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1. 先
因式分解
，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0
，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.答案
1. 因式分解 0
解析
【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程的定义，我们可以结合该方法的解题逻辑推导思路：要将二次方程降次为一次方程，核心是利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，因此第一步需要先把方程变形为两个一次式相乘等于0的形式，这个变形操作就是因式分解，之后再让两个一次式分别等于0，就能得到两个一元一次方程，实现降次，结合这个逻辑即可填出对应空缺。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的定义：先对一元二次方程进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”的性质，使这两个一次式分别等于0，从而将二次方程转化为一次方程求解，实现降次。因此两个空缺依次填写因式分解、0。
【答案】
因式分解 0
【知识点】
因式分解法、降次思想、等式性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对因式分解法解一元二次方程步骤的记忆，熟练掌握解一元二次方程各类方法的定义和步骤是解答这类题的关键，该知识点是后续解复杂一元二次方程的基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解法解一元二次方程的定义，我们可以结合该方法的解题逻辑推导思路：要将二次方程降次为一次方程，核心是利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，因此第一步需要先把方程变形为两个一次式相乘等于0的形式，这个变形操作就是因式分解，之后再让两个一次式分别等于0，就能得到两个一元一次方程，实现降次，结合这个逻辑即可填出对应空缺。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的定义：先对一元二次方程进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”的性质，使这两个一次式分别等于0，从而将二次方程转化为一次方程求解，实现降次。因此两个空缺依次填写因式分解、0。
【答案】
因式分解 0
【知识点】
因式分解法、降次思想、等式性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对因式分解法解一元二次方程步骤的记忆，熟练掌握解一元二次方程各类方法的定义和步骤是解答这类题的关键，该知识点是后续解复杂一元二次方程的基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9
2.【例1】用因式分解法解下列方程：
(1)$x^2 - 3x = 0$；
(2)$3(x + 1) = 2x(x + 1)$。
3.用因式分解法解下列方程：
(1)$4x^2 = 2x$；
(2)$(x - 2)^2 = 3(2 - x)$。
(1)$x^2 - 3x = 0$；
(2)$3(x + 1) = 2x(x + 1)$。
3.用因式分解法解下列方程：
(1)$4x^2 = 2x$；
(2)$(x - 2)^2 = 3(2 - x)$。
答案
2. (1) 解:因式分解,得 $x(x - 3) = 0$.
$\therefore x = 0$,或 $x - 3 = 0. \therefore x_1 = 0,x_2 = 3$.
(2) 解:移项,得 $3(x + 1) - 2x(x + 1) = 0$.
因式分解,得 $(x + 1)(3 - 2x) = 0$.
$\therefore x + 1 = 0$,或 $3 - 2x = 0$.
$\therefore x_1 = -1,x_2 = \frac{3}{2}$.
3. (1) 解:移项,得 $4x^2 - 2x = 0$.
因式分解,得 $2x(2x - 1) = 0$.
$\therefore 2x = 0$,或 $2x - 1 = 0. \therefore x_1 = 0,x_2 = \frac{1}{2}$.
(2) 解:移项、变符号,得 $(x - 2)^2 + 3(x - 2) = 0$.
因式分解,得 $(x - 2)(x - 2 + 3) = 0$,
即 $(x - 2)(x + 1) = 0$.
$\therefore x - 2 = 0$,或 $x + 1 = 0. \therefore x_1 = 2,x_2 = -1$.
$\therefore x = 0$,或 $x - 3 = 0. \therefore x_1 = 0,x_2 = 3$.
(2) 解:移项,得 $3(x + 1) - 2x(x + 1) = 0$.
因式分解,得 $(x + 1)(3 - 2x) = 0$.
$\therefore x + 1 = 0$,或 $3 - 2x = 0$.
$\therefore x_1 = -1,x_2 = \frac{3}{2}$.
3. (1) 解:移项,得 $4x^2 - 2x = 0$.
因式分解,得 $2x(2x - 1) = 0$.
$\therefore 2x = 0$,或 $2x - 1 = 0. \therefore x_1 = 0,x_2 = \frac{1}{2}$.
(2) 解:移项、变符号,得 $(x - 2)^2 + 3(x - 2) = 0$.
因式分解,得 $(x - 2)(x - 2 + 3) = 0$,
即 $(x - 2)(x + 1) = 0$.
$\therefore x - 2 = 0$,或 $x + 1 = 0. \therefore x_1 = 2,x_2 = -1$.
解析
【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是“降次”，即通过因式分解将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，具体思考步骤如下：1.先将方程整理为右边等于0的形式，注意不能直接约去含有未知数的公因式，否则会漏根；2.观察方程左边的代数式，用提公因式法将其分解为两个一次因式的乘积；3.根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，分别令两个因式等于0，得到两个一元一次方程；4.求解两个一元一次方程，所得的解就是原一元二次方程的解。
【解析】
2. 用因式分解法解下列方程
(1) $x^2 - 3x = 0$
解：对左边提公因式因式分解，得 $x(x - 3) = 0$
$\therefore x = 0$，或 $x - 3 = 0$
解得 $x_1 = 0, x_2 = 3$
(2) $3(x + 1) = 2x(x + 1)$
解：移项，使方程右边为0，得 $3(x + 1) - 2x(x + 1) = 0$
对左边提公因式$(x+1)$因式分解，得 $(x + 1)(3 - 2x) = 0$
$\therefore x + 1 = 0$，或 $3 - 2x = 0$
解得 $x_1 = -1, x_2 = \frac{3}{2}$
3. 用因式分解法解下列方程
(1) $4x^2 = 2x$
解：移项，使方程右边为0，得 $4x^2 - 2x = 0$
对左边提公因式$2x$因式分解，得 $2x(2x - 1) = 0$
$\therefore 2x = 0$，或 $2x - 1 = 0$
解得 $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{2}$
(2) $(x - 2)^2 = 3(2 - x)$
解：移项并将右边变形统一公因式，得 $(x - 2)^2 + 3(x - 2) = 0$
对左边提公因式$(x-2)$因式分解，得 $(x - 2)(x - 2 + 3) = 0$，即 $(x - 2)(x + 1) = 0$
$\therefore x - 2 = 0$，或 $x + 1 = 0$
解得 $x_1 = 2, x_2 = -1$
【答案】
2.(1) $x_1=0,x_2=3$；(2) $x_1=-1,x_2=\frac{3}{2}$
3.(1) $x_1=0,x_2=\frac{1}{2}$；(2) $x_1=2,x_2=-1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解、一元一次方程求解
【点评】
这组题目是因式分解法解一元二次方程的基础题型，主要考查提公因式法的应用，解题时需注意不可随意约去含未知数的整式，避免出现漏根的错误，掌握该类题型的解法是求解复杂一元二次方程的重要基础。
【难度系数】
0.8
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是“降次”，即通过因式分解将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，具体思考步骤如下：1.先将方程整理为右边等于0的形式，注意不能直接约去含有未知数的公因式，否则会漏根；2.观察方程左边的代数式，用提公因式法将其分解为两个一次因式的乘积；3.根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，分别令两个因式等于0，得到两个一元一次方程；4.求解两个一元一次方程，所得的解就是原一元二次方程的解。
【解析】
2. 用因式分解法解下列方程
(1) $x^2 - 3x = 0$
解：对左边提公因式因式分解，得 $x(x - 3) = 0$
$\therefore x = 0$，或 $x - 3 = 0$
解得 $x_1 = 0, x_2 = 3$
(2) $3(x + 1) = 2x(x + 1)$
解：移项，使方程右边为0，得 $3(x + 1) - 2x(x + 1) = 0$
对左边提公因式$(x+1)$因式分解，得 $(x + 1)(3 - 2x) = 0$
$\therefore x + 1 = 0$，或 $3 - 2x = 0$
解得 $x_1 = -1, x_2 = \frac{3}{2}$
3. 用因式分解法解下列方程
(1) $4x^2 = 2x$
解：移项，使方程右边为0，得 $4x^2 - 2x = 0$
对左边提公因式$2x$因式分解，得 $2x(2x - 1) = 0$
$\therefore 2x = 0$，或 $2x - 1 = 0$
解得 $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{2}$
(2) $(x - 2)^2 = 3(2 - x)$
解：移项并将右边变形统一公因式，得 $(x - 2)^2 + 3(x - 2) = 0$
对左边提公因式$(x-2)$因式分解，得 $(x - 2)(x - 2 + 3) = 0$，即 $(x - 2)(x + 1) = 0$
$\therefore x - 2 = 0$，或 $x + 1 = 0$
解得 $x_1 = 2, x_2 = -1$
【答案】
2.(1) $x_1=0,x_2=3$；(2) $x_1=-1,x_2=\frac{3}{2}$
3.(1) $x_1=0,x_2=\frac{1}{2}$；(2) $x_1=2,x_2=-1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解、一元一次方程求解
【点评】
这组题目是因式分解法解一元二次方程的基础题型，主要考查提公因式法的应用，解题时需注意不可随意约去含未知数的整式，避免出现漏根的错误，掌握该类题型的解法是求解复杂一元二次方程的重要基础。
【难度系数】
0.8
4.【例2】用因式分解法解下列方程：
(1)$(2x - 2)^2 - x^2 = 0$；
(2)$4x^2 + 4x + 1 = 0$。
5.用因式分解法解下列方程：
(1)$(3y - 1)^2 = (y - 2)^2$；
(2)$9x^2 + 25 = 30x$。
(1)$(2x - 2)^2 - x^2 = 0$；
(2)$4x^2 + 4x + 1 = 0$。
5.用因式分解法解下列方程：
(1)$(3y - 1)^2 = (y - 2)^2$；
(2)$9x^2 + 25 = 30x$。
答案
4. (1) 解:因式分解,得 $(2x - 2 - x)(2x - 2 + x) = 0$,
即 $(x - 2)(3x - 2) = 0$.
$\therefore x - 2 = 0$,或 $3x - 2 = 0. \therefore x_1 = 2,x_2 = \frac{2}{3}$.
(2) 解:因式分解,得 $(2x + 1)^2 = 0$.
$\therefore 2x + 1 = 0. \therefore x_1 = x_2 = -\frac{1}{2}$.
5. (1) 解:移项,得 $(3y - 1)^2 - (y - 2)^2 = 0$.
因式分解,得 $(3y - 1 + y - 2)[(3y - 1) - (y - 2)] = 0$,
即 $(4y - 3)(2y + 1) = 0$.
$\therefore 4y - 3 = 0$,或 $2y + 1 = 0. \therefore y_1 = \frac{3}{4},y_2 = -\frac{1}{2}$.
(2) 解:移项,得 $9x^2 - 30x + 25 = 0$.
因式分解,得 $(3x - 5)^2 = 0$.
$\therefore 3x - 5 = 0. \therefore x_1 = x_2 = \frac{5}{3}$.
即 $(x - 2)(3x - 2) = 0$.
$\therefore x - 2 = 0$,或 $3x - 2 = 0. \therefore x_1 = 2,x_2 = \frac{2}{3}$.
(2) 解:因式分解,得 $(2x + 1)^2 = 0$.
$\therefore 2x + 1 = 0. \therefore x_1 = x_2 = -\frac{1}{2}$.
5. (1) 解:移项,得 $(3y - 1)^2 - (y - 2)^2 = 0$.
因式分解,得 $(3y - 1 + y - 2)[(3y - 1) - (y - 2)] = 0$,
即 $(4y - 3)(2y + 1) = 0$.
$\therefore 4y - 3 = 0$,或 $2y + 1 = 0. \therefore y_1 = \frac{3}{4},y_2 = -\frac{1}{2}$.
(2) 解:移项,得 $9x^2 - 30x + 25 = 0$.
因式分解,得 $(3x - 5)^2 = 0$.
$\therefore 3x - 5 = 0. \therefore x_1 = x_2 = \frac{5}{3}$.
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是“降次”，即把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，通用步骤为：①将方程整理为右边为0的形式；②把方程左边的多项式分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，所得解即为原方程的解。解题时需根据多项式的结构选择因式分解的方法：若方程是两式平方相减等于0的形式，选用平方差公式分解；若方程左边是完全平方式，选用完全平方公式分解。
【解析】
4.(1) 方程左边符合平方差结构，直接因式分解，得：
$(2x - 2 - x)(2x - 2 + x) = 0$
化简得：$(x - 2)(3x - 2) = 0$
$\therefore x - 2 = 0$，或 $3x - 2 = 0$
解得对应根。
(2) 方程左边是完全平方式，因式分解得：
$(2x + 1)^2 = 0$
$\therefore 2x + 1 = 0$
解得对应重根。
5.(1) 先移项，将右边化为0，得：
$(3y - 1)^2 - (y - 2)^2 = 0$
用平方差公式因式分解，得：
$(3y - 1 + y - 2)[(3y - 1) - (y - 2)] = 0$
化简得：$(4y - 3)(2y + 1) = 0$
$\therefore 4y - 3 = 0$，或 $2y + 1 = 0$
解得对应根。
(2) 先移项，将右边化为0，整理得：
$9x^2 - 30x + 25 = 0$
左边是完全平方式，因式分解得：
$(3x - 5)^2 = 0$
$\therefore 3x - 5 = 0$
解得对应重根。
【答案】
4.(1) $x_1 = 2,x_2 = \frac{2}{3}$；(2) $x_1 = x_2 = -\frac{1}{2}$
5.(1) $y_1 = \frac{3}{4},y_2 = -\frac{1}{2}$；(2) $x_1 = x_2 = \frac{5}{3}$
【知识点】
因式分解法解方程，平方差公式，完全平方公式
【点评】
这组题目是因式分解法解一元二次方程的基础题型，主要考查对平方差、完全平方公式的灵活运用，解题时需先将方程整理为右边为0的形式，再根据左边多项式的特征选择合适的因式分解方法，掌握“降次”的核心思路即可快速解题，属于一元二次方程解法中必须熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是“降次”，即把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，通用步骤为：①将方程整理为右边为0的形式；②把方程左边的多项式分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，所得解即为原方程的解。解题时需根据多项式的结构选择因式分解的方法：若方程是两式平方相减等于0的形式，选用平方差公式分解；若方程左边是完全平方式，选用完全平方公式分解。
【解析】
4.(1) 方程左边符合平方差结构，直接因式分解，得：
$(2x - 2 - x)(2x - 2 + x) = 0$
化简得：$(x - 2)(3x - 2) = 0$
$\therefore x - 2 = 0$，或 $3x - 2 = 0$
解得对应根。
(2) 方程左边是完全平方式，因式分解得：
$(2x + 1)^2 = 0$
$\therefore 2x + 1 = 0$
解得对应重根。
5.(1) 先移项，将右边化为0，得：
$(3y - 1)^2 - (y - 2)^2 = 0$
用平方差公式因式分解，得：
$(3y - 1 + y - 2)[(3y - 1) - (y - 2)] = 0$
化简得：$(4y - 3)(2y + 1) = 0$
$\therefore 4y - 3 = 0$，或 $2y + 1 = 0$
解得对应根。
(2) 先移项，将右边化为0，整理得：
$9x^2 - 30x + 25 = 0$
左边是完全平方式，因式分解得：
$(3x - 5)^2 = 0$
$\therefore 3x - 5 = 0$
解得对应重根。
【答案】
4.(1) $x_1 = 2,x_2 = \frac{2}{3}$；(2) $x_1 = x_2 = -\frac{1}{2}$
5.(1) $y_1 = \frac{3}{4},y_2 = -\frac{1}{2}$；(2) $x_1 = x_2 = \frac{5}{3}$
【知识点】
因式分解法解方程，平方差公式，完全平方公式
【点评】
这组题目是因式分解法解一元二次方程的基础题型，主要考查对平方差、完全平方公式的灵活运用，解题时需先将方程整理为右边为0的形式，再根据左边多项式的特征选择合适的因式分解方法，掌握“降次”的核心思路即可快速解题，属于一元二次方程解法中必须熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
