观察下列方程，完成下列探究.
①$8x + 12(11 - x) = 112$；
②$2(26 - x) = 37 + x$；
③$2x + 5 = 3x - 1$.
探究1：它们分别有几个未知数？未知数的次数是几？
探究2：还有什么其他共同点？
探究3：你还能列举出具备这种特点的方程吗？
新知生成：一般地，如果方程中只含有未知数(元)，且含有未知数的式子都是，未知数的次数都是，这样的方程叫作一元一次方程.

探究1 均只含有一个未知数，且未知数的次数都是1.
探究2 等式两边都是整式.
探究3 例如，$6x-5=7$，$2(3x-1)=5x+6$.(答案不唯一)

【分析】
解题时按照探究顺序逐步分析：①探究1先逐个统计每个方程中不同的未知数字母数量，再看未知数的最高次幂，就能得到未知数个数和次数的结论；②探究2结合已学的整式概念，观察方程左右两边的式子类型，即可提炼出其他共同点；③探究3根据前两步总结出的三个特征，编写符合要求的方程即可；最后根据归纳的共性，就能对应填出一元一次方程定义的空缺内容。
【解析】
探究1
逐个分析三个方程：
方程①只有x1个未知数，x的最高次数是1；
方程②只有x1个未知数，x的最高次数是1；
方程③只有x1个未知数，x的最高次数是1；
因此三个方程均只含有一个未知数，且未知数的次数都是1。
探究2
观察三个方程的左右两边，所有式子的分母都不含未知数，都属于整式，因此共同点为：等式两边都是整式。
探究3
只需写出满足“只含1个未知数、未知数次数为1、等式两边都是整式”的方程即可，例如$6x-5=7$，$2(3x-1)=5x+6$（答案不唯一）。
新知生成
结合上述探究得到的特征，依次填入：一个、整式、1。
【答案】
探究1：均只含有一个未知数，且未知数的次数都是1。
探究2：等式两边都是整式。
探究3：例如$6x-5=7$，$2(3x-1)=5x+6$（答案不唯一）。
新知生成：一个；整式；1
【知识点】
一元一次方程的定义、整式的识别
【点评】
本题通过具体方程的特征归纳，引导学生自主总结一元一次方程的定义，侧重基础概念的考查，掌握一元一次方程的三个判定要素即可轻松解题。
【难度系数】
0.9

1. 已知下列方程：
①$x - 2 = \frac{5}{x}$；②$0.3x = 1$；③$\frac{x}{2} = 5x + 1$；
④$x^2 - 4x = 3$；⑤$x = 6$；⑥$x + 2y = 0$.
其中，是一元一次方程的有.（填序号）

1. ②③⑤

【分析】
要解这道题，首先要明确一元一次方程的三个判断标准：1.只含有1个未知数；2.未知数的最高次数为1；3.等号两边都是整式（即分母不含未知数）。接下来我们逐个对照这三个标准判断每个方程是否符合，就能筛选出正确结果。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。
逐个分析给出的方程：
①$x - 2 = \frac{5}{x}$：分母中含有未知数x，属于分式方程，不符合整式要求，不是一元一次方程；
②$0.3x = 1$：只含未知数x，x的次数是1，两边都是整式，符合定义，是一元一次方程；
③$\frac{x}{2} = 5x + 1$：只含未知数x，x的次数是1，两边都是整式，符合定义，是一元一次方程；
④$x^2 - 4x = 3$：未知数x的最高次数是2，不符合次数要求，不是一元一次方程；
⑤$x = 6$：只含未知数x，x的次数是1，两边都是整式，符合定义，是一元一次方程；
⑥$x + 2y = 0$：含有x、y两个未知数，不符合未知数个数要求，不是一元一次方程。
综上，符合一元一次方程要求的是②③⑤。
【答案】
②③⑤
【知识点】
一元一次方程的定义、整式的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记一元一次方程的三个判定要素，尤其要注意区分整式方程和分式方程，避免将分母含未知数的方程误判为一元一次方程。
【难度系数】
0.8

2. 下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？
(1)$2+3=3+2$；(2)$8y-9=9-y$；
(3)$x^2+2x+1=4$。

解：(2)(3)是方程；(2)是一元一次方程。

【分析】
解题时首先要明确两个核心判定规则：1. 方程的判定：需同时满足两个条件，一是为等式，二是含有未知数，两个条件缺一不可；2. 一元一次方程的判定：首先必须是方程，其次还要满足三个要求：只含有1个未知数、未知数的最高次数为1、等号两边都是整式。随后我们对照上述规则逐一判断3个式子即可得到结果。
【解析】
首先明确相关定义：
①含有未知数的等式叫做方程；
②只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
逐个分析式子：
(1) $2+3=3+2$ 是等式，但不含未知数，因此不属于方程；
(2) $8y-9=9-y$ 是含有未知数$y$的等式，满足方程的定义，属于方程；同时它只含有1个未知数$y$，$y$的最高次数是1，等号两边都是整式，因此也属于一元一次方程；
(3) $x^2+2x+1=4$ 是含有未知数$x$的等式，满足方程的定义，属于方程；但未知数$x$的最高次数是2，不满足一元一次方程的要求，因此不属于一元一次方程。
【答案】
(2)(3)是方程；(2)是一元一次方程。
【知识点】
方程的定义；一元一次方程的判定
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查对相关定义的理解与运用，解题时只要逐一核对每个判定条件，就能快速得出正确结论，注意不要遗漏“方程必须含未知数”“一元一次方程未知数次数为1”这两个核心要点。
【难度系数】
0.8

请根据本课所学，构建知识体系.

相等
未知数
方程的解
①一个
②整式
③1

【分析】
本题考查方程相关的基础概念填空，解题时只需对应回忆各概念的标准定义，依次匹配空缺即可：首先回忆方程的解的定义，对应前两个空缺；再回忆解方程的定义，对应第三个空缺；最后回忆一元一次方程的三个判定特征，对应后三个空缺。
【解析】
1. 结合方程的解的定义：一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解，因此前两个空依次填“相等”“未知数”；
2. 结合解方程的定义：求方程的解的过程，叫作解方程，因此第三个空填“方程的解”；
3. 结合一元一次方程的判定条件：①方程中只含有一个未知数（元）；②含有未知数的式子都是整式；③未知数的次数都是1，因此后三个空依次填“一个”“整式”“1”。
【答案】
相等；未知数；方程的解；①一个；②整式；③1
【知识点】
方程的解的概念；解方程的概念；一元一次方程的定义
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考察对方程相关核心概念的掌握情况，牢记相关定义即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9

阅读材料，完成下列探究.
像①$3+x=5$；②$3x+2y=7$；③$2+3=3+$
$2$；④$m+n=n+m$；⑤$5x+7=x-5$这样的式子都是等式，等式可以用$a=b$来表示.
探究1：关于等式的两个基本事实.
等式两边可以交换：如果$a=b$，那么.
相等关系可以传递：如果$a=b$，$b=c$，那么.
探究2：我们在小学学过等式的性质，这些性质在有理数范围内是否依然成立？请用下列具体数试一试.
已知$6=6$，
则$6+2$$6+2$；
$6-2$$6-2$；
$6+(-2)$$6+(-2)$；
$6×(-2)$$6×(-2)$；
$6÷(-2)$$6÷(-2)$.
新知生成：（等式的性质1）等式两边加（或减），结果仍.
如果$a=b$，那么.
（等式的性质2）等式两边乘，或除以同一个，结果仍.
如果$a=b$，那么；
如果$a=b$，$c≠0$，那么.

探究1. b=a，a=c
探究2. =，=，=，=，=
新知生成：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数(或式子)，结果仍相等。如果$a=b$，那么$a\pm c = b\pm c$
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果$a=b$，那么$ac=bc$；如果$a=b$，$c≠0$，那么$\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}$

【分析】
本题围绕等式的相关性质展开探究，解题思路清晰：1. 探究1考查等式的两个基本事实，根据“等式两边交换位置后相等关系不变”“相等的量互相相等”的规律即可直接填空；2. 探究2通过具体数值运算验证等式性质在有理数范围的适用性，分别计算左右两边的运算结果，对比大小就能填空；3. 新知生成部分结合前面的实例探究，归纳总结等式的两条基本性质，根据探究得出的规律准确填写文字表述和字母表达式即可。
【解析】
探究1
等式具有对称性，两边交换位置后相等关系不变，因此如果$a=b$，那么$b=a$；
相等关系具有传递性，若两个量都和同一个量相等，则这两个量也相等，因此如果$a=b$，$b=c$，那么$a=c$。
探究2
分别计算左右两边的运算结果：
$6+2=8$，$6+2=8$，两边相等，填$=$；
$6-2=4$，$6-2=4$，两边相等，填$=$；
$6+(-2)=4$，$6+(-2)=4$，两边相等，填$=$；
$6×(-2)=-12$，$6×(-2)=-12$，两边相等，填$=$；
$6÷(-2)=-3$，$6÷(-2)=-3$，两边相等，填$=$。
新知生成
结合上述运算规律可归纳等式的两个性质：
（等式的性质1）等式两边加（或减）同一个数(或式子)，结果仍相等。用字母表示为：如果$a=b$，那么$a\pm c = b\pm c$。
（等式的性质2）等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。用字母表示为：如果$a=b$，那么$ac=bc$；如果$a=b$，$c≠0$，那么$\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}$。
【答案】
探究1：$\boldsymbol{b=a}$，$\boldsymbol{a=c}$
探究2：$\boldsymbol{=}$，$\boldsymbol{=}$，$\boldsymbol{=}$，$\boldsymbol{=}$，$\boldsymbol{=}$
新知生成：
等式的性质1：同一个数(或式子)，相等，$\boldsymbol{a\pm c = b\pm c}$
等式的性质2：同一个数，不为0的数，相等，$\boldsymbol{ac=bc}$，$\boldsymbol{\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}}$
【知识点】
1. 等式的基本事实
2. 等式的性质1
3. 等式的性质2
【点评】
本题属于基础概念探究类题目，通过从具体实例到抽象规律的推导过程，引导学生理解掌握等式的核心性质，是后续学习解方程的重要基础，难度较低，掌握相关基础概念即可顺利作答。
【难度系数】
0.85