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10. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，分别判断下列以点$C$为圆心，以$r$为半径的圆与直线$AB$有何位置关系？为什么？
(1) $r=4\ \mathrm{cm}$；
(2) $r=4.8\ \mathrm{cm}$；
(3) $r=6\ \mathrm{cm}$。
(1) $r=4\ \mathrm{cm}$；
(2) $r=4.8\ \mathrm{cm}$；
(3) $r=6\ \mathrm{cm}$。
答案
10. $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(\mathrm{cm})$,设$AB$边高为$h$,则$h· AB=AC× BC$,$h=\frac{6×8}{10}=4.8(\mathrm{cm})$
(1) 当$r=4\ \mathrm{cm}$,$d＞r$,则$AB$与$\odot C$相离
(2) 当$r=4.8\ \mathrm{cm}$,$d=r$,则$AB$与$\odot C$相切
(3) 当$r=6\ \mathrm{cm}$,$d＜r$,则$AB$与$\odot C$相交
(1) 当$r=4\ \mathrm{cm}$,$d＞r$,则$AB$与$\odot C$相离
(2) 当$r=4.8\ \mathrm{cm}$,$d=r$,则$AB$与$\odot C$相切
(3) 当$r=6\ \mathrm{cm}$,$d＜r$,则$AB$与$\odot C$相交
解析
【分析】要判断直线AB与以C为圆心的圆的位置关系，核心是比较圆心C到直线AB的距离d和半径r的大小：当d＞r时直线与圆相离，d=r时相切，d＜r时相交。首先可利用勾股定理计算斜边AB的长度，再通过直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），用等面积法求出点C到AB的距离d，最后将d分别与三个r对比即可得出结论。
【解析】在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6\mathrm{cm}$，$BC=8\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\mathrm{cm}$
设点C到直线AB的距离为$d$（即AB边上的高），根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· d$
代入数值解得：$d=\frac{AC× BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=4.8\mathrm{cm}$
(1) 当$r=4\mathrm{cm}$时，$d=4.8\mathrm{cm}＞r$，因此直线AB与$\odot C$相离；
(2) 当$r=4.8\mathrm{cm}$时，$d=r$，因此直线AB与$\odot C$相切；
(3) 当$r=6\mathrm{cm}$时，$d=4.8\mathrm{cm}＜r$，因此直线AB与$\odot C$相交。
【答案】(1) 相离；(2) 相切；(3) 相交
【知识点】勾股定理；直线与圆的位置关系判定；等面积法求高
【点评】本题属于直线与圆位置关系的基础考查题，解题关键是明确位置关系的判定规则，掌握用等面积法求直角三角形斜边上高的常用技巧，能为后续复杂的几何位置分析打下基础。
【难度系数】0.7
【解析】在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6\mathrm{cm}$，$BC=8\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\mathrm{cm}$
设点C到直线AB的距离为$d$（即AB边上的高），根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· d$
代入数值解得：$d=\frac{AC× BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=4.8\mathrm{cm}$
(1) 当$r=4\mathrm{cm}$时，$d=4.8\mathrm{cm}＞r$，因此直线AB与$\odot C$相离；
(2) 当$r=4.8\mathrm{cm}$时，$d=r$，因此直线AB与$\odot C$相切；
(3) 当$r=6\mathrm{cm}$时，$d=4.8\mathrm{cm}＜r$，因此直线AB与$\odot C$相交。
【答案】(1) 相离；(2) 相切；(3) 相交
【知识点】勾股定理；直线与圆的位置关系判定；等面积法求高
【点评】本题属于直线与圆位置关系的基础考查题，解题关键是明确位置关系的判定规则，掌握用等面积法求直角三角形斜边上高的常用技巧，能为后续复杂的几何位置分析打下基础。
【难度系数】0.7
11. 如图，AB是半径为6的$\odot O$的弦，$AB=6$. 以点O为圆心，以3为半径的圆与AB所在直线有怎样的位置关系？请说明理由。
答案
11. 以点O为圆心,以3为半径的圆与AB所在直线相离. 理由:如图
,连接OA,过点O作$OE⊥ BA$,垂足为E,$\because AB=6$,$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=3$,$\because OA=6$,$\therefore OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$,$\because 3\sqrt{3}＞3$,$\therefore$以点O为圆心,3为半径的圆与AB所在直线相离解析
【分析】
要判断小圆与AB所在直线的位置关系，核心方法是比较圆心O到直线AB的距离和小圆半径3的大小：距离大于半径时两图形相离，等于时相切，小于时相交。解题时首先过O作AB的垂线，利用垂径定理得到弦长一半的长度，再在直角三角形中用勾股定理求出圆心到直线的距离，最后和3比较大小即可得出结论。
【解析】
解：以点O为圆心、3为半径的圆与AB所在直线相离，理由如下：
如图，连接OA，过点O作$OE⊥BA$，垂足为E。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，已知$AB=6$，因此$AE=\frac{1}{2}AB=3$。
已知$\odot O$的半径$OA=6$，在$Rt△ OAE$中，由勾股定理可得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
因为$3\sqrt{3}＞3$，即圆心O到直线AB的距离大于小圆的半径，因此以点O为圆心、3为半径的圆与AB所在直线相离。
【答案】
以点O为圆心,以3为半径的圆与AB所在直线相离. 理由:如图,连接OA,过点O作$OE⊥ BA$,垂足为E,$\because AB=6$,$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=3$,$\because OA=6$,$\therefore OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$,$\because 3\sqrt{3}＞3$,$\therefore$以点O为圆心,3为半径的圆与AB所在直线相离
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的基础题，解题关键是掌握位置关系的判定方法，能结合垂径定理、勾股定理求出圆心到直线的距离，熟练掌握相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要判断小圆与AB所在直线的位置关系，核心方法是比较圆心O到直线AB的距离和小圆半径3的大小：距离大于半径时两图形相离，等于时相切，小于时相交。解题时首先过O作AB的垂线，利用垂径定理得到弦长一半的长度，再在直角三角形中用勾股定理求出圆心到直线的距离，最后和3比较大小即可得出结论。
【解析】
解：以点O为圆心、3为半径的圆与AB所在直线相离，理由如下：
如图
，连接OA，过点O作$OE⊥BA$，垂足为E。根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，已知$AB=6$，因此$AE=\frac{1}{2}AB=3$。
已知$\odot O$的半径$OA=6$，在$Rt△ OAE$中，由勾股定理可得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
因为$3\sqrt{3}＞3$，即圆心O到直线AB的距离大于小圆的半径，因此以点O为圆心、3为半径的圆与AB所在直线相离。
【答案】
以点O为圆心,以3为半径的圆与AB所在直线相离. 理由:如图
,连接OA,过点O作$OE⊥ BA$,垂足为E,$\because AB=6$,$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=3$,$\because OA=6$,$\therefore OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$,$\because 3\sqrt{3}＞3$,$\therefore$以点O为圆心,3为半径的圆与AB所在直线相离【知识点】
直线与圆的位置关系判定；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的基础题，解题关键是掌握位置关系的判定方法，能结合垂径定理、勾股定理求出圆心到直线的距离，熟练掌握相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
12. 如图，$\odot O$的半径为5，AB，AC是$\odot O$的两条弦，$AB=6\sqrt{2}$，$AC=8$. 如果以点O为圆心，作一个与AC相切的圆，则这个圆的半径是多少？它与AB有怎样的位置关系？为什么？
答案
12. 如图
,作$OD⊥ AC$,垂足为D,$OE⊥ AB$,垂足为E,连接OA,则$AD=CD=\frac{1}{2}AC=4$,$AE=BE=\frac{1}{2}AB=3\sqrt{2}$,$∠ ODA=∠ OEA=90°$,由勾股定理,得$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{7}$,即过点O作一个圆与AC相切,则这个圆的半径是3,这个圆与AB相交,理由如下:$\because \sqrt{7}＜3$,即$d＜r$,$\therefore$与CA相切的圆与AB相交解析
【分析】
要解决本题需分两步思考：第一步求与AC相切的圆的半径，根据直线与圆相切的性质，圆心到直线的距离等于圆的半径，因此只需计算圆心O到弦AC的距离即可；第二步判断该圆与AB的位置关系，只需计算圆心O到弦AB的距离，再和所求半径比较：若距离小于半径则相交，等于半径则相切，大于半径则相离。计算距离时，可利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理求出垂线段的长度。
【解析】
过点O作$OD⊥AC$，垂足为D，作$OE⊥AB$，垂足为E，连接OA。
根据垂径定理可得：
$AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$，
$AE=BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，
且$∠ ODA=∠ OEA=90°$。
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理：
$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3$，即与AC相切的圆的半径为3。
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{25-18}=\sqrt{7}$。
因为$\sqrt{7}＜3$，即圆心O到AB的距离小于圆的半径，所以该圆与AB相交。
【答案】
12. 如图,作$OD⊥ AC$,垂足为D,$OE⊥ AB$,垂足为E,连接OA,则$AD=CD=\frac{1}{2}AC=4$,$AE=BE=\frac{1}{2}AB=3\sqrt{2}$,$∠ ODA=∠ OEA=90°$,由勾股定理,得$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{7}$,即过点O作一个圆与AC相切,则这个圆的半径是3,这个圆与AB相交,理由如下:$\because \sqrt{7}＜3$,即$d＜r$,$\therefore$与CA相切的圆与AB相交
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于圆章节的基础常考题，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，结合垂径定理得到弦长的一半，再用勾股定理求出圆心到弦的距离，最后根据距离和半径的大小关系判断直线与圆的位置关系，逻辑清晰，注重基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.7
要解决本题需分两步思考：第一步求与AC相切的圆的半径，根据直线与圆相切的性质，圆心到直线的距离等于圆的半径，因此只需计算圆心O到弦AC的距离即可；第二步判断该圆与AB的位置关系，只需计算圆心O到弦AB的距离，再和所求半径比较：若距离小于半径则相交，等于半径则相切，大于半径则相离。计算距离时，可利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理求出垂线段的长度。
【解析】
过点O作$OD⊥AC$，垂足为D，作$OE⊥AB$，垂足为E，连接OA。
根据垂径定理可得：
$AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$，
$AE=BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，
且$∠ ODA=∠ OEA=90°$。
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理：
$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3$，即与AC相切的圆的半径为3。
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{25-18}=\sqrt{7}$。
因为$\sqrt{7}＜3$，即圆心O到AB的距离小于圆的半径，所以该圆与AB相交。
【答案】
12. 如图
,作$OD⊥ AC$,垂足为D,$OE⊥ AB$,垂足为E,连接OA,则$AD=CD=\frac{1}{2}AC=4$,$AE=BE=\frac{1}{2}AB=3\sqrt{2}$,$∠ ODA=∠ OEA=90°$,由勾股定理,得$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{7}$,即过点O作一个圆与AC相切,则这个圆的半径是3,这个圆与AB相交,理由如下:$\because \sqrt{7}＜3$,即$d＜r$,$\therefore$与CA相切的圆与AB相交【知识点】
垂径定理，勾股定理，直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于圆章节的基础常考题，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，结合垂径定理得到弦长的一半，再用勾股定理求出圆心到弦的距离，最后根据距离和半径的大小关系判断直线与圆的位置关系，逻辑清晰，注重基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.7
13. 如图，已知直线 $ l_1 ⊥ l_2 $，$ AM ⊥ l_1 $，$ AN ⊥ l_2 $，垂足分别为M，O，N，AM=4，AN=3，以A为圆心，r为半径作$ \odot A $，根据下列条件，确定r的取值范围.
（1）若$ \odot A $与两直线无公共点，则r的取值范围是
（2）若$ \odot A $与两直线有一个公共点，则r的取值范围是
（3）若$ \odot A $与两直线有两个公共点，则r的取值范围是
（4）若$ \odot A $与两直线有三个公共点，则r的取值范围是
（5）若$ \odot A $与两直线有四个公共点，则r的取值范围是
（1）若$ \odot A $与两直线无公共点，则r的取值范围是
$0＜r＜3$
；（2）若$ \odot A $与两直线有一个公共点，则r的取值范围是
$r=3$
；（3）若$ \odot A $与两直线有两个公共点，则r的取值范围是
$3＜r＜4$
；（4）若$ \odot A $与两直线有三个公共点，则r的取值范围是
$r=4或r=5$
；（5）若$ \odot A $与两直线有四个公共点，则r的取值范围是
$r＞4且r≠5$
.答案
13. (1) $0＜r＜3$
(2) $r=3$
(3) $3＜r＜4$
(4) $r=4$或$r=5$
(5) $r＞4$且$r≠5$
(2) $r=3$
(3) $3＜r＜4$
(4) $r=4$或$r=5$
(5) $r＞4$且$r≠5$
解析
【分析】
解题思路：首先明确直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离$d$与半径$r$的大小关系判定：$d＞r$时相离（无公共点），$d=r$时相切（1个公共点），$d＜r$时相交（2个公共点）。第一步先求出点$A$到两条直线$l_1$、$l_2$的距离，以及两直线交点$O$到点$A$的距离；第二步结合$r$的不同取值，分类讨论圆与两条直线的公共点总数，注意不要遗漏圆过两直线交点的特殊情况。
【解析】
由题意得，点$A$到直线$l_1$的距离$d_1=AM=4$，点$A$到直线$l_2$的距离$d_2=AN=3$，
$\because l_1⊥ l_2$，由勾股定理可得两直线交点$O$到$A$的距离$OA=\sqrt{AM^2+AN^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
根据直线与圆的位置关系，分情况讨论：
（1）若$\odot A$与两直线无公共点，说明$\odot A$和$l_1$、$l_2$都相离，即$r＜d_2＜d_1$，又半径$r＞0$，故$0＜r＜3$；
（2）若$\odot A$与两直线有1个公共点，说明$\odot A$和$l_2$相切，和$l_1$相离，即$r=d_2=3＜d_1$，故$r=3$；
（3）若$\odot A$与两直线有2个公共点，说明$\odot A$和$l_2$相交，和$l_1$相离，即$d_2＜r＜d_1$，故$3＜r＜4$；
（4）若$\odot A$与两直线有3个公共点，分两种情况：①$r=d_1=4$时，$\odot A$和$l_1$相切（1个公共点），和$l_2$相交（2个公共点），共3个公共点；②$r=OA=5$时，$\odot A$过$l_1$与$l_2$的交点$O$，此时$\odot A$和$l_1$、$l_2$各有2个公共点，但$O$点为两直线与圆的公共交点，总公共点个数为$2+2-1=3$，故$r=4$或$r=5$；
（5）若$\odot A$与两直线有4个公共点，说明$\odot A$和$l_1$、$l_2$都相交，且不过交点$O$，即$r＞d_1=4$且$r≠5$，故$r＞4$且$r≠5$。
【答案】
（1）$0＜r＜3$；（2）$r=3$；（3）$3＜r＜4$；（4）$r=4$或$r=5$；（5）$r＞4$且$r≠5$
【知识点】
直线与圆的位置关系；点到直线的距离；勾股定理
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的综合应用，解题的关键是掌握直线与圆位置关系的判定方法，结合半径的取值分类讨论，注意不要忽略圆过两直线交点的特殊情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题思路：首先明确直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离$d$与半径$r$的大小关系判定：$d＞r$时相离（无公共点），$d=r$时相切（1个公共点），$d＜r$时相交（2个公共点）。第一步先求出点$A$到两条直线$l_1$、$l_2$的距离，以及两直线交点$O$到点$A$的距离；第二步结合$r$的不同取值，分类讨论圆与两条直线的公共点总数，注意不要遗漏圆过两直线交点的特殊情况。
【解析】
由题意得，点$A$到直线$l_1$的距离$d_1=AM=4$，点$A$到直线$l_2$的距离$d_2=AN=3$，
$\because l_1⊥ l_2$，由勾股定理可得两直线交点$O$到$A$的距离$OA=\sqrt{AM^2+AN^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
根据直线与圆的位置关系，分情况讨论：
（1）若$\odot A$与两直线无公共点，说明$\odot A$和$l_1$、$l_2$都相离，即$r＜d_2＜d_1$，又半径$r＞0$，故$0＜r＜3$；
（2）若$\odot A$与两直线有1个公共点，说明$\odot A$和$l_2$相切，和$l_1$相离，即$r=d_2=3＜d_1$，故$r=3$；
（3）若$\odot A$与两直线有2个公共点，说明$\odot A$和$l_2$相交，和$l_1$相离，即$d_2＜r＜d_1$，故$3＜r＜4$；
（4）若$\odot A$与两直线有3个公共点，分两种情况：①$r=d_1=4$时，$\odot A$和$l_1$相切（1个公共点），和$l_2$相交（2个公共点），共3个公共点；②$r=OA=5$时，$\odot A$过$l_1$与$l_2$的交点$O$，此时$\odot A$和$l_1$、$l_2$各有2个公共点，但$O$点为两直线与圆的公共交点，总公共点个数为$2+2-1=3$，故$r=4$或$r=5$；
（5）若$\odot A$与两直线有4个公共点，说明$\odot A$和$l_1$、$l_2$都相交，且不过交点$O$，即$r＞d_1=4$且$r≠5$，故$r＞4$且$r≠5$。
【答案】
（1）$0＜r＜3$；（2）$r=3$；（3）$3＜r＜4$；（4）$r=4$或$r=5$；（5）$r＞4$且$r≠5$
【知识点】
直线与圆的位置关系；点到直线的距离；勾股定理
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的综合应用，解题的关键是掌握直线与圆位置关系的判定方法，结合半径的取值分类讨论，注意不要忽略圆过两直线交点的特殊情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
