21.（本小题满分12分）
如图①，在等腰直角三角形BCD中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到点A，使DA＝DF，连接AC.
(1)求证：△FBD≌△ACD.
(2)延长BF交AC于点E，若BE⊥AC，求证：$CE=\frac{1}{2}BF$.
(3)如图②，H是BC的中点，连接DH，与BE相交于点G.在(2)的条件下，请探索CE，GE，BG之间的数量关系，并证明你的结论.

21. (1)证明：
∵△BCD是等腰直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴$BD=CD$，$∠CDA=90°$.
在△FBD和△ACD中，
∵$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠BDF=∠CDA, \\ DF=DA, \end{cases}$
∴△FBD≌△ACD(SAS).
(2)证明：如图，延长BF交AC于点E.

∵$BE⊥AC$，
∴$∠BEA=∠BEC=90°$.
∵BF平分∠DBC，
∴$∠ABE=∠CBE$.
又
∵$BE=BE$，
∴△ABE≌△CBE(ASA).
∴$AE=CE$.
∴$CE=\frac{1}{2}AC$.
由(1)知△FBD≌△ACD，
∴$AC=BF$.
∴$CE=\frac{1}{2}BF$.
(3)$BG^2=GE^2+CE^2$.
证明：如图，连接CG.

∵H是BC的中点，$BD=CD$，
∴HD垂直平分BC.
∴$BG=CG$(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).
∵$BE⊥AC$，
∴在Rt△CEG中，$CG^2=GE^2+CE^2$.
∴$BG^2=GE^2+CE^2$.

【分析】
(1) 要证明△FBD≌△ACD，先从等腰直角三角形BCD的性质入手，可得到BD=CD，且∠BDF和∠CDA都是直角，再结合已知DA=DF，刚好满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 要证$CE=\frac{1}{2}BF$，先结合BF是角平分线且BE⊥AC，证明△ABE≌△CBE，得到CE是AC的一半；再利用(1)的全等结论得到AC=BF，通过等量代换就能推出结论。
(3) 探索三条线段的数量关系时，先利用等腰三角形三线合一的性质，得出DH是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得BG=CG，将BG转化为CG后，三条线段就集中到Rt△CEG中，结合勾股定理即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵△BCD是等腰直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴$BD=CD$，$∠CDA=∠BDF=90°$.
在△FBD和△ACD中，
∵$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠BDF=∠CDA, \\ DF=DA, \end{cases}$
∴△FBD≌△ACD(SAS).
(2) 证明：延长BF交AC于点E.

∵$BE⊥AC$，
∴$∠BEA=∠BEC=90°$.
∵BF平分∠DBC，
∴$∠ABE=∠CBE$.
又
∵$BE=BE$，
∴△ABE≌△CBE(ASA).
∴$AE=CE$，即$CE=\frac{1}{2}AC$.
由(1)知△FBD≌△ACD，
∴$AC=BF$.
∴$CE=\frac{1}{2}BF$.
(3) 数量关系为$BG^2=GE^2+CE^2$，证明如下：
连接CG.

∵H是BC的中点，$BD=CD$，
∴HD垂直平分BC.
∴$BG=CG$(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).
∵$BE⊥AC$，
∴在Rt△CEG中，由勾股定理得$CG^2=GE^2+CE^2$.
∴$BG^2=GE^2+CE^2$.
【答案】
(1) △FBD≌△ACD，证明成立；
(2) $CE=\frac{1}{2}BF$，证明成立；
(3) $BG^2=GE^2+CE^2$，证明成立。
【知识点】
全等三角形判定与性质、等腰三角形性质、勾股定理
【点评】
本题是特殊三角形的综合题，三个小问层层递进，前两问侧重基础知识点的直接应用，第三问需要通过线段转化的思想，将分散的线段集中到直角三角形中求解，能有效考查逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.6