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7.如图,两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形的$\frac{1}{6}$或小长方形的$\frac{1}{4}$.已知非重叠部分的总面积为$288cm^2$,则重叠部分的面积为
$36cm^2$
. 答案
7.$36cm^2$
解析
【分析】
解题时可以将重叠部分的面积设为未知数，根据重叠部分占大、小长方形的分率，分别表示出大、小长方形的总面积，再用各自总面积减去重叠部分得到两个图形的非重叠面积，根据非重叠部分总面积为288cm²列方程求解即可。
【解析】
解：设重叠部分的面积为$x\ \mathrm{cm}^2$。
根据题意，大长方形面积为：$x÷\frac{1}{6}=6x\ \mathrm{cm}^2$
小长方形面积为：$x÷\frac{1}{4}=4x\ \mathrm{cm}^2$
大长方形非重叠部分面积：$6x - x=5x\ \mathrm{cm}^2$
小长方形非重叠部分面积：$4x - x=3x\ \mathrm{cm}^2$
由非重叠部分总面积为288$\mathrm{cm}^2$，列方程：
$5x + 3x=288$
合并同类项得：$8x=288$
解得：$x=36$
【答案】
$36\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元一次方程应用，分数的应用，重叠问题计算
【点评】
本题属于基础的分数与方程结合的应用题，核心是把重叠部分作为中间量，建立两个长方形面积和已知条件的关联，解题思路清晰，只要找准数量关系就能轻松求解。
【难度系数】
0.7
解题时可以将重叠部分的面积设为未知数，根据重叠部分占大、小长方形的分率，分别表示出大、小长方形的总面积，再用各自总面积减去重叠部分得到两个图形的非重叠面积，根据非重叠部分总面积为288cm²列方程求解即可。
【解析】
解：设重叠部分的面积为$x\ \mathrm{cm}^2$。
根据题意，大长方形面积为：$x÷\frac{1}{6}=6x\ \mathrm{cm}^2$
小长方形面积为：$x÷\frac{1}{4}=4x\ \mathrm{cm}^2$
大长方形非重叠部分面积：$6x - x=5x\ \mathrm{cm}^2$
小长方形非重叠部分面积：$4x - x=3x\ \mathrm{cm}^2$
由非重叠部分总面积为288$\mathrm{cm}^2$，列方程：
$5x + 3x=288$
合并同类项得：$8x=288$
解得：$x=36$
【答案】
$36\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元一次方程应用，分数的应用，重叠问题计算
【点评】
本题属于基础的分数与方程结合的应用题，核心是把重叠部分作为中间量，建立两个长方形面积和已知条件的关联，解题思路清晰，只要找准数量关系就能轻松求解。
【难度系数】
0.7
8.某足球协会举办了一次足球赛,其记分规则及奖励方案(每人)如下表:
当比赛进行到每队各比赛12场时,A队(11名队员)共积20分,并且没有负一场.
(1)试判断A队胜、平各几场?
(2)若每赛一场每名队员均得出场费500元,则A队的某一名队员所得奖金与出场费的和是多少元?
当比赛进行到每队各比赛12场时,A队(11名队员)共积20分,并且没有负一场.
(1)试判断A队胜、平各几场?
(2)若每赛一场每名队员均得出场费500元,则A队的某一名队员所得奖金与出场费的和是多少元?
答案
8.(1)解:设A队胜x场,则平(12-x)场.由题意,得3x+(12-x)=20.解得x=4,即A队胜4场,平8场.
(2)$(1500×4+700×8)+500×12=17600$(元).答:所得奖金与出场费的和是17600元.
(2)$(1500×4+700×8)+500×12=17600$(元).答:所得奖金与出场费的和是17600元.
解析
【分析】
(1) 已知A队共比赛12场且无负场，因此总场次由胜场和平场组成。我们可以设胜场数为x，用总场次表示平场数，再根据“胜场总积分+平场总积分=20分”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到胜、平场数。
(2) 借助第一问求出的胜、平场数，先分别计算对应奖金，再加上12场的出场费，求和就能得到队员奖金与出场费的总和。
【解析】
(1) 设A队胜$x$场，因无负场，故平$(12-x)$场。
根据总积分列方程：
$3x + (12-x) = 20$
化简得：$2x + 12 = 20$
解得：$x = 4$
平场数为$12 - 4 = 8$（场）
即A队胜4场，平8场。
(2) 计算一名队员的总收入：
奖金部分：$1500× 4 + 700× 8 = 6000 + 5600 = 11600$（元）
出场费部分：$500× 12 = 6000$（元）
总和为$11600 + 6000 = 17600$（元）
【答案】
(1) 胜4场，平8场；(2) 17600元
【知识点】
一元一次方程的应用；有理数的混合运算
【点评】
本题属于积分表类基础应用题，解题关键是抓住总积分、总场次的等量关系列方程，计算收入时注意不要遗漏每场都有的出场费。
【难度系数】
0.8
(1) 已知A队共比赛12场且无负场，因此总场次由胜场和平场组成。我们可以设胜场数为x，用总场次表示平场数，再根据“胜场总积分+平场总积分=20分”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到胜、平场数。
(2) 借助第一问求出的胜、平场数，先分别计算对应奖金，再加上12场的出场费，求和就能得到队员奖金与出场费的总和。
【解析】
(1) 设A队胜$x$场，因无负场，故平$(12-x)$场。
根据总积分列方程：
$3x + (12-x) = 20$
化简得：$2x + 12 = 20$
解得：$x = 4$
平场数为$12 - 4 = 8$（场）
即A队胜4场，平8场。
(2) 计算一名队员的总收入：
奖金部分：$1500× 4 + 700× 8 = 6000 + 5600 = 11600$（元）
出场费部分：$500× 12 = 6000$（元）
总和为$11600 + 6000 = 17600$（元）
【答案】
(1) 胜4场，平8场；(2) 17600元
【知识点】
一元一次方程的应用；有理数的混合运算
【点评】
本题属于积分表类基础应用题，解题关键是抓住总积分、总场次的等量关系列方程，计算收入时注意不要遗漏每场都有的出场费。
【难度系数】
0.8
9.如图,一个酒瓶的容积为500毫升,瓶子内还剩有一些黄酒.当瓶子正放时,瓶内黄酒的高度为12厘米,倒放时,空余部分的高度为8厘米,求该瓶子的底面积(1毫升=1立方厘米).
答案
9. 解:设瓶子底面积为$xcm^2$,根据题意得$x·(8+12)=500$,解得x=25.答:该瓶子的底面积为$25cm^2$.
解析
【分析】
解题时首先明确核心等量关系：瓶子的总容积=瓶内黄酒的体积+倒放时空余部分的体积。瓶子正放时，黄酒部分是规则柱体，体积为底面积乘黄酒高度12cm；倒放时，空余部分也是规则柱体，体积为底面积乘空余高度8cm。两者相加等于总容积，因此可设底面积为未知数列一元一次方程求解，无需考虑瓶子不规则部分的体积，能简化计算。
【解析】
首先进行单位换算：$500$毫升$=500$立方厘米。
解：设该瓶子的底面积为$x\ \mathrm{cm}^2$，根据题意可得：
正放时黄酒体积为$12x\ \mathrm{cm}^3$，倒放时空余部分体积为$8x\ \mathrm{cm}^3$，总容积为500立方厘米，因此列方程：
$12x + 8x = 500$
合并同类项得：$20x = 500$
解得：$x = 25$
答：该瓶子的底面积为$25\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$25\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 圆柱体积计算
3. 体积守恒原理
【点评】
本题属于典型的等积变换类应用题，解题关键是抓住液体体积、总容积不变的特性，将不规则部分的体积转化为规则圆柱体积计算，巧妙避开复杂的不规则体积求解，能够锻炼学生转化问题的思维能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确核心等量关系：瓶子的总容积=瓶内黄酒的体积+倒放时空余部分的体积。瓶子正放时，黄酒部分是规则柱体，体积为底面积乘黄酒高度12cm；倒放时，空余部分也是规则柱体，体积为底面积乘空余高度8cm。两者相加等于总容积，因此可设底面积为未知数列一元一次方程求解，无需考虑瓶子不规则部分的体积，能简化计算。
【解析】
首先进行单位换算：$500$毫升$=500$立方厘米。
解：设该瓶子的底面积为$x\ \mathrm{cm}^2$，根据题意可得：
正放时黄酒体积为$12x\ \mathrm{cm}^3$，倒放时空余部分体积为$8x\ \mathrm{cm}^3$，总容积为500立方厘米，因此列方程：
$12x + 8x = 500$
合并同类项得：$20x = 500$
解得：$x = 25$
答：该瓶子的底面积为$25\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$25\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 圆柱体积计算
3. 体积守恒原理
【点评】
本题属于典型的等积变换类应用题，解题关键是抓住液体体积、总容积不变的特性，将不规则部分的体积转化为规则圆柱体积计算，巧妙避开复杂的不规则体积求解，能够锻炼学生转化问题的思维能力。
【难度系数】
0.7
10.(核心素养·应用意识)某电视台组织知识竞赛活动,共设20道选择题,各题分值相同,每题必答.
下表是6个参赛者的得分情况(数据不完整):
(1)根据表中数据可知,答对一题得
(2)若参赛者E得了79分,求他答对了几道题;
(3)参赛者F说他得了90分,你认为可能吗?为什么?
下表是6个参赛者的得分情况(数据不完整):
(1)根据表中数据可知,答对一题得
5
分,答错一题得-2
分;(2)若参赛者E得了79分,求他答对了几道题;
(3)参赛者F说他得了90分,你认为可能吗?为什么?
答案
10.(1)5 -2
(2)解:设他答对了m道题,则答错了(20-m)道题.依题意,得5m-2(20-m)=79,解得m=17.答:他答对了17道题.
(3)不可能.理由如下:设参赛者F答对了n道题,则答错了(20-n)道题.依题意,得5n-2(20-n)=90,解得$n=\frac{130}{7}$.因为n不为整数,所以$n=\frac{130}{7}$不符合实际情况,即参赛者F的成绩不可能为90分.
(2)解:设他答对了m道题,则答错了(20-m)道题.依题意,得5m-2(20-m)=79,解得m=17.答:他答对了17道题.
(3)不可能.理由如下:设参赛者F答对了n道题,则答错了(20-n)道题.依题意,得5n-2(20-n)=90,解得$n=\frac{130}{7}$.因为n不为整数,所以$n=\frac{130}{7}$不符合实际情况,即参赛者F的成绩不可能为90分.
解析
【分析】
1. 求解第一问时，先观察参赛者B的得分情况：20题全答对得100分，可直接算出答对1题的分值；再任选有答错记录的参赛者（如C），用总得分减去答对题的总得分，即可算出答错1题的分值，也可选择其他参赛者的数据验证结果正确性。
2. 求解第二问时，设答对题数为未知数，答错的题数用总题数减去答对题数表示，再根据“总得分=答对总得分+答错总得分”的等量关系列方程，解方程即可得到结果。
3. 求解第三问时，用和第二问相同的思路列方程求解，若解得的答对题数是0~20之间的正整数则得分可能，否则不可能，因为题数必须是整数。
【解析】
(1) 由参赛者B答对20题得100分，可得答对1题得分：$100÷20=5$（分）；
设答错1题得$x$分，参考参赛者C的得分：$19×5 + x=93$，解得$x=93-95=-2$，即答错1题得-2分。
(2) 设参赛者E答对了$m$道题，则答错了$(20-m)$道题。
根据得分规则列方程：$5m -2(20-m)=79$
展开得：$5m -40 +2m=79$
合并同类项得：$7m=119$
解得：$m=17$
(3) 不可能，理由如下：
设参赛者F答对了$n$道题，则答错了$(20-n)$道题。
根据得分规则列方程：$5n -2(20-n)=90$
展开得：$5n -40 +2n=90$
合并同类项得：$7n=130$
解得：$n=\frac{130}{7}$
因为题数$n$必须是0~20之间的正整数，$\frac{130}{7}$不是整数，不符合实际情况，所以参赛者F不可能得90分。
【答案】
(1) 5，-2
(2) 他答对了17道题
(3) 不可能，理由见解析
【知识点】
一元一次方程的应用，积分问题计算，实际问题解的检验
【点评】
本题以知识竞赛积分场景为载体，考查一元一次方程的实际应用，解题的核心是先从表格数据中提取信息计算出答对、答错的单题分值，再根据得分的等量关系列方程求解，需要注意实际问题的解要符合现实意义，比如题数必须为非负整数。
【难度系数】
0.7
1. 求解第一问时，先观察参赛者B的得分情况：20题全答对得100分，可直接算出答对1题的分值；再任选有答错记录的参赛者（如C），用总得分减去答对题的总得分，即可算出答错1题的分值，也可选择其他参赛者的数据验证结果正确性。
2. 求解第二问时，设答对题数为未知数，答错的题数用总题数减去答对题数表示，再根据“总得分=答对总得分+答错总得分”的等量关系列方程，解方程即可得到结果。
3. 求解第三问时，用和第二问相同的思路列方程求解，若解得的答对题数是0~20之间的正整数则得分可能，否则不可能，因为题数必须是整数。
【解析】
(1) 由参赛者B答对20题得100分，可得答对1题得分：$100÷20=5$（分）；
设答错1题得$x$分，参考参赛者C的得分：$19×5 + x=93$，解得$x=93-95=-2$，即答错1题得-2分。
(2) 设参赛者E答对了$m$道题，则答错了$(20-m)$道题。
根据得分规则列方程：$5m -2(20-m)=79$
展开得：$5m -40 +2m=79$
合并同类项得：$7m=119$
解得：$m=17$
(3) 不可能，理由如下：
设参赛者F答对了$n$道题，则答错了$(20-n)$道题。
根据得分规则列方程：$5n -2(20-n)=90$
展开得：$5n -40 +2n=90$
合并同类项得：$7n=130$
解得：$n=\frac{130}{7}$
因为题数$n$必须是0~20之间的正整数，$\frac{130}{7}$不是整数，不符合实际情况，所以参赛者F不可能得90分。
【答案】
(1) 5，-2
(2) 他答对了17道题
(3) 不可能，理由见解析
【知识点】
一元一次方程的应用，积分问题计算，实际问题解的检验
【点评】
本题以知识竞赛积分场景为载体，考查一元一次方程的实际应用，解题的核心是先从表格数据中提取信息计算出答对、答错的单题分值，再根据得分的等量关系列方程求解，需要注意实际问题的解要符合现实意义，比如题数必须为非负整数。
【难度系数】
0.7
