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6. 如图 4-2-21,已知∠ABC,点 D,B,C 在同一条直线上,在直线 CD 上方作∠DBE,使∠DBE=∠ABC。(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
答案
6. 解:如答图 4-2-3，$∠ DBE$ 为所求。
解析
【分析】
要完成这道作图题，我们可以利用学过的“作一个角等于已知角”的基本作图方法求解。首先明确两个角的公共顶点是B，要求∠DBE在直线CD上方，且等于∠ABC，只需按照作一个角等于已知角的标准步骤操作，保证作出的角满足位置和大小要求即可。
【解析】
依据尺规作一个角等于已知角的方法操作：
1. 以点B为圆心，任意长度为半径画弧，分别交BA、BC于两个点；
2. 保持半径不变，以点B为圆心画弧，交BD于一点；
3. 以刚得到的BD上的交点为圆心，取之前弧与BA、BC两个交点的距离为半径画弧，和第二步作出的弧在CD上方交于点E；
4. 连接BE，所得∠DBE即为所求，注意保留所有作图痕迹。
【答案】
如答图 4-2-3，$∠ DBE$ 为所求。
【知识点】
尺规作图；作一个角等于已知角
【点评】
本题属于基础作图题，主要考查基本尺规作图的掌握程度，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的操作流程，作图时要注意保留完整的作图痕迹，且保证所作角的位置符合要求。
【难度系数】
0.9
要完成这道作图题，我们可以利用学过的“作一个角等于已知角”的基本作图方法求解。首先明确两个角的公共顶点是B，要求∠DBE在直线CD上方，且等于∠ABC，只需按照作一个角等于已知角的标准步骤操作，保证作出的角满足位置和大小要求即可。
【解析】
依据尺规作一个角等于已知角的方法操作：
1. 以点B为圆心，任意长度为半径画弧，分别交BA、BC于两个点；
2. 保持半径不变，以点B为圆心画弧，交BD于一点；
3. 以刚得到的BD上的交点为圆心，取之前弧与BA、BC两个交点的距离为半径画弧，和第二步作出的弧在CD上方交于点E；
4. 连接BE，所得∠DBE即为所求，注意保留所有作图痕迹。
【答案】
如答图 4-2-3，$∠ DBE$ 为所求。
【知识点】
尺规作图；作一个角等于已知角
【点评】
本题属于基础作图题，主要考查基本尺规作图的掌握程度，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的操作流程，作图时要注意保留完整的作图痕迹，且保证所作角的位置符合要求。
【难度系数】
0.9
7. 如图4-2-22，已知$∠ α$，射线AB，请用尺规作图的方法以点A为顶点，作$∠ CAB$，使$∠ CAB=2∠ α$。（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
答案
7. 解:如答图 4-2-4，$∠ CAB$ 为所求。
解析
【分析】
要作出等于$2∠α$的角，可利用“尺规作一个角等于已知角”的基础方法，通过两次作等角叠加得到两倍角。具体思考逻辑：首先以点A为顶点、射线AB为一边，先作出第一个与$∠α$相等的角，再以该角的非公共边为边，在这个角的外侧再作一个与$∠α$相等的角，两个角相加得到的大角就是所求的$2∠α$。
【解析】
作图逻辑如下：
1. 先用尺规作角的操作，以A为顶点、AB为边，作$∠EAB=∠α$；
2. 再以AE为边，在$∠EAB$远离AB的一侧作$∠CAE=∠α$，此时$∠CAB=∠CAE+∠EAB=2∠α$，即为所求角，作图痕迹与参考答案一致。
【答案】
如答图 4-2-4，$∠ CAB$ 为所求。
【知识点】
尺规作等角，角的和差运算
【点评】
本题属于基础尺规作图题，核心考查作一个角等于已知角的基本操作，只要掌握基础作图方法，通过两次作等角叠加即可得到倍角，作图时需注意保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
要作出等于$2∠α$的角，可利用“尺规作一个角等于已知角”的基础方法，通过两次作等角叠加得到两倍角。具体思考逻辑：首先以点A为顶点、射线AB为一边，先作出第一个与$∠α$相等的角，再以该角的非公共边为边，在这个角的外侧再作一个与$∠α$相等的角，两个角相加得到的大角就是所求的$2∠α$。
【解析】
作图逻辑如下：
1. 先用尺规作角的操作，以A为顶点、AB为边，作$∠EAB=∠α$；
2. 再以AE为边，在$∠EAB$远离AB的一侧作$∠CAE=∠α$，此时$∠CAB=∠CAE+∠EAB=2∠α$，即为所求角，作图痕迹与参考答案一致。
【答案】
如答图 4-2-4，$∠ CAB$ 为所求。
【知识点】
尺规作等角，角的和差运算
【点评】
本题属于基础尺规作图题，核心考查作一个角等于已知角的基本操作，只要掌握基础作图方法，通过两次作等角叠加即可得到倍角，作图时需注意保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
8. 如图 4-2-23,已知$∠ α ,∠ AOB$。
(1)求作:以 OB 为一边,作$∠ BOC=∠ α$(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)若$∠ AOB=60°,∠ α=20°$,求$∠ AOC$的度数。
图 4-2-23
8. 如图 4-2-23,已知$∠ α ,∠ AOB$。
(1)求作:以 OB 为一边,作$∠ BOC=∠ α$(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)若$∠ AOB=60°,∠ α=20°$,求$∠ AOC$的度数。
图 4-2-23
答案
8. 解:(1)如答图 4-2-5，$∠ BOC$ 和$∠ BOC'$为所求。
(2)因为$∠ AOB=60°$,$∠ BOC=∠ BOC'=20°$,
所以 $∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 40°$ 或 $∠ AOC' = ∠ AOB + ∠ BOC' = 80°$。
综上分析可知:$∠ AOC$ 的度数为 $40°$或 $80°$。
解析
【分析】
对于(1)问，需运用尺规作一个角等于已知角的基本方法，注意以OB为公共边作∠BOC=∠α时，OC的位置有两种可能：既可以在∠AOB的内部，也可以在∠AOB的外部，因此要画出两种情况的角。对于(2)问，需要结合(1)的两种位置，分别利用角的和差关系计算∠AOC的度数，避免遗漏其中一种情况导致漏解。
【解析】
(1) 利用尺规作一个角等于已知角的操作，以O为顶点、OB为一边，分别在∠AOB的内部和外部作出大小等于∠α的角，保留作图痕迹，得到的∠BOC和∠BOC'即为所求。
(2) 分两种情况计算：
① 当OC落在∠AOB内部时，根据角的差的关系：
已知∠AOB=60°，∠BOC=∠α=20°，
所以∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 60° - 20° = 40°；
② 当OC落在∠AOB外部时（即图中OC'的位置），根据角的和的关系：
已知∠AOB=60°，∠BOC'=∠α=20°，
所以∠AOC' = ∠AOB + ∠BOC' = 60° + 20° = 80°。
综上可得∠AOC的度数。
【答案】
(1)如答图 4-2-5，$∠ BOC$ 和$∠ BOC'$为所求。
(2)因为$∠ AOB=60°,∠ α=20°$,
所以 $∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 40°$ 或 $∠ AOC' = ∠ AOB + ∠ BOC' = 80°$。
综上分析可知:$∠ AOC$ 的度数为 $40°$或 $80°$。
【知识点】
尺规作角，角的和差计算，分类讨论
【点评】
本题是尺规作图与角度计算结合的基础题，重点考查基本作图能力和角的运算能力，解题时需注意作角的位置不唯一，要分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7
对于(1)问，需运用尺规作一个角等于已知角的基本方法，注意以OB为公共边作∠BOC=∠α时，OC的位置有两种可能：既可以在∠AOB的内部，也可以在∠AOB的外部，因此要画出两种情况的角。对于(2)问，需要结合(1)的两种位置，分别利用角的和差关系计算∠AOC的度数，避免遗漏其中一种情况导致漏解。
【解析】
(1) 利用尺规作一个角等于已知角的操作，以O为顶点、OB为一边，分别在∠AOB的内部和外部作出大小等于∠α的角，保留作图痕迹，得到的∠BOC和∠BOC'即为所求。
(2) 分两种情况计算：
① 当OC落在∠AOB内部时，根据角的差的关系：
已知∠AOB=60°，∠BOC=∠α=20°，
所以∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 60° - 20° = 40°；
② 当OC落在∠AOB外部时（即图中OC'的位置），根据角的和的关系：
已知∠AOB=60°，∠BOC'=∠α=20°，
所以∠AOC' = ∠AOB + ∠BOC' = 60° + 20° = 80°。
综上可得∠AOC的度数。
【答案】
(1)如答图 4-2-5，$∠ BOC$ 和$∠ BOC'$为所求。
(2)因为$∠ AOB=60°,∠ α=20°$,
所以 $∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 40°$ 或 $∠ AOC' = ∠ AOB + ∠ BOC' = 80°$。
综上分析可知:$∠ AOC$ 的度数为 $40°$或 $80°$。
【知识点】
尺规作角，角的和差计算，分类讨论
【点评】
本题是尺规作图与角度计算结合的基础题，重点考查基本作图能力和角的运算能力，解题时需注意作角的位置不唯一，要分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7
9. 如图4-2-24，已知∠α及线段b，求作一个三角形，使得它的两内角分别为α和2α，且这两内角所夹的边长为b。（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
图4-2-24
图4-2-24
答案
9. 解:如答图 4-2-6所示，$△ ABC$ 为所求。
解析
【分析】
解题思路：要构造满足条件的三角形，已知两角及夹边，可按以下逻辑思考：①首先确定两内角的夹边，先作一条长度等于b的线段作为两角的公共边；②再在夹边的两个端点处分别作对应内角：其中一个端点作角等于∠α，另一个端点作角等于2∠α（作2∠α时可通过连续作两个等于∠α的角得到）；③两个角的另一边的交点就是三角形的第三个顶点，即可得到所求三角形。注意作两个角时要在夹边的同侧，否则无法构成符合要求的三角形。
【解析】
作图逻辑：
1. 作射线l，在射线l上截取线段AB=b，得到两角的夹边；
2. 以点A为顶点，AB为一边，在l的同侧作∠BAB'=α；
3. 以点B为顶点，BA为一边，在l的同侧作∠ABA'=2α，可通过连续作两个大小为α的角得到2α的角；
4. 射线AB'与射线BA'交于点C，△ABC即为所求作的三角形。
（题目要求不写作法，仅保留作图痕迹即可）
【答案】
如答图 4-2-6所示，$△ ABC$ 为所求。
【知识点】
作线段等于已知线段；作角等于已知角；尺规作三角形
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是对尺规基本作图技能的综合运用，解题的关键是熟练掌握作相等线段、作相等角的操作，作图时需注意两个内角要在夹边的同侧，并且保留清晰的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
解题思路：要构造满足条件的三角形，已知两角及夹边，可按以下逻辑思考：①首先确定两内角的夹边，先作一条长度等于b的线段作为两角的公共边；②再在夹边的两个端点处分别作对应内角：其中一个端点作角等于∠α，另一个端点作角等于2∠α（作2∠α时可通过连续作两个等于∠α的角得到）；③两个角的另一边的交点就是三角形的第三个顶点，即可得到所求三角形。注意作两个角时要在夹边的同侧，否则无法构成符合要求的三角形。
【解析】
作图逻辑：
1. 作射线l，在射线l上截取线段AB=b，得到两角的夹边；
2. 以点A为顶点，AB为一边，在l的同侧作∠BAB'=α；
3. 以点B为顶点，BA为一边，在l的同侧作∠ABA'=2α，可通过连续作两个大小为α的角得到2α的角；
4. 射线AB'与射线BA'交于点C，△ABC即为所求作的三角形。
（题目要求不写作法，仅保留作图痕迹即可）
【答案】
如答图 4-2-6所示，$△ ABC$ 为所求。
【知识点】
作线段等于已知线段；作角等于已知角；尺规作三角形
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是对尺规基本作图技能的综合运用，解题的关键是熟练掌握作相等线段、作相等角的操作，作图时需注意两个内角要在夹边的同侧，并且保留清晰的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
