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9. 若a,b,c是$△ ABC$的三边的长，化简$|a-b-c|+|b-c-a|+|c+a-b|.$
答案
解：
∵a，b，c是△ABC的三边长，
根据三角形两边之和大于第三边，可得：
$b+c＞a$，即$a-b-c＜0$，
$a+c＞b$，即$b-c-a＜0$，
$a+c＞b$，即$c+a-b＞0$，
∴原式$=-(a-b-c)-(b-c-a)+(c+a-b)$
$=-a+b+c-b+c+a+c+a-b$
$=a-b+3c$
∵a，b，c是△ABC的三边长，
根据三角形两边之和大于第三边，可得：
$b+c＞a$，即$a-b-c＜0$，
$a+c＞b$，即$b-c-a＜0$，
$a+c＞b$，即$c+a-b＞0$，
∴原式$=-(a-b-c)-(b-c-a)+(c+a-b)$
$=-a+b+c-b+c+a+c+a-b$
$=a-b+3c$
解析
【分析】
要化简含绝对值的式子，首先要明确绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，因此需要先判断每个绝对值内代数式的正负。已知a、b、c是三角形的三边长，可利用三角形“任意两边之和大于第三边”的性质推导三个绝对值内式子的符号，再去绝对值后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：
∵a，b，c是△ABC的三边长，
根据三角形两边之和大于第三边的性质，可得：
$b+c＞a$，移项得$a-b-c＜0$，
$a+c＞b$，移项得$b-c-a = b-(c+a)＜0$，
$a+c＞b$，即$c+a-b＞0$，
根据绝对值的性质去绝对值，原式转化为：
$=-(a-b-c)-(b-c-a)+(c+a-b)$
去括号得：
$=-a+b+c-b+c+a+c+a-b$
合并同类项得：
$=a-b+3c$
【答案】
$a-b+3c$
【知识点】
三角形三边关系、绝对值的化简、整式的加减运算
【点评】
本题是三角形性质与代数运算结合的基础题型，解题核心是熟练运用三角形三边关系判断绝对值内表达式的正负，去括号时要注意符号变化，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.75
要化简含绝对值的式子，首先要明确绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，因此需要先判断每个绝对值内代数式的正负。已知a、b、c是三角形的三边长，可利用三角形“任意两边之和大于第三边”的性质推导三个绝对值内式子的符号，再去绝对值后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：
∵a，b，c是△ABC的三边长，
根据三角形两边之和大于第三边的性质，可得：
$b+c＞a$，移项得$a-b-c＜0$，
$a+c＞b$，移项得$b-c-a = b-(c+a)＜0$，
$a+c＞b$，即$c+a-b＞0$，
根据绝对值的性质去绝对值，原式转化为：
$=-(a-b-c)-(b-c-a)+(c+a-b)$
去括号得：
$=-a+b+c-b+c+a+c+a-b$
合并同类项得：
$=a-b+3c$
【答案】
$a-b+3c$
【知识点】
三角形三边关系、绝对值的化简、整式的加减运算
【点评】
本题是三角形性质与代数运算结合的基础题型，解题核心是熟练运用三角形三边关系判断绝对值内表达式的正负，去括号时要注意符号变化，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.75
10. 小明准备用一段长 50 m 的篱笆围成一块三角形形状的场地. 已知三角形的第一条边的长为 n m,第二条边的长比第一条边的长的2倍少2 m.
(1)用含 n 的式子表示第三条边的长.
(2)第一条边的长能否为5 m? 为什么?
(3)能否围成等腰三角形场地? 若能,请求出n的值;若不能,请说明理由.
(1)用含 n 的式子表示第三条边的长.
(2)第一条边的长能否为5 m? 为什么?
(3)能否围成等腰三角形场地? 若能,请求出n的值;若不能,请说明理由.
答案
解：
(1) 由题意得，第二条边的长为$(2n-2)\ \mathrm{m}$，
第三条边的长为：$50 - n - (2n - 2) = (52 - 3n)\ \mathrm{m}$。
(2) 第一条边的长不能为$5\ \mathrm{m}$，理由如下：
当$n=5$时，三边长分别为$5\ \mathrm{m}$，$2×5 - 2 = 8\ \mathrm{m}$，$52 - 3×5 = 37\ \mathrm{m}$，
因为$5 + 8 = 13 ＜ 37$，不满足三角形两边之和大于第三边，
所以第一条边的长不能为$5\ \mathrm{m}$。
(3) 能围成等腰三角形场地，分三种情况讨论：
① 当$n = 2n - 2$时，解得$n=2$，
此时三边长为$2\ \mathrm{m}$，$2\ \mathrm{m}$，$46\ \mathrm{m}$，
因为$2 + 2 ＜ 46$，不满足三角形三边关系，舍去；
② 当$n = 52 - 3n$时，解得$n=13$，
此时三边长为$13\ \mathrm{m}$，$24\ \mathrm{m}$，$13\ \mathrm{m}$，
因为$13 + 13 ＞ 24$，满足三角形三边关系，符合要求；
③ 当$2n - 2 = 52 - 3n$时，解得$n=10.8$，
此时三边长为$10.8\ \mathrm{m}$，$19.6\ \mathrm{m}$，$19.6\ \mathrm{m}$，
因为$10.8 + 19.6 ＞ 19.6$，满足三角形三边关系，符合要求。
综上，能围成等腰三角形场地，$n$的值为$13$或$10.8$。
(1) 由题意得，第二条边的长为$(2n-2)\ \mathrm{m}$，
第三条边的长为：$50 - n - (2n - 2) = (52 - 3n)\ \mathrm{m}$。
(2) 第一条边的长不能为$5\ \mathrm{m}$，理由如下：
当$n=5$时，三边长分别为$5\ \mathrm{m}$，$2×5 - 2 = 8\ \mathrm{m}$，$52 - 3×5 = 37\ \mathrm{m}$，
因为$5 + 8 = 13 ＜ 37$，不满足三角形两边之和大于第三边，
所以第一条边的长不能为$5\ \mathrm{m}$。
(3) 能围成等腰三角形场地，分三种情况讨论：
① 当$n = 2n - 2$时，解得$n=2$，
此时三边长为$2\ \mathrm{m}$，$2\ \mathrm{m}$，$46\ \mathrm{m}$，
因为$2 + 2 ＜ 46$，不满足三角形三边关系，舍去；
② 当$n = 52 - 3n$时，解得$n=13$，
此时三边长为$13\ \mathrm{m}$，$24\ \mathrm{m}$，$13\ \mathrm{m}$，
因为$13 + 13 ＞ 24$，满足三角形三边关系，符合要求；
③ 当$2n - 2 = 52 - 3n$时，解得$n=10.8$，
此时三边长为$10.8\ \mathrm{m}$，$19.6\ \mathrm{m}$，$19.6\ \mathrm{m}$，
因为$10.8 + 19.6 ＞ 19.6$，满足三角形三边关系，符合要求。
综上，能围成等腰三角形场地，$n$的值为$13$或$10.8$。
解析
【分析】
本题围绕三角形周长和三边关系展开，解题思路如下：
(1) 先根据题意写出第二条边的表达式，再利用三角形周长等于三边之和，用总长减去前两条边的长度即可得到第三条边的表达式；
(2) 把n=5代入三边长的表达式，得到三条边的具体长度，再根据三角形“两边之和大于第三边”的关系判断是否能构成三角形，即可得出结论；
(3) 等腰三角形有两条边长度相等，因此分三种情况讨论：第一条边等于第二条边、第一条边等于第三条边、第二条边等于第三条边，分别求解n的值后，再代入验证三边是否满足三角形三边关系，舍去不符合的情况即可。
【解析】
(1) 由题意得，第二条边的长为$(2n-2)\ \mathrm{m}$，
三角形周长为50m，因此第三条边的长为：
$50 - n - (2n - 2) = 50 -n -2n +2 = (52 - 3n)\ \mathrm{m}$。
(2) 第一条边的长不能为$5\ \mathrm{m}$，理由如下：
当$n=5$时，三边长分别为：
第一条边：$5\ \mathrm{m}$，
第二条边：$2×5 - 2 = 8\ \mathrm{m}$，
第三条边：$52 - 3×5 = 37\ \mathrm{m}$，
$\because 5 + 8 = 13 ＜ 37$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，不能构成三角形，
$\therefore$ 第一条边的长不能为$5\ \mathrm{m}$。
(3) 能围成等腰三角形场地，分三种情况讨论：
① 当第一条边与第二条边相等时，即$n = 2n - 2$，
解得$n=2$，
此时三边长为$2\ \mathrm{m}$，$2\ \mathrm{m}$，$46\ \mathrm{m}$，
$\because 2 + 2 = 4 ＜ 46$，不满足三角形三边关系，舍去；
② 当第一条边与第三条边相等时，即$n = 52 - 3n$，
移项得$4n=52$，解得$n=13$，
此时三边长为$13\ \mathrm{m}$，$2×13 -2 =24\ \mathrm{m}$，$13\ \mathrm{m}$，
$\because 13 + 13 =26 ＞ 24$，满足三角形三边关系，符合要求；
③ 当第二条边与第三条边相等时，即$2n - 2 = 52 - 3n$，
移项得$5n=54$，解得$n=10.8$，
此时三边长为$10.8\ \mathrm{m}$，$2×10.8 -2 =19.6\ \mathrm{m}$，$19.6\ \mathrm{m}$，
$\because 10.8 + 19.6 =30.4 ＞ 19.6$，满足三角形三边关系，符合要求。
综上，能围成等腰三角形场地，$n$的值为$13$或$10.8$。
【答案】
(1) 第三条边的长为$\boldsymbol{(52-3n)\ \mathrm{m}}$；
(2) 不能，当$n=5$时三边长为5m、8m、37m，$5+8＜37$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形；
(3) 能，$n$的值为$\boldsymbol{13}$或$\boldsymbol{10.8}$。
【知识点】
三角形三边关系；代数式表示数；等腰三角形性质
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的实际应用，解决此类问题时，涉及等腰三角形的边长计算要注意分类讨论所有可能的等边情况，且每种情况得到的边长都需要验证是否满足三角形三边关系，避免出现不符合实际的错解。
【难度系数】
0.7
本题围绕三角形周长和三边关系展开，解题思路如下：
(1) 先根据题意写出第二条边的表达式，再利用三角形周长等于三边之和，用总长减去前两条边的长度即可得到第三条边的表达式；
(2) 把n=5代入三边长的表达式，得到三条边的具体长度，再根据三角形“两边之和大于第三边”的关系判断是否能构成三角形，即可得出结论；
(3) 等腰三角形有两条边长度相等，因此分三种情况讨论：第一条边等于第二条边、第一条边等于第三条边、第二条边等于第三条边，分别求解n的值后，再代入验证三边是否满足三角形三边关系，舍去不符合的情况即可。
【解析】
(1) 由题意得，第二条边的长为$(2n-2)\ \mathrm{m}$，
三角形周长为50m，因此第三条边的长为：
$50 - n - (2n - 2) = 50 -n -2n +2 = (52 - 3n)\ \mathrm{m}$。
(2) 第一条边的长不能为$5\ \mathrm{m}$，理由如下：
当$n=5$时，三边长分别为：
第一条边：$5\ \mathrm{m}$，
第二条边：$2×5 - 2 = 8\ \mathrm{m}$，
第三条边：$52 - 3×5 = 37\ \mathrm{m}$，
$\because 5 + 8 = 13 ＜ 37$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，不能构成三角形，
$\therefore$ 第一条边的长不能为$5\ \mathrm{m}$。
(3) 能围成等腰三角形场地，分三种情况讨论：
① 当第一条边与第二条边相等时，即$n = 2n - 2$，
解得$n=2$，
此时三边长为$2\ \mathrm{m}$，$2\ \mathrm{m}$，$46\ \mathrm{m}$，
$\because 2 + 2 = 4 ＜ 46$，不满足三角形三边关系，舍去；
② 当第一条边与第三条边相等时，即$n = 52 - 3n$，
移项得$4n=52$，解得$n=13$，
此时三边长为$13\ \mathrm{m}$，$2×13 -2 =24\ \mathrm{m}$，$13\ \mathrm{m}$，
$\because 13 + 13 =26 ＞ 24$，满足三角形三边关系，符合要求；
③ 当第二条边与第三条边相等时，即$2n - 2 = 52 - 3n$，
移项得$5n=54$，解得$n=10.8$，
此时三边长为$10.8\ \mathrm{m}$，$2×10.8 -2 =19.6\ \mathrm{m}$，$19.6\ \mathrm{m}$，
$\because 10.8 + 19.6 =30.4 ＞ 19.6$，满足三角形三边关系，符合要求。
综上，能围成等腰三角形场地，$n$的值为$13$或$10.8$。
【答案】
(1) 第三条边的长为$\boldsymbol{(52-3n)\ \mathrm{m}}$；
(2) 不能，当$n=5$时三边长为5m、8m、37m，$5+8＜37$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形；
(3) 能，$n$的值为$\boldsymbol{13}$或$\boldsymbol{10.8}$。
【知识点】
三角形三边关系；代数式表示数；等腰三角形性质
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的实际应用，解决此类问题时，涉及等腰三角形的边长计算要注意分类讨论所有可能的等边情况，且每种情况得到的边长都需要验证是否满足三角形三边关系，避免出现不符合实际的错解。
【难度系数】
0.7
11.(应用意识)(1)如图(1),由三角形两边的和大于第三边,得AB+AD＞,PD+CD＞.将不等式左边、右边分别相加,得AB+AD+PD+CD＞,即AB+AC＞. (2)仿照题(1)的方法,请你利用图(2),过点P作直线交AB,AC于点M,N,试说明:AB+AC＞PB+PC. 
答案
解：
(1) $BD$；$PC$；$BD+PC$；$PB+PC$
(2) 在$△ AMN$中，由三角形两边的和大于第三边，得$AM+AN＞MN$。
在$△ MBP$中，同理可得$BM+MP＞BP$。
在$△ NCP$中，同理可得$NC+NP＞PC$。
将上述三个不等式的左、右两边分别相加，得：
$AM+AN+BM+MP+NC+NP＞MN+BP+PC$
整理左边可得：$(AM+BM)+(AN+NC)+(MP+NP)=AB+AC+MN$
因此$AB+AC+MN＞MN+PB+PC$
两边同时减去$MN$，即可证得$AB+AC＞PB+PC$。
(1) $BD$；$PC$；$BD+PC$；$PB+PC$
(2) 在$△ AMN$中，由三角形两边的和大于第三边，得$AM+AN＞MN$。
在$△ MBP$中，同理可得$BM+MP＞BP$。
在$△ NCP$中，同理可得$NC+NP＞PC$。
将上述三个不等式的左、右两边分别相加，得：
$AM+AN+BM+MP+NC+NP＞MN+BP+PC$
整理左边可得：$(AM+BM)+(AN+NC)+(MP+NP)=AB+AC+MN$
因此$AB+AC+MN＞MN+PB+PC$
两边同时减去$MN$，即可证得$AB+AC＞PB+PC$。
解析
【分析】
(1) 解题时直接运用三角形两边之和大于第三边的性质，先分别在△ABD和△PDC中写出对应不等式，再将两个不等式左右两边相加，合并线段后化简即可得到结果。
(2) 仿照(1)的思路，先拆分出△AMN、△MBP、△NCP三个三角形，分别对三个三角形用三边关系列出不等式，再将三个不等式左右相加，合并同类线段后消去两边公共的MN，即可证得结论。
【解析】
(1) 在△ABD中，根据三角形两边之和大于第三边，得$AB+AD＞BD$；
在△PDC中，根据三角形两边之和大于第三边，得$PD+CD＞PC$；
将两个不等式左右两边分别相加，得$AB+AD+PD+CD＞BD+PC$，
其中$AD+CD=AC$，$BD=PB+PD$，代入化简后得$AB+AC＞PB+PC$。
(2) 证明过程如下：
在$△ AMN$中，由三角形两边的和大于第三边，得$AM+AN＞MN$。
在$△ MBP$中，由三角形两边的和大于第三边，得$BM+MP＞BP$。
在$△ NCP$中，由三角形两边的和大于第三边，得$NC+NP＞PC$。
将上述三个不等式的左、右两边分别相加，得：
$AM+AN+BM+MP+NC+NP＞MN+BP+PC$
整理左边可得：$(AM+BM)+(AN+NC)+(MP+NP)=AB+AC+MN$
因此$AB+AC+MN＞MN+PB+PC$
两边同时减去$MN$，即可证得$AB+AC＞PB+PC$。
【答案】
(1) $BD$；$PC$；$BD+PC$；$PB+PC$
(2) 证明如上，$AB+AC＞PB+PC$成立
【知识点】
三角形三边关系；不等式的基本性质
【点评】
本题考查三角形三边关系的应用，采用“拆分三角形列不等式+合并化简”的方法证明线段和的不等关系，解题关键是合理拆分图形，准确梳理线段间的数量关系。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时直接运用三角形两边之和大于第三边的性质，先分别在△ABD和△PDC中写出对应不等式，再将两个不等式左右两边相加，合并线段后化简即可得到结果。
(2) 仿照(1)的思路，先拆分出△AMN、△MBP、△NCP三个三角形，分别对三个三角形用三边关系列出不等式，再将三个不等式左右相加，合并同类线段后消去两边公共的MN，即可证得结论。
【解析】
(1) 在△ABD中，根据三角形两边之和大于第三边，得$AB+AD＞BD$；
在△PDC中，根据三角形两边之和大于第三边，得$PD+CD＞PC$；
将两个不等式左右两边分别相加，得$AB+AD+PD+CD＞BD+PC$，
其中$AD+CD=AC$，$BD=PB+PD$，代入化简后得$AB+AC＞PB+PC$。
(2) 证明过程如下：
在$△ AMN$中，由三角形两边的和大于第三边，得$AM+AN＞MN$。
在$△ MBP$中，由三角形两边的和大于第三边，得$BM+MP＞BP$。
在$△ NCP$中，由三角形两边的和大于第三边，得$NC+NP＞PC$。
将上述三个不等式的左、右两边分别相加，得：
$AM+AN+BM+MP+NC+NP＞MN+BP+PC$
整理左边可得：$(AM+BM)+(AN+NC)+(MP+NP)=AB+AC+MN$
因此$AB+AC+MN＞MN+PB+PC$
两边同时减去$MN$，即可证得$AB+AC＞PB+PC$。
【答案】
(1) $BD$；$PC$；$BD+PC$；$PB+PC$
(2) 证明如上，$AB+AC＞PB+PC$成立
【知识点】
三角形三边关系；不等式的基本性质
【点评】
本题考查三角形三边关系的应用，采用“拆分三角形列不等式+合并化简”的方法证明线段和的不等关系，解题关键是合理拆分图形，准确梳理线段间的数量关系。
【难度系数】
0.7
