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列代数式表示下列问题情境中的数量关系:
(1)温度由 $ t \ ℃ $ 下降 $ 5 \ ℃ $ 后是 $ \_\_\_\_\_\_ \ ℃ $;
(2)买一个篮球需要 $ x $ 元,买一个排球需要 $ y $ 元,买一个足球需要 $ z $ 元,那么买3个篮球、5个排球和2个足球共需要 ______ 元;
(3)如图是一所住宅的建筑平面图,这所住宅的建筑面积是 $ \_\_\_\_\_\_ \ m^2 $.
问题探究: 从运算的角度观察,上述情境中列出的3个式子与单项式有什么区别和联系?它们有什么共同特点?
新知生成: (1)几个 ______ 的 ______ 叫作多项式.其中,每个单项式叫作多项式的 ______,不含字母的项叫作常数项.
(2) ______ 与 ______ 统称整式.
(1)温度由 $ t \ ℃ $ 下降 $ 5 \ ℃ $ 后是 $ \_\_\_\_\_\_ \ ℃ $;
(2)买一个篮球需要 $ x $ 元,买一个排球需要 $ y $ 元,买一个足球需要 $ z $ 元,那么买3个篮球、5个排球和2个足球共需要 ______ 元;
(3)如图是一所住宅的建筑平面图,这所住宅的建筑面积是 $ \_\_\_\_\_\_ \ m^2 $.
问题探究: 从运算的角度观察,上述情境中列出的3个式子与单项式有什么区别和联系?它们有什么共同特点?
新知生成: (1)几个 ______ 的 ______ 叫作多项式.其中,每个单项式叫作多项式的 ______,不含字母的项叫作常数项.
(2) ______ 与 ______ 统称整式.
答案
解：这些式子除了含有乘法运算外，还含有加减运算；都可以看成几个单项式的和。
(1) 单项式 和 项
(2) 单项式 多项式
(1) 单项式 和 项
(2) 单项式 多项式
解析
【分析】
解题时分步骤思考即可：1. 列代数式部分：(1)温度下降对应减法运算，用原温度减去下降的温度就能得到结果；(2)总费用等于各类球的单价乘对应购买数量后相加；(3)建筑面积可以拆分为4个规则长方形的面积之和，分别计算每个区域的面积再相加、合并同类项即可。2. 概念部分：先回忆单项式的特征（仅含数与字母的乘积运算），对比所列三个式子的运算特征，再结合基础概念填写多项式、整式的相关定义即可。
【解析】
先完成3个列代数式的问题：
(1) 温度由$t\ ℃$下降$5\ ℃$，可列式为$t-5$，因此结果为$(t-5)\ ℃$；
(2) 3个篮球的费用为$3x$元，5个排球的费用为$5y$元，2个足球的费用为$2z$元，总费用为三者相加，即$(3x+5y+2z)$元；
(3) 分别计算四个区域的面积：
① 左上角长方形面积：$4× x=4x\ \mathrm{m}^2$
② 左下角正方形面积：$x× x=x^2\ \mathrm{m}^2$
③ 右上角长方形面积：$8×6=48\ \mathrm{m}^2$
④ 右下角长方形面积：$6×4=24\ \mathrm{m}^2$
总面积为四个区域面积之和：$x^2+4x+48+24=x^2+4x+72\ \mathrm{m}^2$。
再回答问题探究：单项式仅包含数与字母的乘法运算，所列的3个式子除乘法运算外，还包含加减运算；它们的共同特点是都可以看作几个单项式的和。
最后完成新知生成填空：根据相关定义，(1)几个单项式的和叫作多项式，其中每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项；(2)单项式与多项式统称整式。
【答案】
(1) $t-5$
(2) $3x+5y+2z$
(3) $x^2+4x+72$
问题探究：所列式子比单项式多了加减运算，都可表示为几个单项式的和；
新知生成：(1) 单项式，和，项；(2) 单项式，多项式
【知识点】
列代数式，多项式的定义，整式的定义
【点评】
本题结合实际场景考查代数式的列写和整式相关基础概念，需要掌握实际问题中数量关系的转化方法，牢记多项式和整式的定义，是整式章节的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时分步骤思考即可：1. 列代数式部分：(1)温度下降对应减法运算，用原温度减去下降的温度就能得到结果；(2)总费用等于各类球的单价乘对应购买数量后相加；(3)建筑面积可以拆分为4个规则长方形的面积之和，分别计算每个区域的面积再相加、合并同类项即可。2. 概念部分：先回忆单项式的特征（仅含数与字母的乘积运算），对比所列三个式子的运算特征，再结合基础概念填写多项式、整式的相关定义即可。
【解析】
先完成3个列代数式的问题：
(1) 温度由$t\ ℃$下降$5\ ℃$，可列式为$t-5$，因此结果为$(t-5)\ ℃$；
(2) 3个篮球的费用为$3x$元，5个排球的费用为$5y$元，2个足球的费用为$2z$元，总费用为三者相加，即$(3x+5y+2z)$元；
(3) 分别计算四个区域的面积：
① 左上角长方形面积：$4× x=4x\ \mathrm{m}^2$
② 左下角正方形面积：$x× x=x^2\ \mathrm{m}^2$
③ 右上角长方形面积：$8×6=48\ \mathrm{m}^2$
④ 右下角长方形面积：$6×4=24\ \mathrm{m}^2$
总面积为四个区域面积之和：$x^2+4x+48+24=x^2+4x+72\ \mathrm{m}^2$。
再回答问题探究：单项式仅包含数与字母的乘法运算，所列的3个式子除乘法运算外，还包含加减运算；它们的共同特点是都可以看作几个单项式的和。
最后完成新知生成填空：根据相关定义，(1)几个单项式的和叫作多项式，其中每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项；(2)单项式与多项式统称整式。
【答案】
(1) $t-5$
(2) $3x+5y+2z$
(3) $x^2+4x+72$
问题探究：所列式子比单项式多了加减运算，都可表示为几个单项式的和；
新知生成：(1) 单项式，和，项；(2) 单项式，多项式
【知识点】
列代数式，多项式的定义，整式的定义
【点评】
本题结合实际场景考查代数式的列写和整式相关基础概念，需要掌握实际问题中数量关系的转化方法，牢记多项式和整式的定义，是整式章节的基础题型。
【难度系数】
0.8
在代数式$2xy$，$-\dfrac{x}{3}$，$8y^2$，$\dfrac{1}{xy}$，$x+2y$中，
整式共有 （
A.5个
B.4个
C.6个
D.3个
整式共有 （
B
）A.5个
B.4个
C.6个
D.3个
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆整式的相关概念：单项式和多项式统称为整式，其中单项式是数或字母的乘积，多项式是几个单项式的和，特别注意：如果代数式的分母中出现字母，那么这个代数式就不是整式。接下来我们逐个判断给出的代数式是否属于整式，统计整式的个数就能选出正确选项。
【解析】
我们按照整式的判定标准逐个分析给出的代数式：
1. $2xy$：是数与字母的乘积，属于单项式，是整式；
2. $-\dfrac{x}{3}$：是常数$-\dfrac{1}{3}$与字母$x$的乘积，属于单项式，是整式；
3. $8y^2$：是数与字母乘方的乘积，属于单项式，是整式；
4. $\dfrac{1}{xy}$：分母中含有字母$x$和$y$，不符合整式的要求，不属于整式；
5. $x+2y$：是两个单项式的和，属于多项式，是整式。
综上，符合要求的整式共有4个。
【答案】
B
【知识点】
整式的概念、单项式、多项式
【点评】
本题是整式概念的基础考查题，解题关键是牢记整式的判定规则，尤其要注意区分分母含字母的代数式不属于整式，避免出现误判。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆整式的相关概念：单项式和多项式统称为整式，其中单项式是数或字母的乘积，多项式是几个单项式的和，特别注意：如果代数式的分母中出现字母，那么这个代数式就不是整式。接下来我们逐个判断给出的代数式是否属于整式，统计整式的个数就能选出正确选项。
【解析】
我们按照整式的判定标准逐个分析给出的代数式：
1. $2xy$：是数与字母的乘积，属于单项式，是整式；
2. $-\dfrac{x}{3}$：是常数$-\dfrac{1}{3}$与字母$x$的乘积，属于单项式，是整式；
3. $8y^2$：是数与字母乘方的乘积，属于单项式，是整式；
4. $\dfrac{1}{xy}$：分母中含有字母$x$和$y$，不符合整式的要求，不属于整式；
5. $x+2y$：是两个单项式的和，属于多项式，是整式。
综上，符合要求的整式共有4个。
【答案】
B
【知识点】
整式的概念、单项式、多项式
【点评】
本题是整式概念的基础考查题，解题关键是牢记整式的判定规则，尤其要注意区分分母含字母的代数式不属于整式，避免出现误判。
【难度系数】
0.8
回顾复习：回顾上节课所学的单项式的系数和次数，完成下列填空.
(1)单项式－5y 的系数是
(2)单项式$\frac{3ab}{2}$的系数是
(3)若$5x^2yz$与$-15xzy^n$是同次单项式，则$n=$
类比探究：用多项式填空，并指出它们的项和次数.
(1)一个长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则这个长方体的表面积为
(2)a与b的平方差为
(3)如图，根据图中标注的数据，用代数式表示图形中阴影部分的面积为
(4)一个三位数的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，则这个三位数可以表示为
新知生成：多项式里，
(1)单项式－5y 的系数是
-5
，次数是1
；(2)单项式$\frac{3ab}{2}$的系数是
$\frac{3}{2}$
，次数是2
；(3)若$5x^2yz$与$-15xzy^n$是同次单项式，则$n=$
2
.类比探究：用多项式填空，并指出它们的项和次数.
(1)一个长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则这个长方体的表面积为
$2ab+2ac+2bc$
；(2)a与b的平方差为
$a^2-b^2$
；(3)如图，根据图中标注的数据，用代数式表示图形中阴影部分的面积为
$3a-m^2$
；(4)一个三位数的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，则这个三位数可以表示为
$100z+10y+x$
.新知生成：多项式里，
次数最高
的项的次数，叫作这个多项式的次数.答案
(1) -5 1
(2) $\frac{3}{2}$ 2
(3) 2
(1) $2ab+2ac+2bc$
(2) $a^2-b^2$
(3) $3a-m^2$
(4) $100z+10y+x$
指出项和次数略。
次数最高
(2) $\frac{3}{2}$ 2
(3) 2
(1) $2ab+2ac+2bc$
(2) $a^2-b^2$
(3) $3a-m^2$
(4) $100z+10y+x$
指出项和次数略。
次数最高
解析
【分析】
本题分为三个模块，解题思路如下：
1. 回顾复习模块考查单项式的相关概念：单项式的系数是单项式中的数字因数，次数是所有字母的指数之和，同次单项式的次数相等，依据这些定义即可求解对应小题。
2. 类比探究模块考查列代数式，需结合对应场景的数量关系列式：长方体表面积是6个面的面积和，平方差是两个数先平方再求差，阴影面积用整体减空白的思路计算，三位数需结合数位的计数单位表示。
3. 新知生成模块直接考查多项式次数的定义，记忆相关概念即可作答。
【解析】
回顾复习
(1) 单项式$-5y$的数字因数是$-5$，因此系数为$-5$；仅含字母$y$，指数为1，因此次数为1。
(2) 单项式$\frac{3ab}{2}$可变形为$\frac{3}{2}ab$，数字因数是$\frac{3}{2}$，因此系数为$\frac{3}{2}$；字母$a$和$b$的指数均为1，指数和为$1+1=2$，因此次数为2。
(3) 先计算$5x^2yz$的次数：$2+1+1=4$；$-15xzy^n$的次数为$1+1+n=2+n$，二者为同次单项式，因此$2+n=4$，解得$n=2$。
类比探究
(1) 长方体相对的面面积相等，6个面的面积和为$2ab+2ac+2bc$，即表面积为$2ab+2ac+2bc$。
(2) $a$的平方为$a^2$，$b$的平方为$b^2$，二者的差为$a^2-b^2$。
(3) 阴影面积=大长方形面积-空白小正方形面积，大长方形面积为$3a$，小正方形面积为$m^2$，因此阴影面积为$3a-m^2$。
(4) 百位数字$z$对应$100z$，十位数字$y$对应$10y$，个位数字$x$对应$x$，因此三位数为$100z+10y+x$。
（各多项式的项和次数可依据定义自行判断，此处略）
新知生成
根据多项式次数的定义：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。
【答案】
回顾复习：
(1) $-5$，$1$
(2) $\frac{3}{2}$，$2$
(3) $2$
类比探究：
(1) $2ab+2ac+2bc$
(2) $a^2-b^2$
(3) $3a-m^2$
(4) $100z+10y+x$
（指出项和次数略）
新知生成：次数最高
【知识点】
单项式的概念，列代数式，多项式的概念
【点评】
本题是整式章节的基础训练题，侧重考查对单项式、多项式核心概念的理解，以及运用数量关系列代数式的能力，概念清晰、掌握常见场景的数量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
本题分为三个模块，解题思路如下：
1. 回顾复习模块考查单项式的相关概念：单项式的系数是单项式中的数字因数，次数是所有字母的指数之和，同次单项式的次数相等，依据这些定义即可求解对应小题。
2. 类比探究模块考查列代数式，需结合对应场景的数量关系列式：长方体表面积是6个面的面积和，平方差是两个数先平方再求差，阴影面积用整体减空白的思路计算，三位数需结合数位的计数单位表示。
3. 新知生成模块直接考查多项式次数的定义，记忆相关概念即可作答。
【解析】
回顾复习
(1) 单项式$-5y$的数字因数是$-5$，因此系数为$-5$；仅含字母$y$，指数为1，因此次数为1。
(2) 单项式$\frac{3ab}{2}$可变形为$\frac{3}{2}ab$，数字因数是$\frac{3}{2}$，因此系数为$\frac{3}{2}$；字母$a$和$b$的指数均为1，指数和为$1+1=2$，因此次数为2。
(3) 先计算$5x^2yz$的次数：$2+1+1=4$；$-15xzy^n$的次数为$1+1+n=2+n$，二者为同次单项式，因此$2+n=4$，解得$n=2$。
类比探究
(1) 长方体相对的面面积相等，6个面的面积和为$2ab+2ac+2bc$，即表面积为$2ab+2ac+2bc$。
(2) $a$的平方为$a^2$，$b$的平方为$b^2$，二者的差为$a^2-b^2$。
(3) 阴影面积=大长方形面积-空白小正方形面积，大长方形面积为$3a$，小正方形面积为$m^2$，因此阴影面积为$3a-m^2$。
(4) 百位数字$z$对应$100z$，十位数字$y$对应$10y$，个位数字$x$对应$x$，因此三位数为$100z+10y+x$。
（各多项式的项和次数可依据定义自行判断，此处略）
新知生成
根据多项式次数的定义：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。
【答案】
回顾复习：
(1) $-5$，$1$
(2) $\frac{3}{2}$，$2$
(3) $2$
类比探究：
(1) $2ab+2ac+2bc$
(2) $a^2-b^2$
(3) $3a-m^2$
(4) $100z+10y+x$
（指出项和次数略）
新知生成：次数最高
【知识点】
单项式的概念，列代数式，多项式的概念
【点评】
本题是整式章节的基础训练题，侧重考查对单项式、多项式核心概念的理解，以及运用数量关系列代数式的能力，概念清晰、掌握常见场景的数量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
