1.线段的垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离.
2.线段的垂直平分线的判定
与线段两个端点的点在这条线段的垂直平分线上.
3.逆命题与逆定理
(1)两个命题的题设、结论正好相反,我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题,那么另一个叫作它的.
(2)如果一个定理的逆命题经过证明是,那么它也是一个,这两个定理叫作互逆定理.其中一个定理叫作另一个定理的.

解：
1. 相等
2. 距离相等
3. (1) 逆命题
(2) 真命题；定理；逆定理

【分析】
本题均为基础概念识记类题目，解题时只需回忆对应课本知识点逐一匹配填空即可：1. 回忆线段垂直平分线的性质内容对应填空；2. 回忆线段垂直平分线的判定内容对应填空；3. 回忆互逆命题、互逆定理的相关定义，逐小问匹配填空。
【解析】
1. 根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，因此此处填“相等”。
2. 根据线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此此处填“距离相等”。
3. (1) 根据互逆命题的定义：题设、结论正好相反的两个命题为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个就叫它的逆命题，因此此处填“逆命题”。
(2) 根据互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理，因此依次填“真命题”“定理”“逆定理”。
【答案】
1. 相等
2. 距离相等
3. (1) 逆命题
(2) 真命题；定理；逆定理
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；互逆命题与逆定理
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是对教材基础定义的记忆，熟练掌握相关概念即可轻松得分。
【难度系数】
0.9

【例1】如图,在$△ ABC$中,边$BC$的垂直平分线$MN$交$AC$于点$D$,交$BC$于点$E$,连接$BD$.若$CE=4$,$△ BDC$的周长为$18$,求$BD$的长.

解：
∵ MN是BC的垂直平分线，
∴ BE=CE，BD=CD。
∵ CE=4，
∴ BC=2CE=8。
∵ △BDC的周长为18，
∴ BD + CD + BC = 18，
即 2BD + 8 = 18，
解得 BD=5。

【分析】
解题时首先梳理题干条件，看到边BC的垂直平分线MN，先回忆线段垂直平分线的相关性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，且垂直平分线平分对应线段。第一步先利用垂直平分线的性质得到BE=CE、BD=CD，结合已知CE的长度求出BC的总长；再结合△BDC的周长条件，将周长公式里的CD替换为和它相等的BD，代入数值列等式就能求出BD的长度。
【解析】
∵ MN是BC的垂直平分线，
∴ BE=CE，BD=CD。
∵ CE=4，
∴ BC=2CE=2×4=8。
∵ △BDC的周长为18，
∴ BD + CD + BC = 18，
又
∵ BD=CD，将CD替换为BD、BC=8代入得：
2BD + 8 = 18，
解得 BD=5。
【答案】
BD的长为5
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题，解题核心是利用垂直平分线的性质得到等线段，将周长公式中的未知量统一为同一个量，通过简单计算即可得出结果，掌握相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

【变式1】如图，AB是线段CD的垂直平分线，垂足为G，E，F是AB上的两点.下列结论中不正确的是（）.


A.$EC=CD$
B.$EC=ED$
C.$CF=DF$
D.$CG=DG$

A

【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的相关定义和性质，第一步先根据垂直平分线的定义判断与CD直接相关的线段关系，第二步再根据“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的性质，判断E、F点对应的线段关系，最后逐一排查选项，选出错误结论即可。
【解析】
解：
∵AB是线段CD的垂直平分线，垂足为G，
∴根据线段垂直平分线的定义可得：CG=DG，AB⊥CD，故D选项结论正确，不符合题意；
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∵点E在AB上，
∴EC=ED，故B选项结论正确，不符合题意；
∵点F在AB上，
∴CF=DF，故C选项结论正确，不符合题意；
没有已知条件能证明EC=CD，故A选项结论错误，符合题意。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的定义；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的定义与性质，做题时注意审题，明确题目要求选择“不正确”的结论，避免因粗心误选正确结论。
【难度系数】
0.9

【例2】如图,点P在线段AB的垂直平分线上,
$PC ⊥ PA,PD ⊥ PB,AC=BD.$
求证:点P在线段CD的垂直平分线上.

证明：
∵ 点P在线段AB的垂直平分线上，
∴ PA = PB。
∵ PC⊥PA，PD⊥PB，
∴ ∠APC = ∠BPD = 90°。
在Rt△PAC和Rt△PBD中，
$\{\begin{array}{l}PA = PB \\AC = BD\end{array} $
∴ Rt△PAC ≌ Rt△PBD（HL）。
∴ PC = PD。
∴ 点P在线段CD的垂直平分线上。

【分析】
要证明点P在线段CD的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理，只需证明PC=PD即可。首先利用“点P在线段AB的垂直平分线上”的条件，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB；再结合PC⊥PA、PD⊥PB的垂直条件，可得Rt△PAC和Rt△PBD，已知斜边AC=BD、直角边PA=PB，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，从而得到对应边PC=PD，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 点P在线段AB的垂直平分线上，
∴ PA = PB。
∵ PC⊥PA，PD⊥PB，
∴ ∠APC = ∠BPD = 90°。
在Rt△PAC和Rt△PBD中，
$\{\begin{array}{l}PA = PB \\AC = BD\end{array} $
∴ Rt△PAC ≌ Rt△PBD（HL）。
∴ PC = PD。
∴ 点P在线段CD的垂直平分线上。
【答案】
证明：
∵ 点P在线段AB的垂直平分线上，
∴ PA = PB。
∵ PC⊥PA，PD⊥PB，
∴ ∠APC = ∠BPD = 90°。
在Rt△PAC和Rt△PBD中，
$\{\begin{array}{l}PA = PB \\AC = BD\end{array} $
∴ Rt△PAC ≌ Rt△PBD（HL）。
∴ PC = PD。
∴ 点P在线段CD的垂直平分线上。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；直角三角形全等的判定；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是将“点在线段垂直平分线上”的证明转化为“点到线段两端距离相等”的证明，通过全等三角形得到对应边相等是此类问题的常用解题思路，需要熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定、全等三角形的判定定理。
【难度系数】
0.8

【变式2】下列说法:①若$PA=PB,EA=EB$,则直线PE垂直平分线段AB;②若$PA=PB$,则点P必是线段AB的垂直平分线上的点;③若$EA=EB$,则过点E的直线垂直平分线段AB.其中正确的有().

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

C

【分析】
解题时需结合线段垂直平分线的判定定理和两点确定一条直线的公理，逐个分析三个说法的正误：首先明确，到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，而确定一条垂直平分线需要两个满足条件的点，据此逐一判断即可。
【解析】
我们依据线段垂直平分线的判定和直线公理分析：
1. 分析说法①：若$PA=PB$，则点$P$在线段$AB$的垂直平分线上；若$EA=EB$，则点$E$也在线段$AB$的垂直平分线上。根据“两点确定一条直线”，可知直线$PE$就是线段$AB$的垂直平分线，即$PE$垂直平分$AB$，故①正确。
2. 分析说法②：根据线段垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。因此$PA=PB$时，点$P$必是线段$AB$垂直平分线上的点，故②正确。
3. 分析说法③：若$EA=EB$，仅能说明点$E$在线段$AB$的垂直平分线上，但过点$E$的直线有无数条，只有同时经过另一个在$AB$垂直平分线上的点的直线才是$AB$的垂直平分线，因此并非所有过$E$的直线都垂直平分$AB$，故③错误。
综上，正确的说法有①②，共2个。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题易错点是对说法③的判断，要注意区分“点在垂直平分线上”和“直线是垂直平分线”的差异，单个符合条件的点只能确定它在垂直平分线上，无法确定整条垂直平分线，需要两个符合条件的点才能确定唯一的垂直平分线。
【难度系数】
0.7