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1. 圆的切线判定定理：经过半径的
圆的切线性质定理：圆的切线
外端
并且垂直
于这条半径的直线是圆的切线.圆的切线性质定理：圆的切线
垂直
于经过切点
的半径.答案
1. 外端，垂直，垂直，切点
解析
【分析】
本题考查圆的切线判定定理与性质定理的基础识记，解题时只需准确回忆两个定理的具体内容，对应空缺位置填写即可。首先回忆切线判定定理的两个核心构成条件，再回忆切线性质定理的核心结论，对应匹配空缺即可得到答案。
【解析】
根据圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此前两个空依次填外端、垂直；
根据圆的切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径，因此后两个空依次填垂直、切点。
【答案】
外端，垂直，垂直，切点
【知识点】
圆的切线判定定理；圆的切线性质定理
【点评】
本题属于基础概念类题目，是切线相关知识的核心基础内容，熟练掌握这两个定理是后续解决切线类证明、计算问题的前提，需要准确记忆、牢固掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查圆的切线判定定理与性质定理的基础识记，解题时只需准确回忆两个定理的具体内容，对应空缺位置填写即可。首先回忆切线判定定理的两个核心构成条件，再回忆切线性质定理的核心结论，对应匹配空缺即可得到答案。
【解析】
根据圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此前两个空依次填外端、垂直；
根据圆的切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径，因此后两个空依次填垂直、切点。
【答案】
外端，垂直，垂直，切点
【知识点】
圆的切线判定定理；圆的切线性质定理
【点评】
本题属于基础概念类题目，是切线相关知识的核心基础内容，熟练掌握这两个定理是后续解决切线类证明、计算问题的前提，需要准确记忆、牢固掌握。
【难度系数】
0.9
2. 关于切线的判定，下列说法中正确的是 （
① 与直径垂直的直线是圆的切线；② 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③ 与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；④ 经过半径外端的直线是圆的切线；⑤ 经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
A.①②③
B.②③⑤
C.②④⑤
D.③④⑤
B
）① 与直径垂直的直线是圆的切线；② 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③ 与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；④ 经过半径外端的直线是圆的切线；⑤ 经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
A.①②③
B.②③⑤
C.②④⑤
D.③④⑤
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这道题，需先熟练掌握圆的切线的三种判定方法：1.定义法：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；2.距离法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；3.判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。接下来逐一验证5个说法是否满足判定条件，排除错误说法，即可选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
① 与直径垂直的直线，若没有经过半径（直径）的外端，则不是圆的切线，比如过圆心且与直径垂直的直线和圆有2个交点，属于割线，故①错误；
② 根据直线和圆的位置关系判定，当直线到圆心的距离等于半径时，直线与圆相切，该直线就是圆的切线，故②正确；
③ 这是切线的定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线，故③正确；
④ 仅经过半径外端，但不垂直于这条半径的直线，和圆有2个交点，不是切线，缺少“垂直于半径”的条件，故④错误；
⑤ 这是切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故⑤正确。
综上，②③⑤说法正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的判定；直线与圆的位置关系；切线的定义
【点评】
本题主要考查切线的判定相关知识，解题的关键是熟记切线的三类判定方法，注意判定切线时要满足所有条件，不要漏记关键条件导致判断错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需先熟练掌握圆的切线的三种判定方法：1.定义法：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；2.距离法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；3.判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。接下来逐一验证5个说法是否满足判定条件，排除错误说法，即可选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
① 与直径垂直的直线，若没有经过半径（直径）的外端，则不是圆的切线，比如过圆心且与直径垂直的直线和圆有2个交点，属于割线，故①错误；
② 根据直线和圆的位置关系判定，当直线到圆心的距离等于半径时，直线与圆相切，该直线就是圆的切线，故②正确；
③ 这是切线的定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线，故③正确；
④ 仅经过半径外端，但不垂直于这条半径的直线，和圆有2个交点，不是切线，缺少“垂直于半径”的条件，故④错误；
⑤ 这是切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故⑤正确。
综上，②③⑤说法正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的判定；直线与圆的位置关系；切线的定义
【点评】
本题主要考查切线的判定相关知识，解题的关键是熟记切线的三类判定方法，注意判定切线时要满足所有条件，不要漏记关键条件导致判断错误。
【难度系数】
0.7
3. 如图，OA与$\odot O$相交于点B，AC与$\odot O$相切，切点为C，点D在$\odot O$上，若$∠ D=24°$，则$∠ A$为（
A.$48°$
B.$60°$
C.$64°$
D.$42°$
D
）A.$48°$
B.$60°$
C.$64°$
D.$42°$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质作辅助线连接OC，得到直角△OCA；再利用圆周角定理，由已知的圆周角∠D的度数求出同弧所对的圆心角∠COA的度数；最后根据直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠A的度数。
【解析】
连接OC，
∵ AC与$\odot O$相切，切点为C，
∴ $OC⊥ AC$，即$∠ OCA=90°$，
∵ 同弧BC所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ D=24°$，
∴ $∠ COA=2∠ D=2×24°=48°$，
在$Rt△ OCA$中，$∠ A + ∠ COA=90°$，
∴ $∠ A=90° - 48°=42°$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质应用的基础题型，解题关键是熟练掌握切线性质和圆周角定理，正确作出辅助线构建直角三角形即可快速求解，属于高频基础考点。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据切线的性质作辅助线连接OC，得到直角△OCA；再利用圆周角定理，由已知的圆周角∠D的度数求出同弧所对的圆心角∠COA的度数；最后根据直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠A的度数。
【解析】
连接OC，
∵ AC与$\odot O$相切，切点为C，
∴ $OC⊥ AC$，即$∠ OCA=90°$，
∵ 同弧BC所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ D=24°$，
∴ $∠ COA=2∠ D=2×24°=48°$，
在$Rt△ OCA$中，$∠ A + ∠ COA=90°$，
∴ $∠ A=90° - 48°=42°$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质应用的基础题型，解题关键是熟练掌握切线性质和圆周角定理，正确作出辅助线构建直角三角形即可快速求解，属于高频基础考点。
【难度系数】
0.7
4. 如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC。若∠C=25°，则∠A=
40
°。答案
4. 40
解析
【分析】
遇到直线与圆相切的问题，首先想到连接过切点的半径，利用切线垂直于半径构造直角三角形。本题中先连接OB，得到∠ABO=90°；再结合OB、OC都是圆的半径，可得△OBC为等腰三角形，根据等边对等角求出∠OBC的度数，借助三角形外角性质求出∠AOB的度数，最后在直角三角形ABO中利用两锐角互余计算∠A的度数。
【解析】
连接OB，
∵ AB与⊙O相切于点B，
∴ OB⊥AB，即∠ABO=90°，
∵ OB=OC（同圆的半径相等），
∴ ∠OBC=∠C=25°，
∵ ∠AOB是△OBC的外角，
∴ ∠AOB=∠C+∠OBC=25°+25°=50°，
在Rt△ABO中，∠A+∠AOB=90°，
∴ ∠A=90°-50°=40°。
【答案】
40
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆相关的基础题型，核心考查切线性质的应用，解题的关键是掌握“见切线，连切点，得垂直”的辅助线做法，结合三角形角度相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
遇到直线与圆相切的问题，首先想到连接过切点的半径，利用切线垂直于半径构造直角三角形。本题中先连接OB，得到∠ABO=90°；再结合OB、OC都是圆的半径，可得△OBC为等腰三角形，根据等边对等角求出∠OBC的度数，借助三角形外角性质求出∠AOB的度数，最后在直角三角形ABO中利用两锐角互余计算∠A的度数。
【解析】
连接OB，
∵ AB与⊙O相切于点B，
∴ OB⊥AB，即∠ABO=90°，
∵ OB=OC（同圆的半径相等），
∴ ∠OBC=∠C=25°，
∵ ∠AOB是△OBC的外角，
∴ ∠AOB=∠C+∠OBC=25°+25°=50°，
在Rt△ABO中，∠A+∠AOB=90°，
∴ ∠A=90°-50°=40°。
【答案】
40
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆相关的基础题型，核心考查切线性质的应用，解题的关键是掌握“见切线，连切点，得垂直”的辅助线做法，结合三角形角度相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
如图，PA，PB与$\odot O$相切于点A，B，点C在$\odot O$上，且$∠ P=38°$，则$∠ ACB=$
答案
5. 71
解析
【分析】
解题时先结合切线的性质构造辅助线：连接OA、OB，由切线垂直于过切点的半径可得两个直角，再利用四边形内角和为360°求出圆心角∠AOB的度数，最后根据圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）即可计算出∠ACB的度数。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵PA、PB与$\odot O$相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$。
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，$∠ P=38°$，
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-38°=142°$。
∵$∠ ACB$是弧AB所对的圆周角，$∠ AOB$是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×142°=71°$。
【答案】
$71°$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆的角度计算基础题，核心是通过连接圆心与切点构造直角，将已知角与所求角通过圆心角建立关联，掌握切线性质和圆周角定理即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
解题时先结合切线的性质构造辅助线：连接OA、OB，由切线垂直于过切点的半径可得两个直角，再利用四边形内角和为360°求出圆心角∠AOB的度数，最后根据圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）即可计算出∠ACB的度数。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵PA、PB与$\odot O$相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$。
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，$∠ P=38°$，
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-38°=142°$。
∵$∠ ACB$是弧AB所对的圆周角，$∠ AOB$是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×142°=71°$。
【答案】
$71°$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆的角度计算基础题，核心是通过连接圆心与切点构造直角，将已知角与所求角通过圆心角建立关联，掌握切线性质和圆周角定理即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
6. 如图，AB是$\odot O$的切线，点C是切点，连接OA，OB，若$∠ OAB=45°$，$AC=3$，$BC=6$，则OB的长度是（
A.$3\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{5}$
C.8
D.9
（第6题）
B
）A.$3\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{5}$
C.8
D.9
（第6题）答案
6. B
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“AB是$\odot O$的切线，C是切点”入手，根据切线的性质可推出$OC⊥ AB$，得到两个直角三角形。接下来结合$∠ OAB=45°$，可判断$△ OAC$为等腰直角三角形，得出$OC=AC=3$。最后要求$OB$的长度，观察$OB$在$Rt△ OCB$中，已知$BC=6$，$OC=3$，直接用勾股定理计算即可。
【解析】
连接$OC$，
$\because AB$是$\odot O$的切线，$C$为切点，
$\therefore OC⊥ AB$，即$∠ OCA=∠ OCB=90°$。
在$Rt△ OAC$中，$∠ OAB=45°$，
$\therefore ∠ AOC=90°-∠ OAB=45°$，
$\therefore ∠ OAB=∠ AOC$，
$\therefore OC=AC=3$。
在$Rt△ OCB$中，$BC=6$，$OC=3$，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰直角三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题的核心是熟练运用切线的性质得到垂直关系，再结合等腰直角三角形的特征求出未知直角边的长度，最后利用勾股定理求解斜边，整体逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件“AB是$\odot O$的切线，C是切点”入手，根据切线的性质可推出$OC⊥ AB$，得到两个直角三角形。接下来结合$∠ OAB=45°$，可判断$△ OAC$为等腰直角三角形，得出$OC=AC=3$。最后要求$OB$的长度，观察$OB$在$Rt△ OCB$中，已知$BC=6$，$OC=3$，直接用勾股定理计算即可。
【解析】
连接$OC$，
$\because AB$是$\odot O$的切线，$C$为切点，
$\therefore OC⊥ AB$，即$∠ OCA=∠ OCB=90°$。
在$Rt△ OAC$中，$∠ OAB=45°$，
$\therefore ∠ AOC=90°-∠ OAB=45°$，
$\therefore ∠ OAB=∠ AOC$，
$\therefore OC=AC=3$。
在$Rt△ OCB$中，$BC=6$，$OC=3$，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰直角三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题的核心是熟练运用切线的性质得到垂直关系，再结合等腰直角三角形的特征求出未知直角边的长度，最后利用勾股定理求解斜边，整体逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
7. 如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC长为半径画圆，分别与边AB相切于点B，与边AO相交于点D，连接BD，则∠CBD的度数为 （
A.$135°$
B.$120°$
C.$112.5°$
D.$105.5°$
C
）A.$135°$
B.$120°$
C.$112.5°$
D.$105.5°$
答案
7. C
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据切线的性质，得到过切点的半径OB垂直于切线AB，再结合平行四边形对边平行的性质，推出OB垂直于OC，得到∠COB=90°；其次由OC、OB都是圆的半径可知OC=OB，△COB为等腰直角三角形，可求出∠OBC的度数，同时利用平行线内错角相等得到∠AOB的度数；再结合OB=OD，可知△OBD是等腰三角形，可求出∠OBD的度数；最后将∠OBC和∠OBD相加，即可得到∠CBD的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，切点为B，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB//OC，OA//BC，
∴OB⊥OC，即∠COB=90°，
又
∵OC、OB都是⊙O的半径，
∴OC=OB，△COB是等腰直角三角形，
∴∠OBC=(180°-∠COB)÷2=(180°-90°)÷2=45°，
∵OA//BC，
∴∠AOB=∠OBC=45°（两直线平行，内错角相等），
又
∵OB、OD都是⊙O的半径，
∴OB=OD，△OBD是等腰三角形，
∴∠OBD=(180°-∠BOD)÷2=(180°-45°)÷2=67.5°，
∴∠CBD=∠OBC + ∠OBD=45°+67.5°=112.5°。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；平行四边形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与四边形结合的常规题型，解题的关键是利用切线性质得到直角，再结合平行四边形、等腰三角形的性质逐步推导角度，能很好地考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据切线的性质，得到过切点的半径OB垂直于切线AB，再结合平行四边形对边平行的性质，推出OB垂直于OC，得到∠COB=90°；其次由OC、OB都是圆的半径可知OC=OB，△COB为等腰直角三角形，可求出∠OBC的度数，同时利用平行线内错角相等得到∠AOB的度数；再结合OB=OD，可知△OBD是等腰三角形，可求出∠OBD的度数；最后将∠OBC和∠OBD相加，即可得到∠CBD的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，切点为B，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB//OC，OA//BC，
∴OB⊥OC，即∠COB=90°，
又
∵OC、OB都是⊙O的半径，
∴OC=OB，△COB是等腰直角三角形，
∴∠OBC=(180°-∠COB)÷2=(180°-90°)÷2=45°，
∵OA//BC，
∴∠AOB=∠OBC=45°（两直线平行，内错角相等），
又
∵OB、OD都是⊙O的半径，
∴OB=OD，△OBD是等腰三角形，
∴∠OBD=(180°-∠BOD)÷2=(180°-45°)÷2=67.5°，
∴∠CBD=∠OBC + ∠OBD=45°+67.5°=112.5°。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；平行四边形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与四边形结合的常规题型，解题的关键是利用切线性质得到直角，再结合平行四边形、等腰三角形的性质逐步推导角度，能很好地考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图，以点O为圆心的两个同心圆的半径分别为4和3，大圆的弦AB切小圆于点C，则AB=
2√7
.答案
8. $2\sqrt{7}$
解析
【分析】
遇到切线的问题，首先联想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接OC，可得OC⊥AB；再结合垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，可得C是AB的中点，即AB=2AC；最后连接OA，构造出Rt△OAC，利用勾股定理计算AC的长度，再乘以2即可得到AB的长度。
【解析】
解：连接OC、OA，
∵大圆的弦AB切小圆于点C，
∴OC⊥AB（圆的切线垂直于过切点的半径），
由垂径定理可得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$，
∵大圆半径$OA=4$，小圆半径$OC=3$，
∴在$Rt△ OAC$中，$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$，
∴$AB=2AC=2\sqrt{7}$。
【答案】
$2\sqrt{7}$
【知识点】
切线的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是掌握切线性质和垂径定理结合的常规辅助线作法，通过构造直角三角形利用勾股定理求解，是圆中求弦长的典型题型。
【难度系数】
0.7
遇到切线的问题，首先联想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接OC，可得OC⊥AB；再结合垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，可得C是AB的中点，即AB=2AC；最后连接OA，构造出Rt△OAC，利用勾股定理计算AC的长度，再乘以2即可得到AB的长度。
【解析】
解：连接OC、OA，
∵大圆的弦AB切小圆于点C，
∴OC⊥AB（圆的切线垂直于过切点的半径），
由垂径定理可得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$，
∵大圆半径$OA=4$，小圆半径$OC=3$，
∴在$Rt△ OAC$中，$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$，
∴$AB=2AC=2\sqrt{7}$。
【答案】
$2\sqrt{7}$
【知识点】
切线的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是掌握切线性质和垂径定理结合的常规辅助线作法，通过构造直角三角形利用勾股定理求解，是圆中求弦长的典型题型。
【难度系数】
0.7
