1 已知四条线段的长度分别为$m,n,p,q(m,n,p,q$均不为$0)$，其长度满足等式$mn=pq$，将它改写成比例式的形式，错误的是（）

A.$\frac{m}{p}=\frac{q}{n}$
B.$\frac{p}{m}=\frac{n}{q}$
C.$\frac{q}{m}=\frac{n}{p}$
D.$\frac{m}{n}=\frac{p}{q}$

1. D

2 我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线.如图,小明在两条横线上画出△ABC,且AB,AC与中间的另外两条横线交于D,F,E,G四点,连接CD交FG于点H.若HG=3 mm,则BC的长为mm.

2. 18
【解析】
∵ DE//FG//BC,$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$,$\frac{CG}{CE}=\frac{1}{2}$,
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$,$\frac{HG}{DE}=\frac{CG}{CE}=\frac{1}{2}$.
∴ $DE=6\ \mathrm{mm}$,$BC=18\ \mathrm{mm}$.

3 △ABC 的三边长分别为 2,3,4,另一个与它相似的△DEF,其最长边的长为 12,则△DEF 的周长是
（）

A.54
B.36
C.27
D.21

3. C

4 如图，F是线段CD上除端点外的一点，将$△ ADF$绕正方形ABCD的顶点A按顺时针方向旋转$90°$，得到$△ ABE$，连接EF，交AB于点H。下列结论正确的是 （）

A.$∠ EAF=120°$
B.$AE:EF=1:\sqrt{3}$
C.$AF^2=EH· EF$
D.$EB:AD=EH:HF$
（第4题） （第5题） （第6题）

4. D

5 [2026天津]如图,在$△ ABC$中,$AB=8$,$AC=6$,将$△ ABC$绕点A顺时针旋转得到$△ ADE$,使点C的对应点E落在边AB上,点B的对应点为D,连接CE并延长,与BD相交于点F.若$BF=3$,则$△ ABF$的面积为（）

A.$2\sqrt{55}$
B.$4\sqrt{10}$
C.$8\sqrt{2}$
D.$7\sqrt{2}$

5. C
【解析】如图,过点 A 作$AH⊥BD$于点 H.由旋转的性质可知 $AD=AB=8$,$AC=AE=6$,
∴ $BE=AB-AE=2$,
$∠CAB=∠EAD$,$∠ADB=∠ABD$,$∠AEC=∠ACE$.
∴ 易得 $∠ABD=∠ACE$.
∵ $∠BEF=∠AEC$,
∴ 易得 $∠BFE=∠CAE=∠BAD$.
∵ $∠EBF=∠DBA$,
∴ $△BFE∽△BAD$.
∴ $BF:BA = BE: BD$.
∴ $3: 8=2: BD$.
∴ $BD=\frac{16}{3}$.
∵ $AD=AB=8$,$AH⊥BD$,
∴ $DH=BH=\frac{1}{2}BD=\frac{8}{3}$.
∴ $AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{8^2-(\frac{8}{3})^2}=\frac{16\sqrt{2}}{3}$.
∴ $△ABF$ 的面积$=\frac{1}{2}·BF·AH=\frac{1}{2}×3×\frac{16\sqrt{2}}{3}=8\sqrt{2}$.

6 [2026新疆]如图,等边三角形AOB的面积为$9\sqrt{3}$,边OA与双曲线$y=\frac{k}{x}$相交于点C,且OA:OC=3:2,则$k=$.

6. $4\sqrt{3}$
【解析】如图,过点 A 作$AD⊥x$轴于点 D,过点 C 作$CE⊥x$轴于点 E.设等边三角形 AOB 的边长为 2a,
∴ $OA=OB=2a$,$OD=BD=\frac{1}{2}OB=a$.
∴ $AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{3}a$.
∴ $\frac{1}{2}OB·AD=\frac{1}{2}×2a×\sqrt{3}a=\sqrt{3}a^2=9\sqrt{3}$,解得 $a=3$(负值舍去).
∴ $AD=3\sqrt{3}$,$OD=3$.
∵ $AD//CE$,
∴ $\frac{AD}{CE}=\frac{OD}{OE}=\frac{OA}{OC}$.
∵ $OA:OC=3:2$,
∴ $\frac{3\sqrt{3}}{CE}=\frac{3}{OE}=\frac{3}{2}$.
∴ $CE=2\sqrt{3}$,$OE=2$.
∴ $C(2,2\sqrt{3})$.
∴ $k=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$.