4.已知A为整式，若计算$\frac{A}{xy+y^2}-\frac{y}{x^2+xy}$的结果为$\frac{x-y}{xy}$，则$A=(\quad)$

A.$x$
B.$y$
C.$x+y$
D.$x-y$

4.A

5.化简$\frac{a}{b} - \frac{b}{a} - \frac{a^2 + b^2}{ab}$的结果是。

5.$-\frac{2b}{a}$

6.已知实数$a,b$满足$ab=1$,那么$\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1}$的值为.

6.1 点拨:原式$=\frac{b^2+1+a^2+1}{(a^2+1)(b^2+1)}=\frac{a^2+b^2+2}{a^2b^2+a^2+b^2+1}=\frac{a^2+b^2+2}{(ab)^2+a^2+b^2+1}$.
$\because ab=1,\therefore$原式$=\frac{a^2+b^2+2}{1^2+a^2+b^2+1}=\frac{a^2+b^2+2}{a^2+b^2+2}=1$.

7.求式子$\frac{3x+2y}{x^2 - y^2} + \frac{x}{y^2 - x^2}$的值，其中$x^2 + y^2 = 2xy + 4$。

7.解:$\because x^2+y^2=2xy+4,\therefore (x-y)^2=4$,
$\therefore x-y=\pm2$.
原式$=\frac{3x+2y}{(x+y)(x-y)}-\frac{x}{(x+y)(x-y)}$
$=\frac{2(x+y)}{(x+y)(x-y)}=\frac{2}{x-y}=\pm1$.

8.已知$\frac{M}{x-1} - \frac{N}{2-x} = \frac{2x-6}{(x-1)(x-2)}$，求$M,N$的值.

8.解:$\frac{M}{x-1}-\frac{N}{2-x}=\frac{M(x-2)+N(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{(M+N)x-2M-N}{(x-1)(x-2)}=\frac{2x-6}{(x-1)(x-2)}$.
$\therefore \begin{cases}M+N=2,\\-2M-N=-6,\end{cases}$解得$\begin{cases}M=4,\\N=-2.\end{cases}$

【实际应用】甲、乙两位采购员同去一家粮油公司购买两次大米，两次大米的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同.其中，甲每次购买$x$千克$(x＞0)$，乙每次用去$y$元$(y＞0)$，而不管购买多少大米.设两次购买的大米单价分别为$m$元/千克和$n$元/千克$(m,n$是正数，且$m≠n)$.
(1)甲两次所购大米的平均单价是元/千克.
(2)求乙两次所购大米的总量为多少千克.
(3)比较甲、乙所购大米的平均单价，哪一个较低?

(1)$\frac{m+n}{2}$
解:(2)$\frac{y}{m}+\frac{y}{n}=\frac{my+ny}{mn}$(千克).
答:乙两次所购大米的总量为$\frac{my+ny}{mn}$千克.
(3)乙所购大米的平均单价为$\frac{2y}{\frac{my+ny}{mn}}=\frac{2mn}{m+n}$(元/千克),$\frac{m+n}{2}-\frac{2mn}{m+n}=\frac{(m+n)^2-4mn}{2(m+n)}=\frac{(m-n)^2}{2(m+n)}$,
$\because m,n$是正数,且$m≠ n$,
$\therefore (m-n)^2＞0,m+n＞0$,
$\therefore \frac{(m-n)^2}{2(m+n)}＞0,\therefore \frac{m+n}{2}-\frac{2mn}{m+n}＞0$,
$\therefore$乙所购大米的平均单价较低.