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11 (2025·福建永安期末)下列各式计算正确的是(
A.$\frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
C.$\sqrt{6}÷\sqrt{2}=3$
D.$(2\sqrt{3})^2=12$
D
).A.$\frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
C.$\sqrt{6}÷\sqrt{2}=3$
D.$(2\sqrt{3})^2=12$
答案
D
12（2024·河南周口沈丘期中）对于任意的正数$m$，$n$，
定义运算※：$m※n=\begin{cases}\sqrt{m}-\sqrt{n}&(m≥ n),\\\sqrt{m}+\sqrt{n}&(m＜ n),\end{cases}$
计算$(3※2)×(8※12)$的结果为（
A.$2-4\sqrt{6}$
B.$2$
C.$2\sqrt{5}$
D.$20$
定义运算※：$m※n=\begin{cases}\sqrt{m}-\sqrt{n}&(m≥ n),\\\sqrt{m}+\sqrt{n}&(m＜ n),\end{cases}$
计算$(3※2)×(8※12)$的结果为（
B
）。A.$2-4\sqrt{6}$
B.$2$
C.$2\sqrt{5}$
D.$20$
答案
B
13 将 $a\sqrt{-\frac{1}{a}}$ 根号外的因式移到根号内，得
$-\sqrt{-a}$
。答案
$-\sqrt{-a}$
14（2024·威海中考）计算：$\sqrt{12} - \sqrt{8} × \sqrt{6} =$
$-2\sqrt{3}$
。答案
$-2\sqrt{3}$
15 已知 $a=3+2\sqrt{2},b=3-2\sqrt{2}$，分别求下列代数式的值：
(1) $a^2 - b^2$；
(2) $(a - b)^2 - ab$。
(1) $a^2 - b^2$；
(2) $(a - b)^2 - ab$。
答案
(1)$\because a=3+2\sqrt{2},b=3-2\sqrt{2}$,
$\therefore a+b=(3+2\sqrt{2})+(3-2\sqrt{2})=6$,
$a-b=(3+2\sqrt{2})-(3-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}$,
$\therefore a^2-b^2=(a+b)(a-b)=6×4\sqrt{2}=24\sqrt{2}$。
(2)$(a-b)^2-ab=(4\sqrt{2})^2-(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=32-1=31$。
本题考查二次根式的化简求值。掌握完全平方公式是解题的关键。
$\therefore a+b=(3+2\sqrt{2})+(3-2\sqrt{2})=6$,
$a-b=(3+2\sqrt{2})-(3-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}$,
$\therefore a^2-b^2=(a+b)(a-b)=6×4\sqrt{2}=24\sqrt{2}$。
(2)$(a-b)^2-ab=(4\sqrt{2})^2-(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=32-1=31$。
本题考查二次根式的化简求值。掌握完全平方公式是解题的关键。
16 分类讨论思想（2025·上海杨浦区存志学校月考）已知$y=\sqrt{(x-4)^2}-x+5$，当$x$分别取$1,2,3,···,2024$时，求所对应$y$值的总和。
答案
$y=\sqrt{(x-4)^2}-x+5=|x-4|-x+5$,
分情况讨论:非负数的绝对值为其本身,负数的绝对值为其相反数
当$x-4＜0$时,$y=4-x-x+5=9-2x$,
当$x-4≥0$时,$y=x-4-x+5=1$;
当$x=1$时,$y=9-2=7$;
当$x=2$时,$y=9-4=5$;
当$x=3$时,$y=9-6=3$,
所以当$x$分别取$1,2,3,\dots,2024$时,所对应的$y$值的总和是$7+5+3+2021×1=2036$。
分情况讨论:非负数的绝对值为其本身,负数的绝对值为其相反数
当$x-4＜0$时,$y=4-x-x+5=9-2x$,
当$x-4≥0$时,$y=x-4-x+5=1$;
当$x=1$时,$y=9-2=7$;
当$x=2$时,$y=9-4=5$;
当$x=3$时,$y=9-6=3$,
所以当$x$分别取$1,2,3,\dots,2024$时,所对应的$y$值的总和是$7+5+3+2021×1=2036$。
17 中考新考法 新定义问题 定义:若两个二次根式$a,b$满足$a · b = c$,且$c$是有理数,则称$a$与$b$是关于$c$的因子二次根式.
(1)若$a$与$\sqrt{2}$是关于4的因子二次根式,则$a=$
(2)若$\sqrt{3} - 1$与$m - \sqrt{3}$是关于$-2$的因子二次根式,求$m$的值.
(1)若$a$与$\sqrt{2}$是关于4的因子二次根式,则$a=$
$2\sqrt{2}$
;(2)若$\sqrt{3} - 1$与$m - \sqrt{3}$是关于$-2$的因子二次根式,求$m$的值.
答案
(1)$2\sqrt{2}$
(2)根据题意,得$(\sqrt{3}-1)(m-\sqrt{3})=-2$,
所以$m-\sqrt{3}=-\frac{2}{\sqrt{3}-1}=-(\sqrt{3}+1)$,
解得$m=-1$。故$m$的值为$-1$。
(2)根据题意,得$(\sqrt{3}-1)(m-\sqrt{3})=-2$,
所以$m-\sqrt{3}=-\frac{2}{\sqrt{3}-1}=-(\sqrt{3}+1)$,
解得$m=-1$。故$m$的值为$-1$。
18 中考新考法 解题方法型阅读理解题 [阅读材料]小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如$3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2$。善于思考的小明进行了以下探索：若设$a+b\sqrt{2}=(m+n\sqrt{2})^2=m^2+2n^2+2\sqrt{2}mn$（其中$a,b,m,n$均为整数），则有$a=m^2+2n^2,b=2mn$。这样小明就找到了一种把类似$a+b\sqrt{2}$的式子化为完全平方式的方法。请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
[问题解决]
(1)若$a+b\sqrt{5}=(m+n\sqrt{5})^2$，当$a,b,m,n$均为整数时，则$a=$
(2)若$x+4\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$，且$x,m,n$均为正整数，分别求出$x,m,n$的值；
[拓展延伸]
(3)化简$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=$
[问题解决]
(1)若$a+b\sqrt{5}=(m+n\sqrt{5})^2$，当$a,b,m,n$均为整数时，则$a=$
$m^2+5n^2$
，$b=$$2mn$
；（均用含$m,n$的式子表示）(2)若$x+4\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$，且$x,m,n$均为正整数，分别求出$x,m,n$的值；
[拓展延伸]
(3)化简$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=$
$\sqrt{2}+\sqrt{3}$
。答案
(1)$m^2+5n^2$ $2mn$ 解析：$(m+n\sqrt{5})^2=m^2+2\sqrt{5}mn+5n^2$。$\because a+b\sqrt{5}=(m+n\sqrt{5})^2$,且$a,b,m,n$均为整数,$\therefore a=m^2+5n^2,b=2mn$。
(2)$(m+n\sqrt{3})^2=m^2+2\sqrt{3}mn+3n^2$。
$\because x+4\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$,$\therefore\begin{cases}2mn=4,\\m^2+3n^2=x.\end{cases}$
又$x,m,n$均为正整数,$\therefore\begin{cases}m=1,\\n=2,\\x=13\end{cases}$或$\begin{cases}m=2,\\n=1,\\x=7,\end{cases}$
即$m=1,n=2,x=13$或$m=2,n=1,x=7$。
(3)$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 解析：$\because 5=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2$,$2\sqrt{6}=2\sqrt{2}×\sqrt{3}$,$\therefore$原式$=\sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$。
(2)$(m+n\sqrt{3})^2=m^2+2\sqrt{3}mn+3n^2$。
$\because x+4\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$,$\therefore\begin{cases}2mn=4,\\m^2+3n^2=x.\end{cases}$
又$x,m,n$均为正整数,$\therefore\begin{cases}m=1,\\n=2,\\x=13\end{cases}$或$\begin{cases}m=2,\\n=1,\\x=7,\end{cases}$
即$m=1,n=2,x=13$或$m=2,n=1,x=7$。
(3)$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 解析：$\because 5=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2$,$2\sqrt{6}=2\sqrt{2}×\sqrt{3}$,$\therefore$原式$=\sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$。
