为120°；(2)AC的长为$8\sqrt{3}$，BD的长为8。
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形的基础综合题，解题的核心是灵活运用垂直平分线的性质、菱形的相关性质，结合勾股定理进行推理计算，能有效考查学生的几何逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
(1)求解∠ABC的度数：首先根据“E是AB中点且DE⊥AB”判断DE是AB的垂直平分线，由垂直平分线性质可得AD=BD；再结合菱形四边相等的性质，得到AD=AB=BD，即可判定△ABD为等边三角形，得出∠DAB=60°；最后利用菱形对边平行、邻角互补的性质，就能求出∠ABC的度数。
(2)求解对角线AC、BD的长：首先由AE=4，E是AB中点，先求出AB的长度，结合(1)的结论可得BD的长度；再根据菱形对角线互相垂直平分的性质，得到Rt△AOB中OB的长度，用勾股定理求出OA的长度，乘以2即可得到AC的长度。
【解析】
(1)
∵ E是AB的中点，且DE⊥AB，
∴ DE垂直平分AB，
∴ AD = BD。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD = AB，
∴ AD = AB = BD，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ ∠DAB = 60°。
∵ 菱形ABCD中AD//BC，
∴ ∠DAB + ∠ABC = 180°，
∴ ∠ABC = 180° - 60° = 120°。
(2)
∵ E是AB中点，AE=4，
∴ AB = 2AE = 8，
∴ BD = AB = 8。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD = $\frac{1}{2}$BD = 4。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3}$，
∴ AC = 2OA = $8\sqrt{3}$。
【答案】
(1)∠ABC的度数为120°；(2)AC的长为$8\sqrt{3}$，BD的长为8。
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形的基础综合题，解题的核心是灵活运用垂直平分线的性质、菱形的相关性质，结合勾股定理进行推理计算，能有效考查学生的几何逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
19. (9分)(2024·徐州)如图16,四边形ABCD为正方形,点E在BD的延长线上,连接EA,EC。
(1)求证:△EAB≌△ECB；
(2)若∠AEC=45°,求证:DC=DE。
(1)求证:△EAB≌△ECB；
(2)若∠AEC=45°,求证:DC=DE。
答案
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ $AB = CB$，BD平分$∠ ABC$，即$∠ ABE = ∠ CBE = 45°$，
又∵ $BE = BE$，
∴ $△ EAB ≌ △ ECB$（SAS）。
---
(2) 证明：
∵ $△ EAB ≌ △ ECB$，
∴ $EA = EC$，即$△ EAC$为等腰三角形，
∵ $∠ AEC = 45°$，
∴ $∠ EAC = ∠ ECA = \frac{180° - 45°}{2} = 67.5°$。
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ $AD = DC$，$∠ DAC = 45°$，$∠ ADB = 45°$，
∴ $∠ EAD = ∠ EAC - ∠ DAC = 67.5° - 45° = 22.5°$。
∵ 点E在BD的延长线上，
∴ $∠ ADE = 180° - ∠ ADB = 180° - 45° = 135°$，
在$△ ADE$中：
$∠ AED = 180° - ∠ ADE - ∠ EAD = 180° - 135° - 22.5° = 22.5°$，
∴ $∠ EAD = ∠ AED$，
∴ $AD = DE$，
又∵ $AD = DC$，
∴ $DC = DE$。
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ $AB = CB$，BD平分$∠ ABC$，即$∠ ABE = ∠ CBE = 45°$，
又∵ $BE = BE$，
∴ $△ EAB ≌ △ ECB$（SAS）。
---
(2) 证明：
∵ $△ EAB ≌ △ ECB$，
∴ $EA = EC$，即$△ EAC$为等腰三角形，
∵ $∠ AEC = 45°$，
∴ $∠ EAC = ∠ ECA = \frac{180° - 45°}{2} = 67.5°$。
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ $AD = DC$，$∠ DAC = 45°$，$∠ ADB = 45°$，
∴ $∠ EAD = ∠ EAC - ∠ DAC = 67.5° - 45° = 22.5°$。
∵ 点E在BD的延长线上，
∴ $∠ ADE = 180° - ∠ ADB = 180° - 45° = 135°$，
在$△ ADE$中：
$∠ AED = 180° - ∠ ADE - ∠ EAD = 180° - 135° - 22.5° = 22.5°$，
∴ $∠ EAD = ∠ AED$，
∴ $AD = DE$，
又∵ $AD = DC$，
∴ $DC = DE$。
解析
【分析】
(1) 要证明△EAB≌△ECB，可先结合正方形的性质得到全等所需的边和角的条件：正方形四边相等可得AB=CB，正方形对角线平分内角可得∠ABE=∠CBE，再加上公共边BE，即可用SAS判定两个三角形全等。
(2) 首先利用第(1)问的全等结论得到EA=EC，结合∠AEC=45°，可求出等腰△EAC的底角度数；再结合正方形的性质得到∠DAC、∠ADB的度数，进而求出∠EAD和∠ADE的度数；最后通过三角形内角和求出∠AED的度数，证明∠EAD=∠AED，得到AD=DE，再通过正方形AD=DC的性质等量代换即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ $AB = CB$，BD平分$∠ ABC$，即$∠ ABE = ∠ CBE = 45°$，
又
∵ $BE = BE$，
∴ $△ EAB ≌ △ ECB$（SAS）。
(2) 证明：
∵ $△ EAB ≌ △ ECB$，
∴ $EA = EC$，即$△ EAC$为等腰三角形，
∵ $∠ AEC = 45°$，
∴ $∠ EAC = ∠ ECA = \frac{180° - 45°}{2} = 67.5°$。
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ $AD = DC$，$∠ DAC = 45°$，$∠ ADB = 45°$，
∴ $∠ EAD = ∠ EAC - ∠ DAC = 67.5° - 45° = 22.5°$。
∵ 点E在BD的延长线上，
∴ $∠ ADE = 180° - ∠ ADB = 180° - 45° = 135°$，
在$△ ADE$中：
$∠ AED = 180° - ∠ ADE - ∠ EAD = 180° - 135° - 22.5° = 22.5°$，
∴ $∠ EAD = ∠ AED$，
∴ $AD = DE$，
又
∵ $AD = DC$，
∴ $DC = DE$。
【答案】
(1) △EAB≌△ECB成立；
(2) DC=DE成立。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合基础题，第一问考查全等三角形的判定，属于基础考点；第二问需要结合前一问的全等结论，通过角度计算推导等腰三角形，进而得到边的等量关系，解题时要注意前后问题的关联性，合理转化已知条件。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△EAB≌△ECB，可先结合正方形的性质得到全等所需的边和角的条件：正方形四边相等可得AB=CB，正方形对角线平分内角可得∠ABE=∠CBE，再加上公共边BE，即可用SAS判定两个三角形全等。
(2) 首先利用第(1)问的全等结论得到EA=EC，结合∠AEC=45°，可求出等腰△EAC的底角度数；再结合正方形的性质得到∠DAC、∠ADB的度数，进而求出∠EAD和∠ADE的度数；最后通过三角形内角和求出∠AED的度数，证明∠EAD=∠AED，得到AD=DE，再通过正方形AD=DC的性质等量代换即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ $AB = CB$，BD平分$∠ ABC$，即$∠ ABE = ∠ CBE = 45°$，
又
∵ $BE = BE$，
∴ $△ EAB ≌ △ ECB$（SAS）。
(2) 证明：
∵ $△ EAB ≌ △ ECB$，
∴ $EA = EC$，即$△ EAC$为等腰三角形，
∵ $∠ AEC = 45°$，
∴ $∠ EAC = ∠ ECA = \frac{180° - 45°}{2} = 67.5°$。
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ $AD = DC$，$∠ DAC = 45°$，$∠ ADB = 45°$，
∴ $∠ EAD = ∠ EAC - ∠ DAC = 67.5° - 45° = 22.5°$。
∵ 点E在BD的延长线上，
∴ $∠ ADE = 180° - ∠ ADB = 180° - 45° = 135°$，
在$△ ADE$中：
$∠ AED = 180° - ∠ ADE - ∠ EAD = 180° - 135° - 22.5° = 22.5°$，
∴ $∠ EAD = ∠ AED$，
∴ $AD = DE$，
又
∵ $AD = DC$，
∴ $DC = DE$。
【答案】
(1) △EAB≌△ECB成立；
(2) DC=DE成立。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合基础题，第一问考查全等三角形的判定，属于基础考点；第二问需要结合前一问的全等结论，通过角度计算推导等腰三角形，进而得到边的等量关系，解题时要注意前后问题的关联性，合理转化已知条件。
【难度系数】
0.7
