9.(★★)如图,已知轮船A在灯塔P的北偏西20°的方向上,轮船B在灯塔P的南偏东80°的方向上.
(1)求从灯塔P看两轮船的视角(即∠APB)的度数;
(2)轮船C在∠APB的平分线上,则轮船C在灯塔P的什么方向上?

解：
(1) 记灯塔P的正北方向为射线PN，正南方向为射线PS，
由题意得：$∠ APN = 20°$，$∠ BPS = 80°$，$∠ NPS = 180°$，
正东方向与正南方向的夹角为$90°$，因此PB与正东方向的夹角为$90° - 80° = 10°$，
则$∠ APB = 90° - ∠ APN + 90° + 10° = 70° + 90° + 10° = 120°$。
(2) 因为PC平分$∠ APB$，
所以$∠ APC = \frac{1}{2}∠ APB = \frac{1}{2} × 120° = 60°$，
因此$∠ NPC = ∠ APC - ∠ APN = 60° - 20° = 40°$。
答：(1) $∠ APB$的度数为$120°$；(2) 轮船C在灯塔P的北偏东$40°$的方向上。

【分析】
解题时首先要明确方向角的含义：上北下南、左西右东，正北与正南方向在同一直线上夹角为180°，正北与正东、正东与正南的夹角均为90°。
(1)求∠APB的度数时，可先根据已知的两个方向角，将∠APB拆分为几个已知角度的和，通过角度和差计算求解；
(2)已知C在∠APB的平分线上，先利用角平分线的性质求出∠APC的度数，再结合轮船A的方向角，计算出轮船C与正北方向的夹角，即可确定C的方向。
【解析】
(1) 记灯塔P的正北方向为射线PN，正南方向为射线PS，正东方向为射线PE。
由题意得：$∠ APN=20°$，$∠ BPS=80°$，$∠ NPE=90°$，$∠ EPS=90°$。
先求PB与正东方向的夹角：$∠ BPE=∠ EPS - ∠ BPS=90°-80°=10°$。
因此$∠ APB = ∠ APN + ∠ NPE + ∠ BPE = 20°+90°+10°=120°$。
(2) 因为PC平分$∠ APB$，根据角平分线的定义：
$∠ APC = \frac{1}{2}∠ APB = \frac{1}{2}×120°=60°$。
则PC与正北方向的夹角为：$∠ NPC=∠ APC - ∠ APN=60°-20°=40°$。
【答案】
(1) $∠ APB$的度数为$120°$；(2) 轮船C在灯塔P的北偏东$40°$的方向上。
【知识点】
方向角的识别；角的和差计算；角平分线的定义
【点评】
本题是方向角与角度计算结合的基础题，解题核心是将实际方向问题转化为几何角度的和差计算问题，掌握方向角的含义和角平分线的性质即可顺利求解，这类题型是方位类几何题的常见考法。
【难度系数】
0.7

10. (★★)已知线段$AB=10$，$C$是直线$AB$上一点，$M$，$N$分别是线段$AC$和$BC$的中点，求线段$MN$的长度.

解：分三种情况讨论：
1. 当点C在线段AB上时，
∵ M是AC的中点，N是BC的中点，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}BC$，
∴ $MN=MC+NC=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB$，
∵ $AB=10$，
∴ $MN=\frac{1}{2}×10=5$。
2. 当点C在线段AB的延长线上时，
∵ M是AC的中点，N是BC的中点，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}BC$，
∴ $MN=MC-NC=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}AB$，
∵ $AB=10$，
∴ $MN=\frac{1}{2}×10=5$。
3. 当点C在线段BA的延长线上时，
∵ M是AC的中点，N是BC的中点，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}BC$，
∴ $MN=NC-MC=\frac{1}{2}(BC-AC)=\frac{1}{2}AB$，
∵ $AB=10$，
∴ $MN=\frac{1}{2}×10=5$。
综上，线段MN的长度为5。

【分析】
题目中明确点C在直线AB上，直线可向两端无限延伸，因此点C的位置存在三种情况：在线段AB上、在线段AB的延长线上、在线段BA的延长线上，需分类讨论求解。已知M、N分别是AC、BC的中点，解题时先根据线段中点的定义得到MC、NC与AC、BC的数量关系，再结合不同位置下MN与MC、NC的和差关系，推导出MN与AB的关联，最后代入AB的长度计算即可。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当点C在线段AB上时，
∵ M是AC的中点，N是BC的中点，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}BC$，
∴ $MN=MC+NC=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB$，
∵ $AB=10$，
∴ $MN=\frac{1}{2}×10=5$。
2. 当点C在线段AB的延长线上时，
∵ M是AC的中点，N是BC的中点，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}BC$，
∴ $MN=MC-NC=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}AB$，
∵ $AB=10$，
∴ $MN=\frac{1}{2}×10=5$。
3. 当点C在线段BA的延长线上时，
∵ M是AC的中点，N是BC的中点，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}BC$，
∴ $MN=NC-MC=\frac{1}{2}(BC-AC)=\frac{1}{2}AB$，
∵ $AB=10$，
∴ $MN=\frac{1}{2}×10=5$。
综上，线段MN的长度为5。
【答案】
5
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略点C在直线上的位置多样性，遗漏分类讨论的情况。解题核心是利用线段中点的性质，通过线段的和差转化将未知线段与已知线段建立关联，本题得出的“直线AB上任意一点C，AC、BC中点的距离恒为AB长度的一半”是常用结论，可快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7

11. (★★)已知$∠ AOB = 90°$，$∠ BOC$是一个锐角，$OM$平分$∠ AOC$，$ON$平分$∠ BOC$，求$∠ MON$的度数.

解：
设∠BOC = x，
则∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90° + x。
∵ OM 平分∠AOC，
∴ ∠MOC = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}(90° + x)$。
∵ ON 平分∠BOC，
∴ ∠NOC = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}x$。
∴ ∠MON = ∠MOC - ∠NOC
= $\frac{1}{2}(90° + x) - \frac{1}{2}x$
= $45° + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}x$
= $45°$。

【分析】
本题要求∠MON的度数，可先分析角的组成关系：∠MON=∠MOC-∠NOC。已知OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，因此可以先设未知的锐角∠BOC为x，利用角平分线的性质分别用含x的式子表示出∠MOC和∠NOC，再通过作差消去未知数x，即可求出∠MON的定值。
【解析】
设∠BOC = x，
则∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90° + x。
∵ OM 平分∠AOC，
∴ ∠MOC = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}(90° + x)$。
∵ ON 平分∠BOC，
∴ ∠NOC = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}x$。
∴ ∠MON = ∠MOC - ∠NOC
= $\frac{1}{2}(90° + x) - \frac{1}{2}x$
= $45° + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}x$
= $45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，核心是利用角平分线的性质转化角度关系，通过设参数再消参的方法可快速求出角度定值，熟练掌握角的和差运算与角平分线性质是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.8