二、填空题(每小题3分,共24分)
11.「2025江苏扬州期末，★☆」如图,在$4×4$的正方形网格中有三个灰色小正方形,请你在网格中再涂灰一个小正方形,使其与原有的三个灰色小正方形构成一个中心对称图形,则可供选择的白色小正方形的个数为.

11.答案 3
解析 如图所示,可供选择的白色小正方形的个数为 3.

12.「2026广东惠州博罗期中改编，★☆」若点$P(1-m,3)$与点$Q(2,4-n)$关于原点对称，则$(m-n)^2$的值是。

12.答案 16
解析 由题意可知 $1-m=-2$,$4-n=-3$,
∴ $m=3$,$n=7$,
∴ $(m-n)^2=(3-7)^2=16$.

13.「2026福建龙岩长汀期中，★☆」三角尺$ABC$($∠ BAC=90°$，$∠ B=30°$)与一组平行线$a$和$b$的位置如图所示，点$A$在直线$b$上，已知$∠ 1=40°$，将三角尺绕点$A$顺时针转动，若要使$BC// a$，则需要转动的最小角度为。

13.答案 $10°$
解析
∵ $∠1=40°$,$∠B=30°$,
∴ 当三角尺绕点 A 顺时针转动 $10°$ 时,AB 与直线 b 所夹锐角为 $30°$,此时 $∠1 = ∠B$,
∴ $BC// b$,
∵ $a// b$,
∴ $BC// a$,
∴ 要使 $BC// a$,需要转动的最小角度为 $10°$.

14.「2026四川泸州古蔺月考，★★☆」如图所示的是一个滑梯的侧面示意图，现要在这个示意图上设计一张写有安全标语的海报（整个阴影部分），已知点O是曲线AC的对称中心，点A的对称点是C。若$AB ⊥ BC$，$AB=BC=3\ \mathrm{m}$，则海报的面积为 $\mathrm{m}^2$.

14.答案 4.5
解析 如图,连接 AC,
∵ 点 O 是曲线 AC 的对称中心,
∴ ①和②的面积相等,点 O 在线段 AC 上,
∴ $S_{阴影}=S_{△ABC}$,
∵ $AB ⊥ BC$,$AB=BC=3\ \mathrm{m}$,
∴ $S_{阴影}=\dfrac{1}{2}AB · BC=\dfrac{1}{2}×3×3=4.5(\mathrm{m}^2)$.

15.「2026江苏扬州高邮期中，★★☆」如图，已知点$A(-3,4)$，将线段$OA$绕点$A$逆时针旋转$90°$得到$AA'$，则点$A'$的坐标是。

15.答案 $(1,7)$
解析 如图,过点 A 作 y 轴的平行线 EF,交 x 轴于点 N,再过点 A'作 EF 的垂线,垂足为 M,由旋转的性质可知 $AO = AA'$,$∠A'AO = 90°$,
∴ $∠A'AM + ∠OAN = 90°$.
∵ $A'M ⊥ EF$,$AN ⊥ x$ 轴,
∴ $∠A'MA = ∠ANO=90°$,
∴ $∠OAN+∠AON=90°$,
∴ $∠A'AM=∠AON$.在 $△A'MA$和$△ANO$中,$\begin{cases}∠A'MA=∠ANO,\\∠A'AM=∠AON,\\AA'=AO,\end{cases}$
∴ $△A'MA ≅ △ANO$(AAS),
∴ $A'M=AN$,$MA=NO$.
∵ $A(-3,4)$,
∴ $A'M=AN=4$,$MA=NO=3$,
∴ 点 A'的坐标为$(4-3,4+3)$,即$(1,7)$.

16.「★★☆」如图，正方形ABCD与其内部的折线构成了一个中心对称图形，且$EF ⊥ DE$，若$AD=50$，$DE-EF=25$，则$EF$的长为。

16.答案 10
解析 如图,连接 BD,与 EF 交于点 O,
∵ 正方形 ABCD 与其内部的折线构成了中心对称图形,
∴ $OE=\dfrac{1}{2}EF$,$OD=\dfrac{1}{2}BD$,
∵ $AD=AB=50$,
∴ $BD=\sqrt{50^2+50^2}=50\sqrt{2}$,
∴ $OD=25\sqrt{2}$,设 $EF=2x$,则 $OE=x$,$DE=2x+25$, 在 $Rt△DOE$ 中, $OE^2+DE^2=OD^2$,
∴ $x^2+(2x+25)^2=(25\sqrt{2})^2$,解得 $x=5$ 或 $x=-25$(舍去),
∴ $EF=5×2=10$.

17. 学科$\frac{特色}{多解法}$「2026辽宁葫芦岛绥中期中，★★☆」如图，直角三角形$ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ BAC=30°$，$BC=3$，将线段$AB$绕点$A$逆时针旋转$90°$得到线段$AD$，过点$D$作$DE ⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$E$，则$S_{四边形ABED}=$。

17.答案 27
解析 在 $Rt△ABC$ 中,$∠BAC=30°$,$BC=3$,
∴ $AB=2BC=6$,
∴ $AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=3\sqrt{3}$.
【解法一】如图1,过点 D 作 $DF ⊥ AC$ 于点 F,则 $∠AFD=90°=∠ACB$,易知四边形 DECF 为矩形,由旋转的性质可知 $AB=AD$,$∠BAD=90°$,
∴ $∠BAC=∠ADF=90°-∠DAF$,
∴ $△ABC ≅ △DAF$(AAS),
∴ $AF=BC=3$,$DF=AC=3\sqrt{3}$,
∴ $CF=AC-AF=3\sqrt{3}-3$,
∴ $S_{四边形ABED}=S_{△ABC}+S_{△ADF}+S_{矩形DECF}=\dfrac{1}{2}AC · BC+\dfrac{1}{2}DF · AF+DF · CF=\dfrac{1}{2}×3\sqrt{3}×3+\dfrac{1}{2}×3\sqrt{3}×3+3\sqrt{3}×(3\sqrt{3}-3)=27$.
【解法二】如图2,过点 A 作 $AM ⊥ DE$,交 ED 的延长线于点 M,同理可证 $△ABC ≅ △ADM$(AAS),
∴ $AM=AC=3\sqrt{3}$,
∴ $S_{四边形ABED}=S_{正方形ACEM}=AC^2=27$.