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12. 下列式子中一定有平方根的是 （
A.$-a$
B.$a-3$
C.$a^2+1$
D.$2-a^2$
C
）A.$-a$
B.$a-3$
C.$a^2+1$
D.$2-a^2$
答案
12. C
13. 一题多变（教材知识技能改编）如果$\sqrt{a}$的平方根等于$\pm2$，那么$a=$
变式 改为已知被开方数，求两个平方根之间的关系
若$m,n$分别是5的两个平方根，则$5(m+n)-mn$的值为
16
。变式 改为已知被开方数，求两个平方根之间的关系
若$m,n$分别是5的两个平方根，则$5(m+n)-mn$的值为
5
。答案
13. 16 变式 5
14. 若$m^2=9$，$n^2=16$，且$mn＞0$，则$2m-n$的值为
±2
。答案
14. ±2
15. 万唯原创 如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵的规律，第8行倒数第二个数是
根据数阵的规律，第8行倒数第二个数是
$-\sqrt{71}$
。答案
15. $-\sqrt{71}$
16. 万唯原创 已知$9x^2 - 169 = 0$，且$x＞0$，求$\sqrt{3x - 12}$的平方根。
答案
16. 解:因为$9x^2-169=0$,
所以$9x^2=169$,所以$(3x)^2=169$.
因为$x＞0$,所以$3x=13$,
所以$\sqrt{3x-12}=\sqrt{13-12}=1$,
因为1的平方根为±1.
所以$\sqrt{3x-12}$的平方根为±1。
所以$9x^2=169$,所以$(3x)^2=169$.
因为$x＞0$,所以$3x=13$,
所以$\sqrt{3x-12}=\sqrt{13-12}=1$,
因为1的平方根为±1.
所以$\sqrt{3x-12}$的平方根为±1。
17. (2025 河南平顶山四十一中阶段练改编)已知$\sqrt{2a-1}=3$，$3a+b-1$的平方根是$\pm4$，$c$是9的算术平方根；
(1)求$a,b,c$的值；
(2)求$a+5b-2c$的平方根。
(1)求$a,b,c$的值；
(2)求$a+5b-2c$的平方根。
答案
17. 解:(1)因为$\sqrt{2a-1}=3$,
所以$2a-1=9$,解得$a=5$.
因为$3a+b-1$的平方根是±4,
所以$3a+b-1=16$,解得$b=2$.
因为$c$是9的算术平方根,所以$c=3$；
(2)因为$a=5,b=2,c=3$,
所以$a+5b-2c=5+10-6=9$.
因为9的平方根是±3,
所以$a+5b-2c$的平方根是±3。
所以$2a-1=9$,解得$a=5$.
因为$3a+b-1$的平方根是±4,
所以$3a+b-1=16$,解得$b=2$.
因为$c$是9的算术平方根,所以$c=3$；
(2)因为$a=5,b=2,c=3$,
所以$a+5b-2c=5+10-6=9$.
因为9的平方根是±3,
所以$a+5b-2c$的平方根是±3。
18. (2025 福建厦门外国语学校期中改编)对于任意实数$a$和$b$,定义一种新运算$\oplus$:$a \oplus b = \sqrt{a} + (b-1)^2$,例如:$1 \oplus 2 = \sqrt{1} + (2-1)^2 = 2$.
(1)根据定义,$3 \oplus (-1) = \_\_\_\_\_\_$;
(2)求$121 \oplus [4 \oplus (-1)]$的平方根;
(3)若$9 \oplus m = 4$,求$m$的值.
(1)根据定义,$3 \oplus (-1) = \_\_\_\_\_\_$;
(2)求$121 \oplus [4 \oplus (-1)]$的平方根;
(3)若$9 \oplus m = 4$,求$m$的值.
答案
18. 解:(1)$\sqrt{3}+4$；【解法提示】$3\oplus(-1)=\sqrt{3}+(-1-1)^2=\sqrt{3}+4$.
(2)$121\oplus[4\oplus(-1)]$
$=121\oplus[\sqrt{4}+(-1-1)^2]$
$=121\oplus6$
$=\sqrt{121}+(6-1)^2$
$=11+25$
$=36$,
所以$121\oplus[4\oplus(-1)]$的平方根为$\pm\sqrt{36}=\pm6$；
(3)由题意可得$\sqrt{9}+(m-1)^2=4$,
所以$(m-1)^2=1$,
所以$m-1=-1$或$m-1=1$,
即$m=0$或$m=2$。
(2)$121\oplus[4\oplus(-1)]$
$=121\oplus[\sqrt{4}+(-1-1)^2]$
$=121\oplus6$
$=\sqrt{121}+(6-1)^2$
$=11+25$
$=36$,
所以$121\oplus[4\oplus(-1)]$的平方根为$\pm\sqrt{36}=\pm6$；
(3)由题意可得$\sqrt{9}+(m-1)^2=4$,
所以$(m-1)^2=1$,
所以$m-1=-1$或$m-1=1$,
即$m=0$或$m=2$。
