6.「2025贵州毕节二模，★★☆」如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为$(8,4)$，若直线DE经过点$D(2,0)$，且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式是（）

A.$y=x-2$
B.$y=2x-4$
C.$y=x-1$
D.$y=3x-6$

6.A

∵ 点 B 的坐标为$(8,4)$,
∴ 平行四边形的对称中心的坐标为$(4,2)$,由题意可知直线 DE 经过点$(4,2)$,设直线 DE 的函数表达式为 $y=kx+b\ (k≠0)$,把$(4,2)$,$(2,0)$代入,得$\begin{cases}4k+b=2,\\2k+b=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=1,\\b=-2,\end{cases}$
∴ 直线 DE 的表达式为 $y = x-2$.故选 A.

7.「2026贵州遵义汇川期中，★★☆」如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=7$，$BC=5$，将线段$AB$绕点$B$顺时针旋转$90°$得到线段$BD$，连接$CD$，则$CD$的长为（）

A.12
B.13
C.$\sqrt{149}$
D.14

7.B 如图,过点 D 作 $DE ⊥ BC$ 交 CB 的延长线于点 E,则$∠ E = 90°$,由旋转的性质可知 $AB = DB$, $∠ ABD = 90°$,
∴ $∠ABC+∠DBE=90°$.
∵ $∠ACB=90°$,
∴ $∠ABC+∠A=90°$,$∠ACB = ∠E$,
∴ $∠DBE= ∠A$. 在 $△ABC$ 和 $△BDE$ 中,$\begin{cases}∠A=∠DBE,\\∠ACB=∠E,\\AB=BD,\end{cases}$
∴ $△ABC ≅ △BDE$ (AAS),
∴ $DE = BC = 5$,$BE=AC=7$,
∴ $CE=CB+BE=5+7=12$,在 $Rt△CDE$ 中,由勾股定理得 $CD=\sqrt{CE^2+DE^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$.故选 B.

8.「2026河南开封期中，★★☆」如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为$(2,2\sqrt{3})$和$(6,0)$，连接OA，AB，将$△ OAB$绕点A逆时针旋转得到$△ CAD$，点O与点C对应，点B与点D对应，当点C落在x轴上时，点D的坐标为（）

A.$(7,3\sqrt{3})$
B.$(6,3\sqrt{3})$
C.$(6,2\sqrt{3})$
D.$(7,2\sqrt{3})$

8.A 如图,过点 D 作 $DE ⊥ x$ 轴于点 E,过点 A 作 $AH ⊥ x$ 轴于点 H,
∵ $A(2,2\sqrt{3})$,$B(6,0)$,
∴ $OH=2$,$AH=2\sqrt{3}$,$OB=6$,
∴ $OA=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=4$,由旋转的性质可知 $AC = AO = 4$,$CD = OB = 6$, $∠ACD = ∠AOB$,
∴ $HC=\sqrt{4^2-(2\sqrt{3})^2}=2$,
∴ $OC=OH+CH=4=OA=AC$,
∴ $△AOC$ 是等边三角形,
∴ $∠AOC=∠ACO=60°$,
∴ $∠ACD=∠AOC=60°$,
∴ $∠DCE=60°$,
∵ $DE ⊥ x$ 轴,
∴ $∠CDE=30°$,
∴ $CE=\dfrac{1}{2}CD=3$,
∴ $DE=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$,$OE=4+3=7$,
∴ $D(7,3\sqrt{3})$.故选 A.

9.「2026浙江温州乐清期中，★★☆」如图，点E是正方形ABCD的边CD上一动点，连接BE，以点B为旋转中心，将BE顺时针旋转90°得到BF，连接FE，FC，若AB=2，则△ECF面积的最大值为（）

A.$\sqrt{2}$
B.1
C.2
D.0.5

9.D 如图,过点 F 作 $FG ⊥ AB$ 交 AB 的延长线于点 G,GF 的延长线和 DC 的延长线交于点 H,
∵ 在正方形 ABCD 中,$AB=2$,
∴ $AB// CD$,$∠ABC=90°$,$BC=AB=2$,易知四边形 BGHC 是矩形,
∴ $∠H=90°$,$GH=BC=2$.由旋转的性质得 $∠EBF=90°$,$BE=BF$,
∵ $∠CBG=90°$,
∴ $∠EBC+∠CBF=∠FBG+∠CBF=90°$,
∴ $∠EBC = ∠FBG$,
∵ $∠BCE = ∠G = 90°$,
∴ $△BCE ≅ △BGF$ (AAS),
∴ $CE = GF$,设 $CE = GF = x$, 则 $FH = 2 - x$,
∴ $S_{△ECF}=\dfrac{1}{2}x(2-x)=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+\dfrac{1}{2}$,
∴ 当 $x=1$ 时,$S_{△ECF}$ 取得最大值,为$\dfrac{1}{2}$.故选 D.

10.「2026重庆开州月考，★★☆」如图，在正方形$ABCD$中，$E$为$BC$边上靠近点$B$的三等分点，连接$AE$，将线段$AB$绕点$A$逆时针旋转得到线段$AF$，使得$∠ BAE = ∠ FAE$，连接$EF$和$CF$，令$∠ BEA = α$，则$∠ FCD$的度数为（）

A.$135° -1.5α$
B.$135° -α$
C.$α +30°$
D.$α +45°$

10.B 如图,延长 EF 交 CD 于点 H,连接 AH,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ $AB = AD = CD = BC = AF$, $∠B = ∠D = 90°$,在 $△ABE$ 与 $△AFE$ 中,$\begin{cases}AB=AF,\\∠BAE=∠FAE,\\AE=AE,\end{cases}$
∴ $△ABE ≅ △AFE$(SAS),
∴ $BE = EF$, $∠AFE = ∠B = 90°$, $∠FEA = ∠BEA = α$,
∴ $∠AFH=90°$, $∠HEC=180°-α-α=180°-2α$, 在 $Rt△ADH$ 与 $Rt△AFH$ 中,$\begin{cases}AH=AH,\\AD=AF,\end{cases}$
∴ $Rt△ADH ≅ Rt△AFH$(HL),
∴ $DH=FH$,设 $BE=EF=x$,$DH=FH=m$,则 $EC=2x$,$EH=x+m$,
∴ $CD=BC=3x$,
∴ $CH=3x-m$,在 $Rt△ECH$ 中,由勾股定理得 $EC^2+CH^2=EH^2$,即 $(2x)^2+(3x-m)^2=(x+m)^2$,整理,得 $m=\dfrac{3}{2}x$,
∴ $DH=FH=\dfrac{3}{2}x$,$CH=\dfrac{3}{2}x$,
∴ $DH=CH=HF$,
∴ $∠FCD = ∠HFC$,
∵ $∠EHC=90°-∠HEC=90°-(180°-2α)=2α-90°$,
∴ $∠FCD=∠HFC=\dfrac{180°-(2α-90°)}{2}=135°-α$.故选 B.