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10. 阅读下列素材：
结合上述素材，完成以下问题：
【模型理解】
(1)设$\overline{xyz}$是一个三位数，$\overline{xyzxyz}$是一个六位数，则$\overline{xyz}×13×77=\overline{xyzxyz}$，请说明理由；
(2)设$\overline{xyz}$是一个三位数，$\overline{n001}$是一个四位数，则$\overline{xyz}×\overline{n001}$被1000除的余数为$\overline{xyz}$，请说明理由；
【初步应用】
(3)若公钥$a$为69，设计匹配的私钥$b$；
【解决问题】
(4)请再设计一对匹配的钥匙：(，)。
结合上述素材，完成以下问题：
【模型理解】
(1)设$\overline{xyz}$是一个三位数，$\overline{xyzxyz}$是一个六位数，则$\overline{xyz}×13×77=\overline{xyzxyz}$，请说明理由；
(2)设$\overline{xyz}$是一个三位数，$\overline{n001}$是一个四位数，则$\overline{xyz}×\overline{n001}$被1000除的余数为$\overline{xyz}$，请说明理由；
【初步应用】
(3)若公钥$a$为69，设计匹配的私钥$b$；
【解决问题】
(4)请再设计一对匹配的钥匙：(，)。
答案
解：
(1) 因为$13×77=1001$，设$\overline{xyz}=m$（$m$是三位数），
则$\overline{xyz}×13×77 = m×1001 = 1000m + m$，
$1000m$是将三位数$m$末尾补3个0得到的数，加上$m$后得到的六位数恰好是将$m$重复排列，即$\overline{xyzxyz}$，
因此$\overline{xyz}×13×77=\overline{xyzxyz}$。
(2) 设$\overline{xyz}=m$，由数的表示规则得$\overline{n001}=1000n + 1$，
则$\overline{xyz}×\overline{n001}=m×(1000n+1)=1000mn + m$，
其中$1000mn$是1000的整数倍，除以1000余数为0，因此$1000mn + m$除以1000的余数就是$m$，即$\overline{xyz}$，
因此$\overline{xyz}×\overline{n001}$被1000除的余数为$\overline{xyz}$。
(3) 由解密规则可知，需要找到两位数正整数$b$，使得$a× b$的形式为$\overline{n001}$，
代入$a=69$，计算得$69×29=2001$，29是两位数正整数，符合要求，
因此匹配的私钥$b$为29。
(4) 11，91（答案不唯一，合理即可）
(1) 因为$13×77=1001$，设$\overline{xyz}=m$（$m$是三位数），
则$\overline{xyz}×13×77 = m×1001 = 1000m + m$，
$1000m$是将三位数$m$末尾补3个0得到的数，加上$m$后得到的六位数恰好是将$m$重复排列，即$\overline{xyzxyz}$，
因此$\overline{xyz}×13×77=\overline{xyzxyz}$。
(2) 设$\overline{xyz}=m$，由数的表示规则得$\overline{n001}=1000n + 1$，
则$\overline{xyz}×\overline{n001}=m×(1000n+1)=1000mn + m$，
其中$1000mn$是1000的整数倍，除以1000余数为0，因此$1000mn + m$除以1000的余数就是$m$，即$\overline{xyz}$，
因此$\overline{xyz}×\overline{n001}$被1000除的余数为$\overline{xyz}$。
(3) 由解密规则可知，需要找到两位数正整数$b$，使得$a× b$的形式为$\overline{n001}$，
代入$a=69$，计算得$69×29=2001$，29是两位数正整数，符合要求，
因此匹配的私钥$b$为29。
(4) 11，91（答案不唯一，合理即可）
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 第(1)问：先计算13与77的乘积，结合素材2中数乘1001的规律，设三位数为m，通过整式乘法展开m×1001，即可验证得到的六位数是原三位数重复排列的结果。
2. 第(2)问：先根据数位的意义把四位数$\overline{n001}$改写为1000n+1的形式，再乘三位数m，展开后可知1000mn是1000的倍数，因此乘积除以1000的余数就是原三位数。
3. 第(3)问：根据解密规则，要让明文加密再解密后不变，需满足a×b的形式为$\overline{n001}$（即a×b=1000n+1，n为正整数），已知a=69，寻找符合要求的两位数b即可。
4. 第(4)问：只要找到两个两位数，乘积为1000的倍数加1即可。
【解析】
(1) 计算得$13×77=1001$，设三位数$\overline{xyz}=m$（$m$为正整数），则：
$\overline{xyz}×13×77 = m×1001 = m×(1000+1) = 1000m + m$
1000m是将m末尾补3个0得到的数，加上m后得到的六位数就是将m重复排列得到的$\overline{xyzxyz}$，因此$\overline{xyz}×13×77=\overline{xyzxyz}$。
(2) 设$\overline{xyz}=m$（$m$为正整数），根据数的表示规则，四位数$\overline{n001}=1000n + 1$（$n$为正整数），则：
$\overline{xyz}×\overline{n001}=m×(1000n+1)=1000mn + m$
其中1000mn是1000的整数倍，除以1000余数为0，因此整个式子除以1000的余数为$m$，即$\overline{xyz}$，因此$\overline{xyz}×\overline{n001}$被1000除的余数为$\overline{xyz}$。
(3) 根据加密解密规则，要使解密后得到原明文，需满足$a×b=1000n +1$（$n$为正整数），已知公钥$a=69$，寻找两位数正整数$b$：
计算得$69×29=2001=1000×2 +1$，符合要求，因此匹配的私钥$b$为29。
(4) 只需找两个两位数，乘积为1000的倍数加1即可，例如$11×91=1001=1000×1 +1$，符合要求。
【答案】
(1) 理由见解析；
(2) 理由见解析；
(3) $\boxed{29}$；
(4) $\boxed{11}$，$\boxed{91}$（答案不唯一）
【知识点】
有理数乘法运算，数的表示，整除与余数
【点评】
本题结合非对称加密的实际场景，考查对数字规律的提取和有理数运算的应用，需要读懂材料中的运算规则，将实际加密问题转化为数学代数运算问题，侧重考查信息提取能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 第(1)问：先计算13与77的乘积，结合素材2中数乘1001的规律，设三位数为m，通过整式乘法展开m×1001，即可验证得到的六位数是原三位数重复排列的结果。
2. 第(2)问：先根据数位的意义把四位数$\overline{n001}$改写为1000n+1的形式，再乘三位数m，展开后可知1000mn是1000的倍数，因此乘积除以1000的余数就是原三位数。
3. 第(3)问：根据解密规则，要让明文加密再解密后不变，需满足a×b的形式为$\overline{n001}$（即a×b=1000n+1，n为正整数），已知a=69，寻找符合要求的两位数b即可。
4. 第(4)问：只要找到两个两位数，乘积为1000的倍数加1即可。
【解析】
(1) 计算得$13×77=1001$，设三位数$\overline{xyz}=m$（$m$为正整数），则：
$\overline{xyz}×13×77 = m×1001 = m×(1000+1) = 1000m + m$
1000m是将m末尾补3个0得到的数，加上m后得到的六位数就是将m重复排列得到的$\overline{xyzxyz}$，因此$\overline{xyz}×13×77=\overline{xyzxyz}$。
(2) 设$\overline{xyz}=m$（$m$为正整数），根据数的表示规则，四位数$\overline{n001}=1000n + 1$（$n$为正整数），则：
$\overline{xyz}×\overline{n001}=m×(1000n+1)=1000mn + m$
其中1000mn是1000的整数倍，除以1000余数为0，因此整个式子除以1000的余数为$m$，即$\overline{xyz}$，因此$\overline{xyz}×\overline{n001}$被1000除的余数为$\overline{xyz}$。
(3) 根据加密解密规则，要使解密后得到原明文，需满足$a×b=1000n +1$（$n$为正整数），已知公钥$a=69$，寻找两位数正整数$b$：
计算得$69×29=2001=1000×2 +1$，符合要求，因此匹配的私钥$b$为29。
(4) 只需找两个两位数，乘积为1000的倍数加1即可，例如$11×91=1001=1000×1 +1$，符合要求。
【答案】
(1) 理由见解析；
(2) 理由见解析；
(3) $\boxed{29}$；
(4) $\boxed{11}$，$\boxed{91}$（答案不唯一）
【知识点】
有理数乘法运算，数的表示，整除与余数
【点评】
本题结合非对称加密的实际场景，考查对数字规律的提取和有理数运算的应用，需要读懂材料中的运算规则，将实际加密问题转化为数学代数运算问题，侧重考查信息提取能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
