7. 数学实践是学习数学的重要途径. 某数学兴趣小组的同学们在学校操场上进行实地测量. 如图, 在 A 处测得建筑物 C 在南偏西57°的方向上,在 B 处测得建筑物 C 在南偏西20°的方向上,在建筑物 C 处测得 A,B 两处的视角∠C 的度数为().

A.67°
B.57°
C.47°
D.37°

第7题图 第8题图

D

【分析】
解题时首先明确：方位角中所有正南、正北方向的直线都是互相平行的，因此图中过A、B的两条竖直虚线平行。首先根据方位角的定义确定已知角的度数，再利用平行线的内错角相等得到相等的角，最后结合三角形外角的性质（三角形的外角等于不相邻两个内角的和），即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵ 过点A、B的南北方向直线互相平行，
根据两直线平行，内错角相等，可得AC与过B点的南北方向直线的夹角等于57°，
该角是△BCD（AC与过B的南北方向直线交于点D）的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ 57° = ∠C + 20°，
解得∠C = 57° - 20° = 37°。
【答案】
D
【知识点】
方位角的识别，平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题结合实地测量的实际场景，考查几何基础知识的应用，解题的关键是从方位角中提取出平行关系和对应角的度数，将实际问题转化为几何角度计算问题。
【难度系数】
0.7

8. 如图, 在三角形纸片 $ ABC $ 中, $ ∠ A = 65°, ∠ B = 70° $, 将 $ ∠ C $ 沿 $ DE $ 折叠, 使点 $ C $ 落在 $ △ ABC $ 外的点 $ C' $ 处. 若 $ ∠ 1 = 20° $, 则 $ ∠ 2 $ 的度数为 ().

A.$ 80° $
B.$ 90° $
C.$ 100° $
D.$ 110° $

D

【分析】
要解决这道题，首先利用三角形内角和定理计算出△ABC中∠C的度数；再根据折叠的性质得到折叠后∠C'与∠C相等；最后结合三角形外角的性质，逐步推导∠2与已知角的数量关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 计算∠C的度数：在△ABC中，根据三角形内角和为$180°$，可得
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 65° - 70° = 45°$
2. 由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，因此$∠ C' = ∠ C = 45°$
3. 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。设AC'与DE交于点F，首先在$△ EFC'$中，$∠ DFC = ∠ 1 + ∠ C' = 20° + 45° = 65°$；再在$△ DFC$中，$∠ 2 = ∠ C + ∠ DFC = 45° + 65° = 110°$
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的常规题型，需要结合图形找到各角之间的关联，熟练掌握三角形的相关性质和折叠的特点是解题的关键，解题时注意不要混淆角的对应关系。
【难度系数】
0.7

9. 将一副三角尺按方式摆放，则∠ABE=°, ∠ACD=°

$\boldsymbol{45}$，$\boldsymbol{120}$

【分析】
首先要牢记一副三角尺的固有内角度数：一个三角尺的三个角为90°、60°、30°，另一个等腰直角三角尺的三个角为90°、45°、45°。观察图形可知B、C、D三点共线，构成平角180°。求∠ABE时，用直角∠ABC减去等腰直角三角尺的45°锐角即可；求∠ACD时，利用平角的性质，用180°减去∠ACB的60°就能得到结果。
【解析】
解：根据三角尺的角度特征可知：
∠ABC=90°，∠ACB=60°，等腰直角三角尺的锐角∠EBC=45°。
1. 计算∠ABE：
$∠ ABE = ∠ ABC - ∠ EBC = 90° - 45° = 45°$
2. 计算∠ACD：
∵ B、C、D在同一直线上，∠BCD是平角，即$∠ ACB + ∠ ACD = 180°$
∴ $∠ ACD = 180° - ∠ ACB = 180° - 60° = 120°$
【答案】
$\boldsymbol{45}$，$\boldsymbol{120}$
【知识点】
三角尺角度特征，平角的定义，角度和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是熟练掌握一副三角尺的各个角度，结合平角的性质进行简单的角度和差运算即可求解。
【难度系数】
0.85

10. 如图,已知在$△ ABC$中,$CE$是外角$∠ ACD$的平分线,$BE$是$∠ ABC$的平分线.
(1)求证:$∠ A=2∠ E$;
(2)若$∠ A = ∠ ABC$,求证:$AB// CE$.

证明：(1)
∵ CE是∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线，
∴ ∠ACD = 2∠ECD，∠ABC = 2∠EBC。
∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD = ∠A + ∠ABC，
即 $2∠ ECD = ∠ A + 2∠ EBC$。
又∵ ∠ECD是△EBC的外角，
∴ ∠ECD = ∠E + ∠EBC，
代入得 $2(∠ E + ∠ EBC) = ∠ A + 2∠ EBC$，
化简得 $2∠ E + 2∠ EBC = ∠ A + 2∠ EBC$，
∴ $∠ A = 2∠ E$。
(2)
∵ ∠A = ∠ABC，∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD = ∠A + ∠ABC = 2∠ABC。
∵ CE是∠ACD的平分线，
∴ $∠ ECD = \frac{1}{2}∠ ACD$，
∴ ∠ECD = ∠ABC。
根据同位角相等，两直线平行，
∴ $AB// CE$。

【分析】
(1) 要证明∠A=2∠E，首先利用角平分线的定义得到∠ACD与∠ECD、∠ABC与∠EBC的倍数关系；再根据三角形外角的性质，分别写出△ABC的外角∠ACD、△EBC的外角∠ECD对应的内角和关系式；最后将两个式子联立，消去公共的∠EBC，即可推出∠A和∠E的数量关系。
(2) 要证明AB//CE，可通过证明同位角相等推导。观察图形得∠ABC和∠ECD是同位角，结合已知∠A=∠ABC，利用三角形外角性质得到∠ACD与∠ABC的倍数关系，再结合CE是∠ACD的平分线，可证得∠ECD=∠ABC，即可根据平行线的判定定理得到结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ CE是∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线，
∴ ∠ACD = 2∠ECD，∠ABC = 2∠EBC。
∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD = ∠A + ∠ABC，
即 $2∠ ECD = ∠ A + 2∠ EBC$。
又
∵ ∠ECD是△EBC的外角，
∴ ∠ECD = ∠E + ∠EBC，
将上式代入$2∠ ECD = ∠ A + 2∠ EBC$得：
$2(∠ E + ∠ EBC) = ∠ A + 2∠ EBC$，
化简得 $2∠ E + 2∠ EBC = ∠ A + 2∠ EBC$，
两边同时减去$2∠EBC$得：$∠ A = 2∠ E$。
(2) 证明：
∵ ∠A = ∠ABC，∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD = ∠A + ∠ABC = 2∠ABC。
∵ CE是∠ACD的平分线，
∴ $∠ ECD = \frac{1}{2}∠ ACD$，
∴ ∠ECD = ∠ABC。
∵ ∠ECD和∠ABC是同位角，根据同位角相等，两直线平行，
∴ $AB// CE$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠A=2∠E}$得证；
(2) $\boldsymbol{AB// CE}$得证。
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，将角平分线、三角形外角性质和平行线判定结合考查，解题的核心是找准外角对应的不相邻内角，梳理清楚各角之间的数量关系，熟练掌握基础定理就能快速推导。
【难度系数】
0.7

11.(推理能力)如图,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,BD,CD分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN.
(1)若∠BAC=70°,求∠BOC的度数;
(2)探究∠BDC与∠A的数量关系.

解：
(1) ∵ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴ ∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB。
在△ABC中，∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°，
∵ ∠BAC = 70°，
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - 70° = 110°，
∴ ∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×110° = 55°。
在△BOC中，∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°，
∴ ∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 55° = 125°。
(2) ∵ BD平分∠CBM，CD平分∠BCN，
∴ ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠CBM，∠DCB = $\frac{1}{2}$∠BCN。
∵ ∠CBM是△ABC的外角，∴ ∠CBM = ∠A + ∠ACB，
同理∠BCN = ∠A + ∠ABC，
∴ ∠CBM + ∠BCN = ∠A + ∠ACB + ∠A + ∠ABC = 180° + ∠A，
∴ ∠DBC + ∠DCB = $\frac{1}{2}$(∠CBM + ∠BCN) = $\frac{1}{2}$(180° + ∠A) = 90° + $\frac{1}{2}$∠A。
在△BDC中，∠BDC = 180° - (∠DBC + ∠DCB) = 180° - (90° + $\frac{1}{2}$∠A) = 90° - $\frac{1}{2}$∠A，
即∠BDC与∠A的数量关系为：$\boldsymbol{∠BDC = 90° - \frac{1}{2}∠A}$。

【分析】
(1) 求解∠BOC的度数时，首先利用角平分线的定义，得到∠OBC、∠OCB分别是∠ABC、∠ACB的一半；再结合三角形内角和定理，先求出∠ABC与∠ACB的和，进而得到∠OBC与∠OCB的和，最后再次利用三角形内角和定理即可算出∠BOC的度数。
(2) 探究∠BDC与∠A的数量关系时，首先根据角平分线定义得到∠DBC、∠DCB分别是外角∠CBM、∠BCN的一半；再利用三角形外角的性质，将两个外角用∠A和△ABC的内角表示，求出两个外角的和，进而得到∠DBC与∠DCB的和，最后结合三角形内角和定理化简即可得到两者的数量关系。
【解析】
(1)
∵ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴ ∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB。
在△ABC中，∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°，
∵ ∠BAC = 70°，
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - 70° = 110°，
∴ ∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×110° = 55°。
在△BOC中，∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°，
∴ ∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 55° = 125°。
(2)
∵ BD平分∠CBM，CD平分∠BCN，
∴ ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠CBM，∠DCB = $\frac{1}{2}$∠BCN。
∵ ∠CBM是△ABC的外角，
∴ ∠CBM = ∠A + ∠ACB，
同理∠BCN = ∠A + ∠ABC，
∴ ∠CBM + ∠BCN = ∠A + ∠ACB + ∠A + ∠ABC = 180° + ∠A，
∴ ∠DBC + ∠DCB = $\frac{1}{2}$(∠CBM + ∠BCN) = $\frac{1}{2}$(180° + ∠A) = 90° + $\frac{1}{2}$∠A。
在△BDC中，∠BDC = 180° - (∠DBC + ∠DCB) = 180° - (90° + $\frac{1}{2}$∠A) = 90° - $\frac{1}{2}$∠A。
【答案】
(1) $\boldsymbol{125°}$
(2) $\boldsymbol{∠BDC = 90° - \frac{1}{2}∠A}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，解题过程中用到了整体代换的思想，熟练掌握角平分线性质、三角形内角和与外角性质是解决此类问题的核心，这类题型有助于提升逻辑推理和角度推导的能力。
【难度系数】
0.7