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三、解答题
9. 如图，正五边形ABCDE内接于$\odot O$，P为$\overset{\frown}{DE}$上的一点（点P与点D不重合），求$∠ CPD$的度数.
9. 如图，正五边形ABCDE内接于$\odot O$，P为$\overset{\frown}{DE}$上的一点（点P与点D不重合），求$∠ CPD$的度数.
答案
9. 解:如图,连接 OC,OD.
∵ 正五边形 ABCDE 内接于⊙O,
∴ ∠COD = $\frac{360°}{5}$ =72°.
∴ ∠CPD = $\frac{1}{2}$∠COD =36°.
解析
【分析】
要求∠CPD的度数，首先判断∠CPD是$\odot O$中$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，因此我们只需要求出$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角即可。已知ABCDE是圆内接正五边形，正多边形的各中心角相等，且中心角总和为360°，可以先计算出$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角∠COD的度数，因此先作辅助线连接OC、OD，再结合圆周角定理即可求解。
【解析】
1. 作辅助线：连接OC、OD，构造$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角∠COD。
2. 计算中心角：正五边形ABCDE内接于$\odot O$，正五边形的5个中心角大小相等，且所有中心角之和为360°，因此$∠ COD=\frac{360°}{5}=72°$。
3. 计算圆周角：$∠ CPD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，$∠ COD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此$∠ CPD=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×72°=36°$。
【答案】
解:如图,连接 OC,OD.
∵ 正五边形 ABCDE 内接于⊙O,
∴ ∠COD = $\frac{360°}{5}$ =72°.
∴ ∠CPD = $\frac{1}{2}$∠COD =36°.
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理，中心角计算
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是熟练掌握正多边形中心角的计算方法和圆周角定理，通过构造圆心角建立与所求圆周角的数量关系即可快速求解，是圆相关基础知识点的典型应用题型。
【难度系数】
0.85
要求∠CPD的度数，首先判断∠CPD是$\odot O$中$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，因此我们只需要求出$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角即可。已知ABCDE是圆内接正五边形，正多边形的各中心角相等，且中心角总和为360°，可以先计算出$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角∠COD的度数，因此先作辅助线连接OC、OD，再结合圆周角定理即可求解。
【解析】
1. 作辅助线：连接OC、OD，构造$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角∠COD。
2. 计算中心角：正五边形ABCDE内接于$\odot O$，正五边形的5个中心角大小相等，且所有中心角之和为360°，因此$∠ COD=\frac{360°}{5}=72°$。
3. 计算圆周角：$∠ CPD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，$∠ COD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此$∠ CPD=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×72°=36°$。
【答案】
解:如图,连接 OC,OD.
∵ 正五边形 ABCDE 内接于⊙O,
∴ ∠COD = $\frac{360°}{5}$ =72°.
∴ ∠CPD = $\frac{1}{2}$∠COD =36°.
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理，中心角计算
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是熟练掌握正多边形中心角的计算方法和圆周角定理，通过构造圆心角建立与所求圆周角的数量关系即可快速求解，是圆相关基础知识点的典型应用题型。
【难度系数】
0.85
10. (2025 眉山)如图，AB为$\odot O$的直径，点C为圆上一点，过点C作$\odot O$的切线，交AB延长线于点D，过点B作$BE // DC$，交$\odot O$于点E，连接AE，AC.
(1)求证:$\overset{\frown}{CE} = \overset{\frown}{CB}$；
(2)若$∠ BAE = 60°$，$\odot O$的半径为2，求AC的长.
(1)求证:$\overset{\frown}{CE} = \overset{\frown}{CB}$；
(2)若$∠ BAE = 60°$，$\odot O$的半径为2，求AC的长.
答案
10. (1)证明:如图,连接 OC.
∵ CD 是⊙O 的切线,
∴ OC⊥CD.
∵ BE//DC,
∴ OC⊥BE.
∴ $\overset{\frown}{CE} = \overset{\frown}{CB}$.
(2)解:如图,过点 O 作 OH⊥AC 于 H,则 AH = HC.
∵ AB 为⊙O 的直径,
∴ ∠AEB = 90°.
∴ ∠ABE = 90° - ∠BAE = 90° - 60° = 30°.
∵ BE//DC,
∴ ∠D = ∠ABE = 30°.
∴ ∠AOC = ∠OCD + ∠D = 120°.
∵ OA = OC,
∴ ∠OAC = $\frac{1}{2}$ × (180° - 120°) = 30°.
∴ OH = $\frac{1}{2}$ OA = 1.
∴ AH = $\sqrt{OA^2 - OH^2}$ = $\sqrt{2^2 - 1^2}$ = $\sqrt{3}$.
∴ AC = 2AH = $2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
（1）要证明两条弧相等，可利用垂径定理推导。已知CD是⊙O的切线，根据切线性质，先连接OC可得OC⊥CD；再结合BE//DC，可推出OC⊥BE，最后根据垂径定理即可得到$\overset{\frown}{CE} = \overset{\frown}{CB}$。
（2）要求AC的长，已知⊙O半径为2，可先通过“直径所对的圆周角是直角”得到∠AEB=90°，结合∠BAE=60°算出∠ABE的度数；再利用平行线的性质得到∠D的度数，结合切线性质推出∠AOC的度数，在等腰△OAC中过O作AC的垂线，利用垂径定理和勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
(1)证明：连接OC。
∵ CD是⊙O的切线，
∴ OC⊥CD。
∵ BE//DC，
∴ OC⊥BE。
根据垂径定理可得$\overset{\frown}{CE} = \overset{\frown}{CB}$。
(2)解：过点O作OH⊥AC于H，根据垂径定理可得AH = HC。
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠AEB = 90°。
∴ ∠ABE = 90° - ∠BAE = 90° - 60° = 30°。
∵ BE//DC，
∴ ∠D = ∠ABE = 30°。
∵ OC⊥CD，即∠OCD=90°，
∴ ∠AOC = ∠OCD + ∠D = 90°+30°=120°。
∵ OA = OC=2，
∴ ∠OAC = $\frac{1}{2}$ × (180° - 120°) = 30°。
在Rt△AOH中，OH = $\frac{1}{2}$ OA = 1，
由勾股定理得：AH = $\sqrt{OA^2 - OH^2}$ = $\sqrt{2^2 - 1^2}$ = $\sqrt{3}$，
∴ AC = 2AH = $2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $AC=2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；垂径定理；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的常规综合题，将圆的核心性质与平行线、三角形的相关知识结合考查，解题的关键是合理添加辅助线，建立已知条件和待求结论之间的关联，熟练掌握圆的基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）要证明两条弧相等，可利用垂径定理推导。已知CD是⊙O的切线，根据切线性质，先连接OC可得OC⊥CD；再结合BE//DC，可推出OC⊥BE，最后根据垂径定理即可得到$\overset{\frown}{CE} = \overset{\frown}{CB}$。
（2）要求AC的长，已知⊙O半径为2，可先通过“直径所对的圆周角是直角”得到∠AEB=90°，结合∠BAE=60°算出∠ABE的度数；再利用平行线的性质得到∠D的度数，结合切线性质推出∠AOC的度数，在等腰△OAC中过O作AC的垂线，利用垂径定理和勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
(1)证明：连接OC。
∵ CD是⊙O的切线，
∴ OC⊥CD。
∵ BE//DC，
∴ OC⊥BE。
根据垂径定理可得$\overset{\frown}{CE} = \overset{\frown}{CB}$。
(2)解：过点O作OH⊥AC于H，根据垂径定理可得AH = HC。
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠AEB = 90°。
∴ ∠ABE = 90° - ∠BAE = 90° - 60° = 30°。
∵ BE//DC，
∴ ∠D = ∠ABE = 30°。
∵ OC⊥CD，即∠OCD=90°，
∴ ∠AOC = ∠OCD + ∠D = 90°+30°=120°。
∵ OA = OC=2，
∴ ∠OAC = $\frac{1}{2}$ × (180° - 120°) = 30°。
在Rt△AOH中，OH = $\frac{1}{2}$ OA = 1，
由勾股定理得：AH = $\sqrt{OA^2 - OH^2}$ = $\sqrt{2^2 - 1^2}$ = $\sqrt{3}$，
∴ AC = 2AH = $2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $AC=2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；垂径定理；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的常规综合题，将圆的核心性质与平行线、三角形的相关知识结合考查，解题的关键是合理添加辅助线，建立已知条件和待求结论之间的关联，熟练掌握圆的基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
11. 如图，$△ ABC$中，$AB = AC$，点$D$为$AC$上一点，以$CD$为直径的$\odot O$与$AB$相切于点$E$，交$BC$于点$F$，$FG ⊥ AB$，垂足为点$G$。
(1)求证：$FG$是$\odot O$的切线；
(2)若$\odot O$的半径为$2\sqrt{2}$，$BF = 3$，求$BE$的长。
(1)求证：$FG$是$\odot O$的切线；
(2)若$\odot O$的半径为$2\sqrt{2}$，$BF = 3$，求$BE$的长。
答案
11. (1)证明:如图,连接 OF.
∵ AB = AC,
∴ ∠B = ∠C.
∵ OF = OC,
∴ ∠C = ∠OFC.
∴ ∠OFC = ∠B.
∴ OF//AB.
∵ FG⊥AB,
∴ FG⊥OF.
又
∵ OF 是⊙O 的半径,
∴ FG 是⊙O 的切线.
(2)解:如图,连接 OE.
∵ ⊙O 与 AB 相切,
∴ OE⊥AB.
∵ AB⊥FG,OF⊥FG,OE = OF,
∴ 四边形 GFOE 是正方形.
∴ FG = OE = OF = EG = $2\sqrt{2}$.
在 Rt△BFG 中,由勾股定理,
得 BG = $\sqrt{BF^2 - FG^2}$ = $\sqrt{3^2 - (2\sqrt{2})^2}$ = 1.
∴ BE = BG + EG = 1 + $2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1)证明切线的核心思路是证明直线与过切点的半径垂直，因此先连接OF。利用等腰三角形“等边对等角”的性质，可推出∠OFC=∠B，得到OF//AB，结合FG⊥AB的条件可证FG⊥OF，满足切线的判定条件。
(2)求BE的长度，可将BE拆分为BG和EG两段分别计算。先连接OE，由切线性质得OE⊥AB，结合FG⊥AB、OF⊥FG、OE=OF可证四边形GFOE是正方形，得到EG等于圆的半径；再在Rt△BFG中用勾股定理求出BG，两段相加即可得到BE的长。
【解析】
(1)证明：如图，连接OF。
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
∵OF=OC，
∴∠C=∠OFC。
∴∠OFC=∠B，
∴OF//AB。
∵FG⊥AB，
∴FG⊥OF。
又
∵OF是⊙O的半径，
∴FG是⊙O的切线。
(2)解：如图，连接OE。
∵⊙O与AB相切，
∴OE⊥AB。
∵AB⊥FG，OF⊥FG，OE=OF，
∴四边形GFOE是正方形，
∴FG=OE=OF=EG=$2\sqrt{2}$。
在Rt△BFG中，由勾股定理得：
$BG=\sqrt{BF^2-FG^2}=\sqrt{3^2-(2\sqrt{2})^2}=1$，
∴BE=BG+EG=$1+2\sqrt{2}$。
【答案】
(1)FG是⊙O的切线，证明成立；(2)BE的长为$1+2\sqrt{2}$。
【知识点】
切线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，考查了切线的判定、等腰三角形性质、正方形判定、勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，利用角度、线段的等量关系完成推导计算，是圆章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
(1)证明切线的核心思路是证明直线与过切点的半径垂直，因此先连接OF。利用等腰三角形“等边对等角”的性质，可推出∠OFC=∠B，得到OF//AB，结合FG⊥AB的条件可证FG⊥OF，满足切线的判定条件。
(2)求BE的长度，可将BE拆分为BG和EG两段分别计算。先连接OE，由切线性质得OE⊥AB，结合FG⊥AB、OF⊥FG、OE=OF可证四边形GFOE是正方形，得到EG等于圆的半径；再在Rt△BFG中用勾股定理求出BG，两段相加即可得到BE的长。
【解析】
(1)证明：如图，连接OF。
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
∵OF=OC，
∴∠C=∠OFC。
∴∠OFC=∠B，
∴OF//AB。
∵FG⊥AB，
∴FG⊥OF。
又
∵OF是⊙O的半径，
∴FG是⊙O的切线。
(2)解：如图，连接OE。
∵⊙O与AB相切，
∴OE⊥AB。
∵AB⊥FG，OF⊥FG，OE=OF，
∴四边形GFOE是正方形，
∴FG=OE=OF=EG=$2\sqrt{2}$。
在Rt△BFG中，由勾股定理得：
$BG=\sqrt{BF^2-FG^2}=\sqrt{3^2-(2\sqrt{2})^2}=1$，
∴BE=BG+EG=$1+2\sqrt{2}$。
【答案】
(1)FG是⊙O的切线，证明成立；(2)BE的长为$1+2\sqrt{2}$。
【知识点】
切线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，考查了切线的判定、等腰三角形性质、正方形判定、勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，利用角度、线段的等量关系完成推导计算，是圆章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
12. 如图，AB是$\odot O$的弦，点C是$\odot O$外一点，$OC ⊥ OA$交AB于点P，交$\odot O$于点D，且$CP = CB$。
(1)判断直线CB与$\odot O$的位置关系，并说明理由；
(2)若$∠ A = 30°$，$OP = 2$，求图中阴影部分的面积。
(1)判断直线CB与$\odot O$的位置关系，并说明理由；
(2)若$∠ A = 30°$，$OP = 2$，求图中阴影部分的面积。
答案
12. 解:(1)CB 与⊙O 相切. 理由如下:
如图,连接 OB.
∵ OA = OB,
∴ ∠A = ∠OBA.
∵ CP = CB,
∴ ∠CPB = ∠CBP.
∵ ∠CPB = ∠APO,
∴ ∠CBP = ∠APO.
∵ OC⊥OA,
∴ ∠A + ∠APO = 90°.
∴ ∠OBA + ∠CBP = 90°,即 ∠OBC = 90°.
∴ OB⊥CB.
又
∵ OB 是⊙O 的半径,
∴ CB 与⊙O 相切.
(2)
∵ ∠A = 30°, ∠AOP = 90°, OP = 2,
∴ ∠APO = 60°, AP = 2OP = 4, ∠OBA = ∠A = 30°.
∴ AO = BO = $\sqrt{AP^2 - OP^2}$ = $\sqrt{4^2 - 2^2}$ = $2\sqrt{3}$,
∠BOP = ∠APO - ∠OBA = 30° = ∠OBP.
∴ PB = OP = 2.
∵ ∠CPB = ∠APO = 60°, CP = CB,
∴ △PBC 是等边三角形.
∴ CB = PB = 2.
∴ $S_{阴影} = S_{△OBC} - S_{扇形OBD}$ = $\frac{1}{2} × 2 × 2\sqrt{3} - \frac{30 × π × (2\sqrt{3})^2}{360}$ = $2\sqrt{3} - π$.
解析
【分析】
(1)判断直线与圆的位置关系，若直线过圆上一点，通常采用“连半径，证垂直”的思路。本题先连接OB，利用等腰三角形等边对等角、对顶角相等的性质，结合已知OC⊥OA的条件，通过角的等量代换证明∠OBC=90°，即可判定CB与$\odot O$相切。
(2)图中阴影部分是不规则图形，可转化为规则图形面积的差求解：即$S_{阴影}=S_{△OBC}-S_{扇形OBD}$。先利用直角三角形的性质和勾股定理求出半径OB的长度，再推导得出△PBC是等边三角形得到BC的长度，求出圆心角∠BOD的度数，分别代入三角形和扇形面积公式计算，作差即可得到结果。
【解析】
(1)CB与$\odot O$相切，理由如下：
连接OB。
∵ OA和OB都是$\odot O$的半径，
∴ OA=OB，
∴ $∠ A=∠ OBA$。
∵ CP=CB，
∴ $∠ CPB=∠ CBP$。
∵ $∠ CPB$和$∠ APO$是对顶角，
∴ $∠ CPB=∠ APO$，
∴ $∠ CBP=∠ APO$。
∵ OC⊥OA，
∴ $∠ AOP=90°$，
∴ $∠ A+∠ APO=90°$。
将$∠ A$替换为$∠ OBA$，$∠ APO$替换为$∠ CBP$，可得：$∠ OBA+∠ CBP=90°$，即$∠ OBC=90°$，
∴ OB⊥CB。
又
∵ OB是$\odot O$的半径，
∴ CB与$\odot O$相切。
(2)在Rt△AOP中，$∠ A=30°$，$∠ AOP=90°$，OP=2，
∴ $∠ APO=60°$，AP=2OP=4（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），且$∠ OBA=∠ A=30°$。
由勾股定理得：$AO=BO=\sqrt{AP^2-OP^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
$∠ BOP=∠ APO-∠ OBA=60°-30°=30°=∠ OBP$，
∴ PB=OP=2。
∵ $∠ CPB=∠ APO=60°$，CP=CB，
∴ △PBC是有一个角为60°的等腰三角形，即△PBC是等边三角形，
∴ CB=PB=2。
阴影部分面积为Rt△OBC的面积减去扇形OBD的面积：
$S_{△OBC}=\frac{1}{2}× OB× CB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}$，
$S_{扇形OBD}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{30×π×(2\sqrt{3})^2}{360}=π$，
∴ $S_{阴影}=S_{△OBC}-S_{扇形OBD}=2\sqrt{3}-π$。
【答案】
(1)CB与$\odot O$相切；(2)阴影部分的面积为$2\sqrt{3}-π$
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；扇形面积计算
【点评】
本题是圆的常见综合题型，解题的关键是掌握切线的判定方法，能灵活运用等腰三角形、等边三角形的性质进行角和边的推导，会用割补法将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差求解。
【难度系数】
0.6
(1)判断直线与圆的位置关系，若直线过圆上一点，通常采用“连半径，证垂直”的思路。本题先连接OB，利用等腰三角形等边对等角、对顶角相等的性质，结合已知OC⊥OA的条件，通过角的等量代换证明∠OBC=90°，即可判定CB与$\odot O$相切。
(2)图中阴影部分是不规则图形，可转化为规则图形面积的差求解：即$S_{阴影}=S_{△OBC}-S_{扇形OBD}$。先利用直角三角形的性质和勾股定理求出半径OB的长度，再推导得出△PBC是等边三角形得到BC的长度，求出圆心角∠BOD的度数，分别代入三角形和扇形面积公式计算，作差即可得到结果。
【解析】
(1)CB与$\odot O$相切，理由如下：
连接OB。
∵ OA和OB都是$\odot O$的半径，
∴ OA=OB，
∴ $∠ A=∠ OBA$。
∵ CP=CB，
∴ $∠ CPB=∠ CBP$。
∵ $∠ CPB$和$∠ APO$是对顶角，
∴ $∠ CPB=∠ APO$，
∴ $∠ CBP=∠ APO$。
∵ OC⊥OA，
∴ $∠ AOP=90°$，
∴ $∠ A+∠ APO=90°$。
将$∠ A$替换为$∠ OBA$，$∠ APO$替换为$∠ CBP$，可得：$∠ OBA+∠ CBP=90°$，即$∠ OBC=90°$，
∴ OB⊥CB。
又
∵ OB是$\odot O$的半径，
∴ CB与$\odot O$相切。
(2)在Rt△AOP中，$∠ A=30°$，$∠ AOP=90°$，OP=2，
∴ $∠ APO=60°$，AP=2OP=4（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），且$∠ OBA=∠ A=30°$。
由勾股定理得：$AO=BO=\sqrt{AP^2-OP^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
$∠ BOP=∠ APO-∠ OBA=60°-30°=30°=∠ OBP$，
∴ PB=OP=2。
∵ $∠ CPB=∠ APO=60°$，CP=CB，
∴ △PBC是有一个角为60°的等腰三角形，即△PBC是等边三角形，
∴ CB=PB=2。
阴影部分面积为Rt△OBC的面积减去扇形OBD的面积：
$S_{△OBC}=\frac{1}{2}× OB× CB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}$，
$S_{扇形OBD}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{30×π×(2\sqrt{3})^2}{360}=π$，
∴ $S_{阴影}=S_{△OBC}-S_{扇形OBD}=2\sqrt{3}-π$。
【答案】
(1)CB与$\odot O$相切；(2)阴影部分的面积为$2\sqrt{3}-π$
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；扇形面积计算
【点评】
本题是圆的常见综合题型，解题的关键是掌握切线的判定方法，能灵活运用等腰三角形、等边三角形的性质进行角和边的推导，会用割补法将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差求解。
【难度系数】
0.6
