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8. 2026年央视春节联欢晚会中，多款智能机器人登台完成高难度武术与舞蹈协同表演. 为检测机器人表演的动作稳定性，技术人员对两种型号机器人完成一次标准空翻动作的耗时(单位：s)进行统计，抽取10台G1型号机器人，测得完成标准动作的耗时数据：1.23，1.18，1.26，1.31，1.24，1.19，1.28，1.22，1.25，1.30.
(1) 求G1型号机器人耗时数据的四分位数；
(2) 已知H2型号机器人的耗时数据的四分位数为1.21，1.24，1.27，根据上述信息，比较两种型号机器人完成动作的耗时情况，并说明理由.
(1) 求G1型号机器人耗时数据的四分位数；
(2) 已知H2型号机器人的耗时数据的四分位数为1.21，1.24，1.27，根据上述信息，比较两种型号机器人完成动作的耗时情况，并说明理由.
答案
8. (1) G1型号机器人：$m_{25}=1.22,m_{50}=1.245,m_{75}=1.28$
(2) H2型号机器人耗时中位数、第一四分位数、第三四分位数都更小，可以认为整体速度水平H2型号机器人更快
(2) H2型号机器人耗时中位数、第一四分位数、第三四分位数都更小，可以认为整体速度水平H2型号机器人更快
解析
【分析】
(1) 求解四分位数首先要将数据从小到大排序，再按照四分位数的计算规则确定位置：先计算i=n×p%，若i为整数，对应分位数是第i个和第i+1个数据的平均数；若i不是整数，向上取整后对应位置的数据就是该分位数。
(2) 比较两种型号机器人的耗时情况，可直接对比二者的第一四分位数、中位数、第三四分位数，分位数越小说明对应分位的耗时越短，整体速度水平越高。
【解析】
(1) 先将G1型号机器人的10个耗时数据从小到大排序：
1.18，1.19，1.22，1.23，1.24，1.25，1.26，1.28，1.30，1.31
① 计算25%分位数：$i=10×25\%=2.5$，不是整数，向上取整为3，取第3个数据，得$m_{25}=1.22$；
② 计算50%分位数（中位数）：$i=10×50\%=5$，是整数，取第5个和第6个数据的平均数，得$m_{50}=\frac{1.24+1.25}{2}=1.245$；
③ 计算75%分位数：$i=10×75\%=7.5$，不是整数，向上取整为8，取第8个数据，得$m_{75}=1.28$。
(2) 对比两种型号的四分位数：H2型号的第一四分位数1.21＜G1的1.22，H2的中位数1.24＜G1的1.245，H2的第三四分位数1.27＜G1的1.28，说明H2型号在各分位的耗时都更短，因此整体速度水平H2型号更快。
【答案】
(1) G1型号机器人：$m_{25}=1.22,m_{50}=1.245,m_{75}=1.28$
(2) H2型号机器人耗时中位数、第一四分位数、第三四分位数都更小，可以认为整体速度水平H2型号机器人更快
【知识点】
四分位数计算，中位数计算，统计量应用
【点评】
本题结合实际科技应用场景考查四分位数的相关知识，侧重基础概念的掌握与应用，解题核心是先正确排序数据，再按规则计算分位数，通过分位数对比可直观反映两组数据的分布差异。
【难度系数】
0.7
(1) 求解四分位数首先要将数据从小到大排序，再按照四分位数的计算规则确定位置：先计算i=n×p%，若i为整数，对应分位数是第i个和第i+1个数据的平均数；若i不是整数，向上取整后对应位置的数据就是该分位数。
(2) 比较两种型号机器人的耗时情况，可直接对比二者的第一四分位数、中位数、第三四分位数，分位数越小说明对应分位的耗时越短，整体速度水平越高。
【解析】
(1) 先将G1型号机器人的10个耗时数据从小到大排序：
1.18，1.19，1.22，1.23，1.24，1.25，1.26，1.28，1.30，1.31
① 计算25%分位数：$i=10×25\%=2.5$，不是整数，向上取整为3，取第3个数据，得$m_{25}=1.22$；
② 计算50%分位数（中位数）：$i=10×50\%=5$，是整数，取第5个和第6个数据的平均数，得$m_{50}=\frac{1.24+1.25}{2}=1.245$；
③ 计算75%分位数：$i=10×75\%=7.5$，不是整数，向上取整为8，取第8个数据，得$m_{75}=1.28$。
(2) 对比两种型号的四分位数：H2型号的第一四分位数1.21＜G1的1.22，H2的中位数1.24＜G1的1.245，H2的第三四分位数1.27＜G1的1.28，说明H2型号在各分位的耗时都更短，因此整体速度水平H2型号更快。
【答案】
(1) G1型号机器人：$m_{25}=1.22,m_{50}=1.245,m_{75}=1.28$
(2) H2型号机器人耗时中位数、第一四分位数、第三四分位数都更小，可以认为整体速度水平H2型号机器人更快
【知识点】
四分位数计算，中位数计算，统计量应用
【点评】
本题结合实际科技应用场景考查四分位数的相关知识，侧重基础概念的掌握与应用，解题核心是先正确排序数据，再按规则计算分位数，通过分位数对比可直观反映两组数据的分布差异。
【难度系数】
0.7
9. 数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动，同学们随机收集A，B两种树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y(单位：cm)，宽x(单位：cm)的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
| 树叶序号 | ① | ② | ③ | ④ | ⑤ | ⑥ | ⑦ | ⑧ | ⑨ | ⑩ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| A种树叶的长宽比 | 3.8 | 3.7 | 3.5 |
| 3.8 | 4.0 | 3.6 | 4.0 | 3.6 | 4.0 |
| B种树叶的长宽比 | 2.0 | 2.0 | 2.0 | 2.4 | 1.8 | 1.9 | 1.8 | 2.0 | 1.3 | 1.9 |
(1) 分别计算A，B两种树叶长宽比的三个四分位数；
(2) 现有一片长11 cm，宽5.6 cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自A，B两种树中的哪一种，并给出理由。
| 树叶序号 | ① | ② | ③ | ④ | ⑤ | ⑥ | ⑦ | ⑧ | ⑨ | ⑩ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| A种树叶的长宽比 | 3.8 | 3.7 | 3.5 |
| 3.8 | 4.0 | 3.6 | 4.0 | 3.6 | 4.0 || B种树叶的长宽比 | 2.0 | 2.0 | 2.0 | 2.4 | 1.8 | 1.9 | 1.8 | 2.0 | 1.3 | 1.9 |
(1) 分别计算A，B两种树叶长宽比的三个四分位数；
(2) 现有一片长11 cm，宽5.6 cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自A，B两种树中的哪一种，并给出理由。
答案
9. (1) A树叶的长宽比：$m_{25}=3.6,m_{50}=3.75,m_{75}=4$;B树叶的长宽比：$m_{25}=1.8,m_{50}=1.95,m_{75}=2$
(2) 这片树叶更可能是B树，理由如下：这片树叶长11 cm，宽5.6 cm，长宽比大约为2.0，根据平均数、中位数或$m_{50}$来判断都可能来自B树
(2) 这片树叶更可能是B树，理由如下：这片树叶长11 cm，宽5.6 cm，长宽比大约为2.0，根据平均数、中位数或$m_{50}$来判断都可能来自B树
解析
【分析】
(1) 求四分位数的通用思路：第一步，将每组数据从小到大排序；第二步，计算各四分位数对应的位置：数据总数为n时，p分位数的位置为i=n×p；第三步，根据位置确定分位数：若i是整数，取第i个和第i+1个数据的平均数作为分位数；若i是小数，向上取整后对应位置的数据即为分位数，按照该步骤分别计算A、B两组的三个四分位数即可。
(2) 判断树叶归属的思路：先计算未知树叶的长宽比，再对比A、B两组长宽比的集中趋势统计量（如中位数、四分位数），该比值更接近哪组的集中水平，就更可能来自哪类树。
【解析】
(1) 先处理A种树叶的长宽比数据：
将A种10个长宽比数据从小到大排序后为：3.5，3.6，3.6，3.7，3.7，3.8，3.8，4.0，4.0，4.0
数据总数n=10：
① 25%分位数位置：$10×25\%=2.5$，向上取整为3，对应第3个数据为3.6，故$m_{25}=3.6$
② 50%分位数位置：$10×50\%=5$，是整数，取第5、6个数据的平均值：$\frac{3.7+3.8}{2}=3.75$，故$m_{50}=3.75$
③ 75%分位数位置：$10×75\%=7.5$，向上取整为8，对应第8个数据为4.0，故$m_{75}=4$
再处理B种树叶的长宽比数据：
将B种10个长宽比数据从小到大排序后为：1.3，1.8，1.8，1.9，1.9，2.0，2.0，2.0，2.0，2.4
① 25%分位数位置：$10×25\%=2.5$，向上取整为3，对应第3个数据为1.8，故$m_{25}=1.8$
② 50%分位数位置：$10×50\%=5$，是整数，取第5、6个数据的平均值：$\frac{1.9+2.0}{2}=1.95$，故$m_{50}=1.95$
③ 75%分位数位置：$10×75\%=7.5$，向上取整为8，对应第8个数据为2.0，故$m_{75}=2$
(2) 先计算未知树叶的长宽比：$\frac{11}{5.6}\approx2.0$
该数值接近B种树叶长宽比的中位数、四分位数等集中趋势统计量，远小于A种树叶的中位数3.75，因此这片树叶更可能来自B种树。
【答案】
(1) A种树叶长宽比的三个四分位数为$m_{25}=3.6,m_{50}=3.75,m_{75}=4$；B种树叶长宽比的三个四分位数为$m_{25}=1.8,m_{50}=1.95,m_{75}=2$
(2) 这片树叶更可能来自B种树，理由：该树叶长宽比约为2.0，与B种树叶长宽比的集中水平更接近。
【知识点】
四分位数计算；统计量应用；数据集中趋势
【点评】
本题结合生活实践场景，既考查了四分位数的基础计算方法，又考查了利用统计特征进行实际推断的能力，体现了统计知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
(1) 求四分位数的通用思路：第一步，将每组数据从小到大排序；第二步，计算各四分位数对应的位置：数据总数为n时，p分位数的位置为i=n×p；第三步，根据位置确定分位数：若i是整数，取第i个和第i+1个数据的平均数作为分位数；若i是小数，向上取整后对应位置的数据即为分位数，按照该步骤分别计算A、B两组的三个四分位数即可。
(2) 判断树叶归属的思路：先计算未知树叶的长宽比，再对比A、B两组长宽比的集中趋势统计量（如中位数、四分位数），该比值更接近哪组的集中水平，就更可能来自哪类树。
【解析】
(1) 先处理A种树叶的长宽比数据：
将A种10个长宽比数据从小到大排序后为：3.5，3.6，3.6，3.7，3.7，3.8，3.8，4.0，4.0，4.0
数据总数n=10：
① 25%分位数位置：$10×25\%=2.5$，向上取整为3，对应第3个数据为3.6，故$m_{25}=3.6$
② 50%分位数位置：$10×50\%=5$，是整数，取第5、6个数据的平均值：$\frac{3.7+3.8}{2}=3.75$，故$m_{50}=3.75$
③ 75%分位数位置：$10×75\%=7.5$，向上取整为8，对应第8个数据为4.0，故$m_{75}=4$
再处理B种树叶的长宽比数据：
将B种10个长宽比数据从小到大排序后为：1.3，1.8，1.8，1.9，1.9，2.0，2.0，2.0，2.0，2.4
① 25%分位数位置：$10×25\%=2.5$，向上取整为3，对应第3个数据为1.8，故$m_{25}=1.8$
② 50%分位数位置：$10×50\%=5$，是整数，取第5、6个数据的平均值：$\frac{1.9+2.0}{2}=1.95$，故$m_{50}=1.95$
③ 75%分位数位置：$10×75\%=7.5$，向上取整为8，对应第8个数据为2.0，故$m_{75}=2$
(2) 先计算未知树叶的长宽比：$\frac{11}{5.6}\approx2.0$
该数值接近B种树叶长宽比的中位数、四分位数等集中趋势统计量，远小于A种树叶的中位数3.75，因此这片树叶更可能来自B种树。
【答案】
(1) A种树叶长宽比的三个四分位数为$m_{25}=3.6,m_{50}=3.75,m_{75}=4$；B种树叶长宽比的三个四分位数为$m_{25}=1.8,m_{50}=1.95,m_{75}=2$
(2) 这片树叶更可能来自B种树，理由：该树叶长宽比约为2.0，与B种树叶长宽比的集中水平更接近。
【知识点】
四分位数计算；统计量应用；数据集中趋势
【点评】
本题结合生活实践场景，既考查了四分位数的基础计算方法，又考查了利用统计特征进行实际推断的能力，体现了统计知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
