20. (9分)如图17,E,F,G,H分别为四边形ABCD四条边的中点,连接AC,BD。
(1)求证:四边形EFGH为平行四边形。
(2)当AC,BD满足时,四边形EFGH为菱形；
当AC,BD满足时,四边形EFGH为矩形；
当AC,BD满足时,四边形EFGH为正方形。

(1) 证明：
∵ E,F分别为AB,BC的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ $EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$。
∵ G,H分别为CD,AD的中点，
∴ GH是△ACD的中位线，
∴ $GH// AC$，$GH=\frac{1}{2}AC$。
∴ $EF// GH$，$EF=GH$，
∴ 四边形EFGH为平行四边形。
(2) 答案依次为：
$\boldsymbol{AC=BD}$；
$\boldsymbol{AC⊥ BD}$；
$\boldsymbol{AC=BD且AC⊥ BD}$。

【分析】
(1) 要证明四边形EFGH是平行四边形，可通过证明一组对边平行且相等实现。已知E、F、G、H均为四边形各边中点，可联想到三角形中位线定理，分别推导EF、GH与AC的位置和数量关系，即可得到EF与GH平行且相等，进而判定四边形EFGH是平行四边形。
(2) 基于第一问已证EFGH是平行四边形，结合特殊平行四边形的判定条件推导：① 菱形需要平行四边形邻边相等，邻边$EF=\frac{1}{2}AC$、$EH=\frac{1}{2}BD$，因此需$AC=BD$；② 矩形需要平行四边形有一个内角为直角，由于$EF// AC$、$EH// BD$，因此需$AC⊥ BD$即可让邻边垂直；③ 正方形需要同时满足菱形和矩形的判定条件，因此需AC和BD既相等又垂直。
【解析】
(1) 证明：
∵ E,F分别为AB,BC的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ $EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$。
∵ G,H分别为CD,AD的中点，
∴ GH是△ACD的中位线，
∴ $GH// AC$，$GH=\frac{1}{2}AC$。
∴ $EF// GH$，$EF=GH$，
∴ 四边形EFGH为平行四边形。
(2) 平行四边形邻边相等时为菱形，因此需$AC=BD$；平行四边形有一个内角为直角时为矩形，因此需$AC⊥ BD$；平行四边形为正方形时需同时满足菱形和矩形的条件，因此需$AC=BD$且$AC⊥ BD$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boldsymbol{AC=BD}$；$\boldsymbol{AC⊥ BD}$；$\boldsymbol{AC=BD且AC⊥ BD}$
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定；特殊平行四边形的判定
【点评】
本题是中点四边形的典型题型，核心是利用三角形中位线定理得到中点四边形边的位置、数量关系，再结合特殊平行四边形的判定条件求解，能够帮助学生理解各类四边形之间的联系与区别。
【难度系数】
0.75

21. (10分)如图18,在正方形ABCD中,点E在对角线AC上,点F在边BC上,连接BE,DF,DF交对角线AC于点P,且DE=DP。
求证:(1)AE=CP;
(2)BE//DF。

证明：
(1) ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD = CD，∠DAE = ∠DCP = 45°。
∵ DE = DP，
∴ ∠DEP = ∠DPE，
∴ 180° - ∠DEP = 180° - ∠DPE，即 ∠AED = ∠CPD。
在△ADE和△CDP中，
$\{\begin{array}{l}∠AED = ∠CPD \\∠DAE = ∠DCP \\AD = CD\end{array} $
∴ △ADE ≌ △CDP (AAS)，
∴ AE = CP。
(2) ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB = AD，∠BAE = ∠DAE = 45°。
在△ABE和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AB = AD \\∠BAE = ∠DAE \\AE = AE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △ADE (SAS)，
∴ ∠AEB = ∠AED。
∵ ∠AEB + ∠BEP = 180°，∠AED + ∠DEP = 180°，
∴ ∠BEP = ∠DEP。
又∵ DE = DP，
∴ ∠DEP = ∠DPE，
∴ ∠BEP = ∠DPE，
∴ BE // DF。

【分析】
(1) 要证线段相等，通常可证明两条线段所在的三角形全等。首先根据正方形性质可得AD=CD，∠DAE=∠DCP=45°；再由DE=DP得∠DEP=∠DPE，根据补角的性质推出∠AED=∠CPD，即可利用AAS证明△ADE≌△CDP，进而得到AE=CP。
(2) 要证两直线平行，可通过证明内错角相等推导。先根据正方形的边、角性质，用SAS证明△ABE≌△ADE，得到∠AEB=∠AED；结合平角的性质推出∠BEP=∠DEP，再由DE=DP得∠DEP=∠DPE，等量代换得到∠BEP=∠DPE，即可推出BE//DF。
【解析】
证明：
(1)
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD = CD，∠DAE = ∠DCP = 45°。
∵ DE = DP，
∴ ∠DEP = ∠DPE，
∴ 180° - ∠DEP = 180° - ∠DPE，即 ∠AED = ∠CPD。
在△ADE和△CDP中，
$\{\begin{array}{l}∠AED = ∠CPD \\∠DAE = ∠DCP \\AD = CD\end{array} $
∴ △ADE ≌ △CDP (AAS)，
∴ AE = CP。
(2)
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB = AD，∠BAE = ∠DAE = 45°。
在△ABE和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AB = AD \\∠BAE = ∠DAE \\AE = AE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △ADE (SAS)，
∴ ∠AEB = ∠AED。
∵ ∠AEB + ∠BEP = 180°，∠AED + ∠DEP = 180°，
∴ ∠BEP = ∠DEP。
又
∵ DE = DP，
∴ ∠DEP = ∠DPE，
∴ ∠BEP = ∠DPE，
∴ BE // DF。
【答案】
(1) AE=CP，得证；(2) BE//DF，得证。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题是特殊平行四边形的基础证明题，核心考查对正方形边角特性、全等三角形判定的掌握，解题时需要结合已知条件构造全等三角形，通过角的等量代换完成平行的证明，思路指向性明确，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7