登录
7 一题多解 如图，AF，CG为$△ ABC$的中线且交于点O，过点O作BC的平行线，交AB于点D，交AC于点E，若$AC=9$，求CE的长。
答案
7. $CE=3$
解法一:如图①,取 BG 的中点 H,连接 HF.
∵ CG 为$△ABC$的中线,
∴ $AG=BG$.
∵ H 为 BG 的中点,
∴ $BH=GH=\frac{1}{2}BG$.
∴ $AG=\frac{2}{3}AH$.
∵ AF 为$△ABC$的中线,
∴ F 为 BC 的中点. 又
∵ H 为 BG 的中点,
∴ HF 为$△GBC$的中位线.
∴ $GC//HF$.
∴ $\frac{AO}{AF}=\frac{AG}{AH}=\frac{2}{3}$.
∵ $DE//BC$,
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{AO}{AF}=\frac{2}{3}$.
∴ $AE=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}×9=6$.
∴ $CE=AC-AE=9-6=3$
解法二:如图②,连接 FG.
∵ CG,AF 是中线,
∴ G 是 AB 的中点,F 是 BC 的中点.
∴ $GF=\frac{1}{2}AC$,$GF//AC$.
∴ 易得$△OGF∽△OCA$.
∴ $\frac{OF}{OA}=\frac{GF}{CA}=\frac{1}{2}$.
∴ $\frac{AO}{AF}=\frac{2}{3}$.
∵ $OE//FC$,
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{AO}{AF}=\frac{2}{3}$.
∴ $CE=\frac{1}{3}AC=3$
8 如图,在$△ ABC$中,$AD⊥ BC$,垂足为D,$AD=5$,$BC=10$,四边形$EFGH$和四边形$HGNM$均为正方形,且点$E$,$F$,$G$,$N$,$M$都在$△ ABC$的边上,求$△ AEM$与四边形$BCME$的面积比. 
答案
8. $△AEM$与四边形$BCME$的面积比为$1:3$
设 AD 交 EM 于点 P.
∵ 四边形 EFGH 和四边形 HGNM 均为正方形,
∴ $EF=EH=HM$,$EH//FG$,即 $EM//BC$.
∵ $AD⊥BC$,
∴ $AP⊥EM$. 由题意,易得 $PD=EF$.
∵ $EM//BC$,
∴ 易得$△AEM∽△ABC$.
∴ $\frac{AP}{AD}=\frac{EM}{BC}$.
∴ $\frac{5-EF}{5}=\frac{2EF}{10}$.
∴ $EF=\frac{5}{2}$.
∴ $EM=5$.
∵ $△AEM∽△ABC$,
∴ $\frac{S_{△AEM}}{S_{△ABC}}=(\frac{EM}{BC})^2=(\frac{5}{10})^2=\frac{1}{4}$.
∴ $S_{四边形BCME}=S_{△ABC}-S_{△AEM}=3S_{△AEM}$.
∴ $△AEM$ 与四边形 BCME 的面积比为 $1:3$
设 AD 交 EM 于点 P.
∵ 四边形 EFGH 和四边形 HGNM 均为正方形,
∴ $EF=EH=HM$,$EH//FG$,即 $EM//BC$.
∵ $AD⊥BC$,
∴ $AP⊥EM$. 由题意,易得 $PD=EF$.
∵ $EM//BC$,
∴ 易得$△AEM∽△ABC$.
∴ $\frac{AP}{AD}=\frac{EM}{BC}$.
∴ $\frac{5-EF}{5}=\frac{2EF}{10}$.
∴ $EF=\frac{5}{2}$.
∴ $EM=5$.
∵ $△AEM∽△ABC$,
∴ $\frac{S_{△AEM}}{S_{△ABC}}=(\frac{EM}{BC})^2=(\frac{5}{10})^2=\frac{1}{4}$.
∴ $S_{四边形BCME}=S_{△ABC}-S_{△AEM}=3S_{△AEM}$.
∴ $△AEM$ 与四边形 BCME 的面积比为 $1:3$
9 [2026 上海]如图，在菱形ABCD中，E为CD上一点，满足∠EBC=∠CAB，BE交AC于点F.
(1) 若AF=2CF，求证：E是CD的中点；
(2) 若∠ABE的平分线BH交AC于点G，交AD于点H，求证：CD·BG=BH·BF.
(1) 若AF=2CF，求证：E是CD的中点；
(2) 若∠ABE的平分线BH交AC于点G，交AD于点H，求证：CD·BG=BH·BF.
答案
9. （1）证明：
∵ 四边形 ABCD 为菱形,
∴ $AB=CD$,$AB//CD$.
∵ $CE//AB$,
∴ 易得$△CEF∽△ABF$.
∴ $\frac{CE}{AB}=\frac{CF}{AF}=\frac{CF}{2CF}=\frac{1}{2}$.
∴ $CE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$.
∴ E 是 CD 的中点
（2）证明：
∵ 四边形 ABCD 为菱形,
∴ $AB=CD$,$∠CAB=∠HAG=∠ACB$.
∵ $∠EBC=∠CAB$,
∴ $∠CAB=∠HAG=∠ACB=∠EBC$.
∵ $∠AFB=∠EBC+∠ACB$,$∠BAH=∠CAB+∠HAG$,
∴ $∠BAH=∠AFB$.
∵ BH 平分$∠ABE$,
∴ $∠ABH=∠FBG$.
∴ $△ABH∽△FBG$.
∴ $AB:FB=BH:BG$.
∴ $AB·BG=BH·BF$.
∴ $CD·BG=BH·BF$
∵ 四边形 ABCD 为菱形,
∴ $AB=CD$,$AB//CD$.
∵ $CE//AB$,
∴ 易得$△CEF∽△ABF$.
∴ $\frac{CE}{AB}=\frac{CF}{AF}=\frac{CF}{2CF}=\frac{1}{2}$.
∴ $CE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$.
∴ E 是 CD 的中点
（2）证明：
∵ 四边形 ABCD 为菱形,
∴ $AB=CD$,$∠CAB=∠HAG=∠ACB$.
∵ $∠EBC=∠CAB$,
∴ $∠CAB=∠HAG=∠ACB=∠EBC$.
∵ $∠AFB=∠EBC+∠ACB$,$∠BAH=∠CAB+∠HAG$,
∴ $∠BAH=∠AFB$.
∵ BH 平分$∠ABE$,
∴ $∠ABH=∠FBG$.
∴ $△ABH∽△FBG$.
∴ $AB:FB=BH:BG$.
∴ $AB·BG=BH·BF$.
∴ $CD·BG=BH·BF$
10 新情境 科技创新 如图，用机械臂绘图时，对平面直角坐标系中的菱形ABCD执行了两步操作:先以点O为位似中心，将菱形放大为原来的2倍，然后拖动菱形平移，得到菱形A'B'C'D'.已知A(-6,0),B(0,-8),C'(9,-2),若菱形ABCD内部一点F经过上述操作后得到的对应点F'与它本身重合，则点F的坐标是（
A.(2,2)
B.(2,3)
C.(3,2)
D.(3,3)
C
）A.(2,2)
B.(2,3)
C.(3,2)
D.(3,3)
答案
10. C
【解析】
∵ 四边形ABCD为菱形,
∴ $OA=OC$.
∵ 点A的坐标为$(-6,0)$,
∴ 点C的坐标为$(6,0)$.先以点O为位似中心,将菱形放大为原来的2倍,则点C的对应点的坐标为$(12,0)$,
∵ 点$C'$的坐标为$(9,-2)$,
∴ 平移的方式是向左平移3个单位长度,向下平移2个单位长度.设点F的坐标为$(m,n)$,则点$F'$的坐标为$(2m-3,2n-2)$,由题意,得$2m-3=m$,$2n-2=n$,解得$m=3$,$n=2$,
∴ 点F的坐标为$(3,2)$.
【解析】
∵ 四边形ABCD为菱形,
∴ $OA=OC$.
∵ 点A的坐标为$(-6,0)$,
∴ 点C的坐标为$(6,0)$.先以点O为位似中心,将菱形放大为原来的2倍,则点C的对应点的坐标为$(12,0)$,
∵ 点$C'$的坐标为$(9,-2)$,
∴ 平移的方式是向左平移3个单位长度,向下平移2个单位长度.设点F的坐标为$(m,n)$,则点$F'$的坐标为$(2m-3,2n-2)$,由题意,得$2m-3=m$,$2n-2=n$,解得$m=3$,$n=2$,
∴ 点F的坐标为$(3,2)$.
