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12. (★★)如图,已知$∠ AOB : ∠ BOC = 3:2$,OD是$∠ BOC$的平分线,OE是$∠ AOC$的平分线,且$∠ BOE=12°$,求$∠ DOE$的度数.
答案
解：
设∠AOB=3x，∠BOC=2x，
则∠AOC=∠AOB+∠BOC=5x。
∵ OE是∠AOC的平分线，
∴ ∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOC = 2.5x。
∵ ∠BOE = ∠AOB - ∠AOE = 3x - 2.5x = 0.5x，且∠BOE=12°，
∴ 0.5x = 12°，
解得x=24°。
∵ OD是∠BOC的平分线，
∴ ∠BOD = $\frac{1}{2}$∠BOC = x = 24°，
∴ ∠DOE = ∠BOD + ∠BOE = 24° + 12° = 36°。
答：∠DOE的度数为36°。
设∠AOB=3x，∠BOC=2x，
则∠AOC=∠AOB+∠BOC=5x。
∵ OE是∠AOC的平分线，
∴ ∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOC = 2.5x。
∵ ∠BOE = ∠AOB - ∠AOE = 3x - 2.5x = 0.5x，且∠BOE=12°，
∴ 0.5x = 12°，
解得x=24°。
∵ OD是∠BOC的平分线，
∴ ∠BOD = $\frac{1}{2}$∠BOC = x = 24°，
∴ ∠DOE = ∠BOD + ∠BOE = 24° + 12° = 36°。
答：∠DOE的度数为36°。
解析
【分析】
看到已知两个角的比例关系，优先考虑设参数x表示两个角的度数，再结合角平分线的性质，将相关未知角用含x的式子表示，利用已知∠BOE=12°的条件建立方程求出x的值，最后根据角的和差关系即可算出∠DOE的度数。
【解析】
设∠AOB=3x，∠BOC=2x，
则∠AOC=∠AOB+∠BOC=5x。
∵ OE是∠AOC的平分线，
∴ ∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOC = 2.5x。
∵ ∠BOE = ∠AOB - ∠AOE = 3x - 2.5x = 0.5x，且∠BOE=12°，
∴ 0.5x = 12°，
解得x=24°。
∵ OD是∠BOC的平分线，
∴ ∠BOD = $\frac{1}{2}$∠BOC = x = 24°，
∴ ∠DOE = ∠BOD + ∠BOE = 24° + 12° = 36°。
【答案】
36°
【知识点】
角平分线的定义，角的和差运算，方程法求角度
【点评】
本题是角度计算的常规题型，融合了比例、角平分线性质的应用，通过设参数的方法能快速理清各角的数量关系，解题核心是找到已知角和未知量之间的等量关系。
【难度系数】
0.7
看到已知两个角的比例关系，优先考虑设参数x表示两个角的度数，再结合角平分线的性质，将相关未知角用含x的式子表示，利用已知∠BOE=12°的条件建立方程求出x的值，最后根据角的和差关系即可算出∠DOE的度数。
【解析】
设∠AOB=3x，∠BOC=2x，
则∠AOC=∠AOB+∠BOC=5x。
∵ OE是∠AOC的平分线，
∴ ∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOC = 2.5x。
∵ ∠BOE = ∠AOB - ∠AOE = 3x - 2.5x = 0.5x，且∠BOE=12°，
∴ 0.5x = 12°，
解得x=24°。
∵ OD是∠BOC的平分线，
∴ ∠BOD = $\frac{1}{2}$∠BOC = x = 24°，
∴ ∠DOE = ∠BOD + ∠BOE = 24° + 12° = 36°。
【答案】
36°
【知识点】
角平分线的定义，角的和差运算，方程法求角度
【点评】
本题是角度计算的常规题型，融合了比例、角平分线性质的应用，通过设参数的方法能快速理清各角的数量关系，解题核心是找到已知角和未知量之间的等量关系。
【难度系数】
0.7
13. (★★)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,E为线段AC的中点,且AB=CD.
(1)若AE=2,求线段BD的长;
(2)若BE=21,且5BC=3AD,求线段AD的长.
(1)若AE=2,求线段BD的长;
(2)若BE=21,且5BC=3AD,求线段AD的长.
答案
解：
(1) ∵ E为线段AC的中点，
∴ AC = 2AE。
∵ AE = 2，
∴ AC = 2×2 = 4。
由线段和差可得：AB = AC + BC，CD = BC + BD。
∵ AB = CD，
∴ AC + BC = BC + BD，
∴ BD = AC = 4。
(2) 设BC = x，
∵ 5BC = 3AD，
∴ AD = $\frac{5}{3}x$。
由线段和差得：AD = AC + CD，
又∵ AB = CD，AB = AC + BC，
∴ AD = AC + AC + BC = 2AC + x，
即 $2AC + x = \frac{5}{3}x$，
解得 $AC = \frac{1}{3}x$。
∵ E为AC中点，
∴ EC = $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{6}x$。
又∵ BE = EC + BC = 21，
∴ $\frac{1}{6}x + x = 21$，
解得 x = 18，
∴ AD = $\frac{5}{3}×18 = 30$。
答：(1) 线段BD的长为4；(2) 线段AD的长为30。
(1) ∵ E为线段AC的中点，
∴ AC = 2AE。
∵ AE = 2，
∴ AC = 2×2 = 4。
由线段和差可得：AB = AC + BC，CD = BC + BD。
∵ AB = CD，
∴ AC + BC = BC + BD，
∴ BD = AC = 4。
(2) 设BC = x，
∵ 5BC = 3AD，
∴ AD = $\frac{5}{3}x$。
由线段和差得：AD = AC + CD，
又∵ AB = CD，AB = AC + BC，
∴ AD = AC + AC + BC = 2AC + x，
即 $2AC + x = \frac{5}{3}x$，
解得 $AC = \frac{1}{3}x$。
∵ E为AC中点，
∴ EC = $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{6}x$。
又∵ BE = EC + BC = 21，
∴ $\frac{1}{6}x + x = 21$，
解得 x = 18，
∴ AD = $\frac{5}{3}×18 = 30$。
答：(1) 线段BD的长为4；(2) 线段AD的长为30。
解析
【分析】
(1) 解题时先利用线段中点的性质，由已知AE的长度求出AC的长度；再结合AB=CD的条件，将AB、CD分别拆分为AC+BC和BC+BD，通过等式消去公共部分BC，即可得到BD与AC相等，从而求出BD的长度。
(2) 题中给出BC与AD的比例关系，可采用设未知数的方法求解：设BC=x，将AD用含x的式子表示；再利用AB=CD的条件推导出AD与AC、BC的数量关系，得到AC关于x的表达式；结合中点性质得到EC的表达式，根据BE=EC+BC的和差关系列方程求出x的值，最后代入AD的表达式即可求出AD的长。
【解析】
(1)
∵ E为线段AC的中点，
∴ AC = 2AE。
∵ AE = 2，
∴ AC = 2×2 = 4。
由线段和差可得：AB = AC + BC，CD = BC + BD。
∵ AB = CD，
∴ AC + BC = BC + BD，
∴ BD = AC = 4。
(2) 设BC = x，
∵ 5BC = 3AD，
∴ AD = $\frac{5}{3}x$。
由线段和差得：AD = AC + CD，
又
∵ AB = CD，AB = AC + BC，
∴ AD = AC + AC + BC = 2AC + x，
即 $2AC + x = \frac{5}{3}x$，
解得 $AC = \frac{1}{3}x$。
∵ E为AC中点，
∴ EC = $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{6}x$。
又
∵ BE = EC + BC = 21，
∴ $\frac{1}{6}x + x = 21$，
解得 x = 18，
∴ AD = $\frac{5}{3}×18 = 30$。
【答案】
(1) 4；(2) 30
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算；方程法求线段长
【点评】
本题是线段计算的典型习题，解题关键是利用线段的等量关系进行代换，消去公共线段简化计算，第二问结合比例关系设未知数列方程是求解线段长度的常用技巧，掌握线段和差的转化方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先利用线段中点的性质，由已知AE的长度求出AC的长度；再结合AB=CD的条件，将AB、CD分别拆分为AC+BC和BC+BD，通过等式消去公共部分BC，即可得到BD与AC相等，从而求出BD的长度。
(2) 题中给出BC与AD的比例关系，可采用设未知数的方法求解：设BC=x，将AD用含x的式子表示；再利用AB=CD的条件推导出AD与AC、BC的数量关系，得到AC关于x的表达式；结合中点性质得到EC的表达式，根据BE=EC+BC的和差关系列方程求出x的值，最后代入AD的表达式即可求出AD的长。
【解析】
(1)
∵ E为线段AC的中点，
∴ AC = 2AE。
∵ AE = 2，
∴ AC = 2×2 = 4。
由线段和差可得：AB = AC + BC，CD = BC + BD。
∵ AB = CD，
∴ AC + BC = BC + BD，
∴ BD = AC = 4。
(2) 设BC = x，
∵ 5BC = 3AD，
∴ AD = $\frac{5}{3}x$。
由线段和差得：AD = AC + CD，
又
∵ AB = CD，AB = AC + BC，
∴ AD = AC + AC + BC = 2AC + x，
即 $2AC + x = \frac{5}{3}x$，
解得 $AC = \frac{1}{3}x$。
∵ E为AC中点，
∴ EC = $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{6}x$。
又
∵ BE = EC + BC = 21，
∴ $\frac{1}{6}x + x = 21$，
解得 x = 18，
∴ AD = $\frac{5}{3}×18 = 30$。
【答案】
(1) 4；(2) 30
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算；方程法求线段长
【点评】
本题是线段计算的典型习题，解题关键是利用线段的等量关系进行代换，消去公共线段简化计算，第二问结合比例关系设未知数列方程是求解线段长度的常用技巧，掌握线段和差的转化方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
14.(★★)已知点A,B,C位于直线l上，其中线段$AB=4$，且$2BC=3AB$，若M是线段AC的中点，则线段BM的长为 【 】
A.1
B.3
C.5或1
D.1或4
A.1
B.3
C.5或1
D.1或4
答案
C
解析
【分析】
解题时首先注意到点A、B、C在直线上，点C的位置不唯一，需分类讨论。第一步先根据已知的AB长度和2BC=3AB的关系计算出BC的长度；第二步分两种情况讨论点C的位置：①点C在线段AB的延长线上，②点C在线段BA的延长线上；第三步对每种情况先计算线段AC的总长度，再根据M是AC中点的性质求出AM或MC的长度，最后通过线段的和差关系算出BM的长度，汇总两种情况的结果即可得到答案。
【解析】
已知$AB=4$，由$2BC=3AB$可得：
$BC=\frac{3}{2}AB=\frac{3}{2}×4=6$
分两种情况讨论：
情况1：点C在线段AB的延长线上（顺序为$A\to B\to C$）
此时$AC=AB+BC=4+6=10$
$\because$ M是线段AC的中点
$\therefore MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$
$\therefore BM=BC-MC=6-5=1$
情况2：点C在线段BA的延长线上（顺序为$C\to A\to B$）
此时$AC=BC-AB=6-4=2$
$\because$ M是线段AC的中点
$\therefore AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2=1$
$\therefore BM=AB+AM=4+1=5$
综上，线段BM的长为5或1。
【答案】
C
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的常见题型，解题的关键是明确直线上点的位置具有不确定性，需要分类讨论所有可能的位置，避免漏解，同时要熟练掌握线段中点的性质和线段和差的计算方法。
【难度系数】
0.6
解题时首先注意到点A、B、C在直线上，点C的位置不唯一，需分类讨论。第一步先根据已知的AB长度和2BC=3AB的关系计算出BC的长度；第二步分两种情况讨论点C的位置：①点C在线段AB的延长线上，②点C在线段BA的延长线上；第三步对每种情况先计算线段AC的总长度，再根据M是AC中点的性质求出AM或MC的长度，最后通过线段的和差关系算出BM的长度，汇总两种情况的结果即可得到答案。
【解析】
已知$AB=4$，由$2BC=3AB$可得：
$BC=\frac{3}{2}AB=\frac{3}{2}×4=6$
分两种情况讨论：
情况1：点C在线段AB的延长线上（顺序为$A\to B\to C$）
此时$AC=AB+BC=4+6=10$
$\because$ M是线段AC的中点
$\therefore MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$
$\therefore BM=BC-MC=6-5=1$
情况2：点C在线段BA的延长线上（顺序为$C\to A\to B$）
此时$AC=BC-AB=6-4=2$
$\because$ M是线段AC的中点
$\therefore AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2=1$
$\therefore BM=AB+AM=4+1=5$
综上，线段BM的长为5或1。
【答案】
C
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的常见题型，解题的关键是明确直线上点的位置具有不确定性，需要分类讨论所有可能的位置，避免漏解，同时要熟练掌握线段中点的性质和线段和差的计算方法。
【难度系数】
0.6
