登录
9. 你能化简 $(x-1)(x^{99}+x^{98}+···+···+x+1)$ 吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法。
(1) 化简下列各式：
$(x-1)(x+1) = \_\_\_\_\_\_$。
$(x-1)(x^2+x+1) = \_\_\_\_\_\_$。
$(x-1)(x^3+x^2+x+1) = \_\_\_\_\_\_$。
$···$
$(x-1)(x^{99}+x^{98}+···+x+1) = \_\_\_\_\_\_$。
(2) 请你利用上面的结论计算：
$2^{99}+2^{98}+···+2+1$。
(1) 化简下列各式：
$(x-1)(x+1) = \_\_\_\_\_\_$。
$(x-1)(x^2+x+1) = \_\_\_\_\_\_$。
$(x-1)(x^3+x^2+x+1) = \_\_\_\_\_\_$。
$···$
$(x-1)(x^{99}+x^{98}+···+x+1) = \_\_\_\_\_\_$。
(2) 请你利用上面的结论计算：
$2^{99}+2^{98}+···+2+1$。
答案
(1) $x^2-1$ $x^3-1$ $x^4-1$ $x^{100}-1$ (2) $2^{100}-1$
解析
【分析】
本题采用从特殊到一般的归纳思路解题：首先利用多项式乘多项式的运算法则，计算低次的简单式子，观察化简结果的共同规律，再将规律推广到高次的通用情形，最后利用归纳出的通用公式，通过凑形的方法求解第(2)问的计算问题。
【解析】
(1) 分别计算前三个式子：
① 计算$(x-1)(x+1)$：根据多项式乘法展开得$x· x + x·1 -1· x -1×1 = x^2 -1$；
② 计算$(x-1)(x^2+x+1)$：展开得$x(x^2+x+1) -1×(x^2+x+1) = x^3+x^2+x -x^2 -x -1 = x^3 -1$；
③ 计算$(x-1)(x^3+x^2+x+1)$：展开得$x(x^3+x^2+x+1) -1×(x^3+x^2+x+1) = x^4+x^3+x^2+x -x^3 -x^2 -x -1 = x^4 -1$；
观察上述结果可发现规律：$(x-1)(x^n +x^{n-1}+\dots+x+1)=x^{n+1}-1$，因此当$n=99$时，$(x-1)(x^{99}+x^{98}+\dots+x+1)=x^{100}-1$。
(2) 利用(1)的结论计算：
当$x=2$时，代入规律公式得$(2-1)(2^{99}+2^{98}+\dots+2+1)=2^{100}-1$，因为$2-1=1$，所以$2^{99}+2^{98}+\dots+2+1=2^{100}-1$。
【答案】
(1) $x^2-1$；$x^3-1$；$x^4-1$；$x^{100}-1$
(2) $2^{100}-1$
【知识点】
多项式乘法；归纳推理；代数式求值
【点评】
本题体现了从特殊到一般的数学思想，通过计算简单式子推导通用规律，再用规律解决复杂高次运算问题，解题时要注意凑用公式时不能改变原式的大小。
【难度系数】
0.8
本题采用从特殊到一般的归纳思路解题：首先利用多项式乘多项式的运算法则，计算低次的简单式子，观察化简结果的共同规律，再将规律推广到高次的通用情形，最后利用归纳出的通用公式，通过凑形的方法求解第(2)问的计算问题。
【解析】
(1) 分别计算前三个式子：
① 计算$(x-1)(x+1)$：根据多项式乘法展开得$x· x + x·1 -1· x -1×1 = x^2 -1$；
② 计算$(x-1)(x^2+x+1)$：展开得$x(x^2+x+1) -1×(x^2+x+1) = x^3+x^2+x -x^2 -x -1 = x^3 -1$；
③ 计算$(x-1)(x^3+x^2+x+1)$：展开得$x(x^3+x^2+x+1) -1×(x^3+x^2+x+1) = x^4+x^3+x^2+x -x^3 -x^2 -x -1 = x^4 -1$；
观察上述结果可发现规律：$(x-1)(x^n +x^{n-1}+\dots+x+1)=x^{n+1}-1$，因此当$n=99$时，$(x-1)(x^{99}+x^{98}+\dots+x+1)=x^{100}-1$。
(2) 利用(1)的结论计算：
当$x=2$时，代入规律公式得$(2-1)(2^{99}+2^{98}+\dots+2+1)=2^{100}-1$，因为$2-1=1$，所以$2^{99}+2^{98}+\dots+2+1=2^{100}-1$。
【答案】
(1) $x^2-1$；$x^3-1$；$x^4-1$；$x^{100}-1$
(2) $2^{100}-1$
【知识点】
多项式乘法；归纳推理；代数式求值
【点评】
本题体现了从特殊到一般的数学思想，通过计算简单式子推导通用规律，再用规律解决复杂高次运算问题，解题时要注意凑用公式时不能改变原式的大小。
【难度系数】
0.8
10. 设有边长分别为$a$和$b(a＞b)$的A类和B类正方形纸片、长为$a$宽为$b$的C类长方形纸片若干张. 如图16.2-5所示,要拼一个边长为$a+b$的正方形,需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为$3a+b$、宽为$2a+2b$的长方形,则需要C类纸片的张数为(
A.6
B.7
C.8
D.9
C
).A.6
B.7
C.8
D.9
答案
10. C
解析
【分析】
本题可利用拼接前后总面积相等的原理求解。首先明确三类纸片的面积：A类正方形面积为$a^2$，B类正方形面积为$b^2$，C类长方形面积为$ab$。我们先计算目标长方形的面积，将面积展开为整式形式后，其中$ab$项的系数就是需要C类纸片的张数，因为每一张C类纸片对应1个$ab$的面积。
【解析】
首先计算长为$3a+b$、宽为$2a+2b$的长方形面积：
$\begin{aligned}S&=(3a+b)(2a+2b)\\&=3a·2a + 3a·2b + b·2a + b·2b\\&=6a^2 + 6ab + 2ab + 2b^2\\&=6a^2 + 8ab + 2b^2\end{aligned}$
因为C类纸片面积为$ab$，展开式中$ab$项的系数为8，因此需要C类纸片8张。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式；面积拼接；整式运算
【点评】
本题是数形结合的典型题型，将几何拼接问题转化为整式乘法运算，既考查了多项式乘法的计算能力，也要求学生理解面积与代数式的对应关系，计算时注意不要漏乘，合并同类项时需注意系数计算准确。
【难度系数】
0.7
本题可利用拼接前后总面积相等的原理求解。首先明确三类纸片的面积：A类正方形面积为$a^2$，B类正方形面积为$b^2$，C类长方形面积为$ab$。我们先计算目标长方形的面积，将面积展开为整式形式后，其中$ab$项的系数就是需要C类纸片的张数，因为每一张C类纸片对应1个$ab$的面积。
【解析】
首先计算长为$3a+b$、宽为$2a+2b$的长方形面积：
$\begin{aligned}S&=(3a+b)(2a+2b)\\&=3a·2a + 3a·2b + b·2a + b·2b\\&=6a^2 + 6ab + 2ab + 2b^2\\&=6a^2 + 8ab + 2b^2\end{aligned}$
因为C类纸片面积为$ab$，展开式中$ab$项的系数为8，因此需要C类纸片8张。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式；面积拼接；整式运算
【点评】
本题是数形结合的典型题型，将几何拼接问题转化为整式乘法运算，既考查了多项式乘法的计算能力，也要求学生理解面积与代数式的对应关系，计算时注意不要漏乘，合并同类项时需注意系数计算准确。
【难度系数】
0.7
11. 计算：$(x-1)(x+2)-3(x-1).$
答案
$x^2-2x+1$
解析
【分析】
本题属于整式的混合运算题，有两种常见解题思路：方法一：先分别按照多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则计算两个乘积项，再去括号，最后合并同类项得到结果；方法二：观察发现两个项都含有公因式$(x-1)$，可先提取公因式再计算，两种方法均符合运算规则，这里用通用的展开法计算更易理解。
【解析】
解：第一步，根据多项式乘多项式法则计算$(x-1)(x+2)$：
$(x-1)(x+2)=x· x + x·2 -1· x -1×2 = x^2 +2x -x -2 = x^2 +x -2$
第二步，根据单项式乘多项式法则计算$3(x-1)$：
$3(x-1)=3x -3$
第三步，将上述结果代入原式，去括号后合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(x^2 +x -2) - (3x -3)\\&=x^2 +x -2 -3x +3\\&=x^2 + (x-3x) + (-2+3)\\&=x^2 -2x +1\end{aligned}$
【答案】
$x^2-2x+1$
【知识点】
多项式乘多项式，单项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，解题时要注意去括号时的符号变化，熟练掌握整式乘法的相关运算法则是解题核心，也可通过提取公因式的方法简化运算步骤，提高正确率。
【难度系数】
0.8
本题属于整式的混合运算题，有两种常见解题思路：方法一：先分别按照多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则计算两个乘积项，再去括号，最后合并同类项得到结果；方法二：观察发现两个项都含有公因式$(x-1)$，可先提取公因式再计算，两种方法均符合运算规则，这里用通用的展开法计算更易理解。
【解析】
解：第一步，根据多项式乘多项式法则计算$(x-1)(x+2)$：
$(x-1)(x+2)=x· x + x·2 -1· x -1×2 = x^2 +2x -x -2 = x^2 +x -2$
第二步，根据单项式乘多项式法则计算$3(x-1)$：
$3(x-1)=3x -3$
第三步，将上述结果代入原式，去括号后合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(x^2 +x -2) - (3x -3)\\&=x^2 +x -2 -3x +3\\&=x^2 + (x-3x) + (-2+3)\\&=x^2 -2x +1\end{aligned}$
【答案】
$x^2-2x+1$
【知识点】
多项式乘多项式，单项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，解题时要注意去括号时的符号变化，熟练掌握整式乘法的相关运算法则是解题核心，也可通过提取公因式的方法简化运算步骤，提高正确率。
【难度系数】
0.8
12. 现有甲、乙、丙三种长方形或正方形卡片各若干张，卡片的边长如图16.2-6所示（$a＞1$）。某同学分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图16.2-7和图16.2-8，其面积分别为$S_1$，$S_2$。请用含$a$的式子分别表示$S_1$，$S_2$，当$a＝2$时，求$S_1＋S_2$的值。
答案
由题图可知$S_1=(a+2)(a+1)=a^2+3a+2$，$S_2=(5a+1)×1=5a+1$，当$a=2$时，$S_1+S_2=4+6+2+10+1=23$
解析
【分析】
解题时可从长方形面积公式入手，首先明确拼接后的长方形面积等于长乘宽，也等于所用6张卡片的面积之和，两种方法均可。第一步先观察两个拼接长方形的边长，分别确定S₁、S₂对应的长和宽；第二步利用多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则计算出S₁、S₂的表达式；最后将a=2代入表达式，计算S₁+S₂的数值即可。
【解析】
根据长方形面积=长×宽，计算如下：
1. 求$S_1$：
图16.2-7中长方形的长为$(a+2)$，宽为$(a+1)$，
$\begin{aligned}S_1&=(a+2)(a+1)\\&=a^2+a+2a+2\\&=a^2+3a+2\end{aligned}$
2. 求$S_2$：
图16.2-8中长方形的长为$(5a+1)$，宽为$1$，
$S_2=(5a+1)×1=5a+1$
3. 当$a=2$时，计算$S_1+S_2$：
将$a=2$分别代入$S_1$、$S_2$得：
$S_1=2^2+3×2+2=4+6+2=12$
$S_2=5×2+1=10+1=11$
$\therefore S_1+S_2=12+11=23$
【答案】
$S_1=a^2+3a+2$，$S_2=5a+1$；当$a=2$时，$S_1+S_2$的值为$\boldsymbol{23}$
【知识点】
多项式乘多项式；长方形面积计算；代数式求值
【点评】
本题是整式乘法在几何问题中的基础应用，既考查了图形识别能力，也考查了整式运算的基本功，解题核心是准确找到拼接长方形的边长，计算过程注意不要漏项、错项。
【难度系数】
0.7
解题时可从长方形面积公式入手，首先明确拼接后的长方形面积等于长乘宽，也等于所用6张卡片的面积之和，两种方法均可。第一步先观察两个拼接长方形的边长，分别确定S₁、S₂对应的长和宽；第二步利用多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则计算出S₁、S₂的表达式；最后将a=2代入表达式，计算S₁+S₂的数值即可。
【解析】
根据长方形面积=长×宽，计算如下：
1. 求$S_1$：
图16.2-7中长方形的长为$(a+2)$，宽为$(a+1)$，
$\begin{aligned}S_1&=(a+2)(a+1)\\&=a^2+a+2a+2\\&=a^2+3a+2\end{aligned}$
2. 求$S_2$：
图16.2-8中长方形的长为$(5a+1)$，宽为$1$，
$S_2=(5a+1)×1=5a+1$
3. 当$a=2$时，计算$S_1+S_2$：
将$a=2$分别代入$S_1$、$S_2$得：
$S_1=2^2+3×2+2=4+6+2=12$
$S_2=5×2+1=10+1=11$
$\therefore S_1+S_2=12+11=23$
【答案】
$S_1=a^2+3a+2$，$S_2=5a+1$；当$a=2$时，$S_1+S_2$的值为$\boldsymbol{23}$
【知识点】
多项式乘多项式；长方形面积计算；代数式求值
【点评】
本题是整式乘法在几何问题中的基础应用，既考查了图形识别能力，也考查了整式运算的基本功，解题核心是准确找到拼接长方形的边长，计算过程注意不要漏项、错项。
【难度系数】
0.7
