6. 如图15-1-24，在$△ ABC$中，AB的垂直平分线$l_1$交BC于点D，AC的垂直平分线$l_2$交BC于点E，$l_1$与$l_2$相交于点O，$△ ADE$的周长为6.
(1)求BC的长.
(2)分别连接OA，OB，OC，若$△ OBC$的周长为16，求OA的长.

图15-1-24

6. 解:(1)
∵$l_1$是线段AB的垂直平分线,
∴AD=BD.
∵$l_2$是线段AC的垂直平分线,
∴EA=EC.
∵△ADE的周长为6,
∴AD+DE+AE=6.
∴BD+DE+EC=6,即BC=6.
(2)
∵$l_1$是线段AB的垂直平分线,
∴OA=OB,同理OA=OC,
即OA=OB=OC,
∵△OBC的周长为16,BC=6,
∴OB+OC=10,
∴OB=5,
∴OA=5.

7.如图15-1-25,在△ABC中,点E是BC边上的一点,连接AE,BD垂直平分AE,垂足为F,交AC于点D,连接DE.
(1)若△ABC的周长为19,△DEC的周长为7,求AB的长.
(2)若∠ABC=35°,∠C=50°,求∠CDE的度数.
图15-1-25

7. 解:(1)
∵BD是线段AE的垂直平分线,
∴AB=BE,AD=DE.
∵△ABC的周长为19,△DEC的周长为7,
∴AB+BE+EC+CD+AD=19,CD+EC+DE=CD+CE+AD=7,
∴AB+BE=19-7=12,
∴AB=6.
(2)
∵∠ABC=35°,∠C=50°,
∴∠BAC=180°-35°-50°=95°,
在△BAD和△BED中,
$\begin{cases} BA=BE, \\ BD=BD, \\ DA=DE, \end{cases}$
∴△BAD≌△BED(SSS),
∴∠BED=∠BAC=95°,
∴∠CDE=∠BED-∠C=95°-50°=45°.

如图15-1-26,已知在△ABC中,BC边上的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E,EF⊥AB交AB的延长线于点F,EG⊥AC交AC于点G.求证:
(1)BF=CG;
(2)AF=$\frac{1}{2}(AB+AC)$.

图15-1-26

证明:(1)连接BE,CE.
∵AE平分∠BAC,
又
∵EF⊥AB,EG⊥AC,
∴EF=EG.
∵DE垂直平分BC,
∴EB=EC.
在Rt△EFB和Rt△EGC中,
$\begin{cases} EF=EG, \\ EB=EC, \end{cases}$
∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL),
∴BF=CG.
(2)在Rt△AEF和Rt△AEG中,
$\begin{cases} EF=EG, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴Rt△AEF≌Rt△AEG(HL),
∴AF=AG.
又
∵AB+AC=(AF-BF)+(AG+CG)=AF+AG,
∴2AF=AB+AC,即$AF=\frac{1}{2}(AB+AC)$.