1.填一填。
(1)世界杯足球赛小组赛阶段,4个队分为一个小组,组内每2支队都要进行一场比赛,每支队要打()场比赛,每个小组一共要打()场比赛。
(2)下午放学后,乒乓球队的2名教练陪4名运动员一同练习单打。如果每名运动员都要和每位教练打1局,一共需要打()局;如果每2个人都要打1局,一共要打()局。
(3)丽丽和妙妙周末一同去服装店买帽子,店家展示了4种款式的帽子,丽丽和妙妙各买了一顶不同款式的,一共有()种购买方案。
(4)毕业季来了,奇思、妙想和淘气排成一排合影留念,一共有()种不同的站法;如果妙想一定要站在最中间,那么应该有()种不同的站法。

(1)
$4-1=3$（场）
$3+2+1=6$（场）
(2)
$4×2=8$（局）
$2+4=6$（人）
$5+4+3+2+1=15$（局）
(3)
$4×3=12$（种）
(4)
$3×2×1=6$（种）
$2×1=2$（种）
答：(1) 每支队要打3场比赛，每个小组一共要打6场比赛；(2) 一共需要打8局，每2个人都打1局一共要打15局；(3) 一共有12种购买方案；(4) 一共有6种不同的站法，妙想站最中间有2种不同的站法。

【分析】
我们逐个小题梳理解题思路：
(1) 每支队伍只需和小组内除自身外的其他队伍比赛，4个队去掉自身剩余3个队，即可得到每队的比赛场数；计算小组总场次时，每2队之间的比赛仅计数1次，避免重复，可按顺序累加各队未重复的比赛场次得到总场次。
(2) 每名运动员和每位教练打1局时，每名运动员对应2局比赛，用运动员人数乘每人的比赛局数即可得总局数；每2人都打1局时，先计算总人数，再按不重复计数的规则，从比总人数少1的数开始依次累加至1，得到总对局数。
(3) 丽丽选帽子时有4种款式可选，妙妙选不同款式时剩余3种选择，总购买方案数为两人可选数量的乘积。
(4) 3人排队合影时，第一个位置有3种选择，选完第一个位置后第二个位置剩余2种选择，最后一个位置仅1种选择，三者相乘得到总站法；妙想固定在最中间时，仅需排列左右两个位置，相乘可得对应站法数。
【解析】
(1) 每支队比赛场次：$4-1=3$（场）
小组总比赛场次：$3+2+1=6$（场）
(2) 运动员和教练对打的总局数：$4×2=8$（局）
总人数：$2+4=6$（人）
每2人打1局的总局数：$5+4+3+2+1=15$（局）
(3) 总购买方案数：$4×3=12$（种）
(4) 3人排队的总站法：$3×2×1=6$（种）
妙想站最中间的站法：$2×1=2$（种）
【答案】
(1) 每支队要打3场比赛，每个小组一共要打6场比赛；(2) 每名运动员和每位教练打1局一共需要打8局，每2个人都打1局一共要打15局；(3) 一共有12种购买方案；(4) 一共有6种不同的站法，妙想站最中间有2种不同的站法。
【知识点】
组合问题、排列问题、搭配问题
【点评】
本题结合各类生活场景考察基础计数应用，解题时要注意区分计数是否需要考虑顺序，避免出现重复计数、漏算的问题，熟练掌握基础的排列、组合计数方法即可快速作答。
【难度系数】
0.85

2.阳光小学近期举行了盛大的羽毛球对抗赛，四(1)班和四(5)班狭路相逢，约定三局两胜。赛前四(1)班的老师预测四(5)班的同学出场顺序如下表，请你帮四(1)班同学安排一个必胜的出场顺序。

| 场次 | 四(5)班 | 四(1)班 | 本场胜者 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 第一场 | 高级水平 | 普通水平 | 四(5)班 |
| 第二场 | 中等水平 | 高级水平 | 四(1)班 |
| 第三场 | 普通水平 | 中等水平 | 四(1)班 |
答：四(1)班按普通水平、高级水平、中等水平的顺序出场，即可实现三局两胜，保证必胜。

【分析】
这道题可借鉴“田忌赛马”的思路求解，首先明确比赛规则为三局两胜，只需保证累计赢2场就能获得最终胜利。已知四（5）班出场顺序固定为高级水平→中等水平→普通水平，我们无需追求每场都赢，可通过合理安排己方出场顺序获胜：先用实力最弱的选手对阵对方最强选手，主动输掉1场，再用己方最强选手对阵对方中等水平选手、己方中等水平选手对阵对方普通水平选手，赢下剩下2场即可满足三局两胜的要求。
【解析】
我们根据三局两胜的目标安排出场顺序：
1. 第一场：四（5）班派出高级水平选手，安排四（1）班普通水平选手对阵，本场四（5）班获胜。
2. 第二场：四（5）班派出中等水平选手，安排四（1）班高级水平选手对阵，高级水平强于中等水平，本场四（1）班获胜。
3. 第三场：四（5）班派出普通水平选手，安排四（1）班中等水平选手对阵，中等水平强于普通水平，本场四（1）班获胜。
最终三场比赛四（1）班赢2场输1场，符合三局两胜的获胜规则。对应表格填写如下：
| 场次 | 四(5)班 | 四(1)班 | 本场胜者 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 第一场 | 高级水平 | 普通水平 | 四(5)班 |
| 第二场 | 中等水平 | 高级水平 | 四(1)班 |
| 第三场 | 普通水平 | 中等水平 | 四(1)班 |
【答案】
| 场次 | 四(5)班 | 四(1)班 | 本场胜者 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 第一场 | 高级水平 | 普通水平 | 四(5)班 |
| 第二场 | 中等水平 | 高级水平 | 四(1)班 |
| 第三场 | 普通水平 | 中等水平 | 四(1)班 |
四(1)班按普通水平、高级水平、中等水平的顺序出场，即可实现三局两胜，保证必胜。
【知识点】
田忌赛马策略、最优方案设计、赛制规则应用
【点评】
这道题是经典策略问题的生活化应用，核心是从整体目标出发统筹规划资源，不用局限于单次胜负，通过局部的小损失换取整体的胜利，能够有效锻炼学生的逻辑思维和统筹安排能力。
【难度系数】
0.7

3.五个人参加象棋比赛，每两个人都要赛一局，胜者得2分，平局各得1分，负者得0分。比赛结果：第一名两人并列，第四名两人并列，那么第三名得多少分？

5×4÷2 = 10（局）
10×2 = 20（分）
20 - 6×2 - 2×2 = 4（分）
答：第三名得4分。

【分析】
这是单循环比赛类问题，解题思路分三步：第一步先算总比赛场次，结合每局固定总得分算出所有选手的总得分；第二步结合排名特点分析首尾名次的得分范围：因为有两人并列第一，所以不可能有人全胜（两人之间比赛必有一人输，不可能两人都拿满分8分），因此第一名每人最多得6分；又因为有两人并列第四，不可能两人都全输（两人之间比赛至少有一人拿分，不可能两人都得0分），所以第四名每人最少得2分；第三步用总得分减去两个第一名、两个第四名的总得分，就能得到第三名的分数，且该分数符合介于第一和第四名得分之间的排名要求。
【解析】
1. 计算总比赛场次：5人每两人赛1局，总场次为：
$5 × 4 ÷ 2 = 10$（局）
2. 计算比赛总得分：每局无论胜负、平局，总得分都是2分，因此总得分是：
$10 × 2 = 20$（分）
3. 计算第三名得分：并列第一名两人共得$6 × 2 = 12$分，并列第四名两人共得$2 × 2 = 4$分，因此第三名得分为：
$20 - 12 - 4 = 4$（分）
答：第三名得4分。
【答案】
第三名得4分
【知识点】
单循环赛制计算，比赛得分问题，逻辑推理
【点评】
本题结合比赛赛制考察综合分析能力，解题关键是先求出比赛总得分，再根据并列排名的特点确定首尾名次的得分范围，最终推导出第三名的得分。
【难度系数】
0.6