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1. 如图，点C在线段AB上，D是AC的中点，如果$CB=\frac{3}{2}CD$，$AB=10.5\ \mathrm{cm}$，那么BC的长为（
A.2.5 cm
B.3 cm
C.4.5 cm
D.6 cm
C
）A.2.5 cm
B.3 cm
C.4.5 cm
D.6 cm
答案
C
解析
【分析】
遇到这类线段长度计算的题目，首先观察各线段的数量关系：本题中D是AC中点，可得AD=CD，且已知CB和CD的数量关系，所有线段都可通过CD的长度表示，因此我们可以设CD的长度为未知量，结合AB的总长度列方程求解即可。
【解析】
设 $ CD = x\ \mathrm{cm} $
∵ D是AC的中点，
∴ $ AD = CD = x $，$ AC = 2CD = 2x $
又
∵ $ CB=\frac{3}{2}CD $，
∴ $ CB = \frac{3}{2}x\ \mathrm{cm} $
由线段和差关系可知：$ AB = AC + CB $，代入已知 $ AB=10.5\ \mathrm{cm} $ 得：
$ 2x + \frac{3}{2}x = 10.5 $
合并同类项：$ \frac{7}{2}x = 10.5 $，即 $ 3.5x=10.5 $
解得 $ x=3 $
因此 $ BC = \frac{3}{2}x = \frac{3}{2} × 3 = 4.5\ \mathrm{cm} $
【答案】
C
【知识点】
线段中点性质，线段和差计算，方程思想应用
【点评】
本题是线段计算的常见基础题型，通过设中间量将各线段长度关联，结合总线段长度列方程求解的方法是线段计算的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
遇到这类线段长度计算的题目，首先观察各线段的数量关系：本题中D是AC中点，可得AD=CD，且已知CB和CD的数量关系，所有线段都可通过CD的长度表示，因此我们可以设CD的长度为未知量，结合AB的总长度列方程求解即可。
【解析】
设 $ CD = x\ \mathrm{cm} $
∵ D是AC的中点，
∴ $ AD = CD = x $，$ AC = 2CD = 2x $
又
∵ $ CB=\frac{3}{2}CD $，
∴ $ CB = \frac{3}{2}x\ \mathrm{cm} $
由线段和差关系可知：$ AB = AC + CB $，代入已知 $ AB=10.5\ \mathrm{cm} $ 得：
$ 2x + \frac{3}{2}x = 10.5 $
合并同类项：$ \frac{7}{2}x = 10.5 $，即 $ 3.5x=10.5 $
解得 $ x=3 $
因此 $ BC = \frac{3}{2}x = \frac{3}{2} × 3 = 4.5\ \mathrm{cm} $
【答案】
C
【知识点】
线段中点性质，线段和差计算，方程思想应用
【点评】
本题是线段计算的常见基础题型，通过设中间量将各线段长度关联，结合总线段长度列方程求解的方法是线段计算的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
2. 如图，C是线段AB上一点，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，如果MC比NC长2 cm，那么AC比BC长（
A.2 cm
B.4 cm
C.1 cm
D.6 cm
B
）A.2 cm
B.4 cm
C.1 cm
D.6 cm
答案
B
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：M是AC的中点，N是BC的中点，且MC比NC长2cm，要求AC与BC的长度差。首先结合线段中点的性质，中点会将对应线段分为长度相等的两部分，因此AC和BC可以分别用MC、NC表示，再将AC-BC转化为含MC-NC的式子，整体代入已知差值即可求出结果，无需计算各线段的具体长度。
【解析】
∵ M是线段AC的中点，根据线段中点的定义，
∴ AC = 2MC，
∵ N是线段BC的中点，同理可得：
∴ BC = 2NC，
由题意可知MC - NC = 2cm，
因此AC - BC = 2MC - 2NC = 2(MC - NC) = 2×2 = 4(cm)，
即AC比BC长4cm，故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段中点的定义；线段的差运算
【点评】
本题重点考查线段中点性质的应用，解题核心是利用中点的倍分关系将所求线段的差转化为已知差值的倍数，运用整体代入的思想即可快速求解，熟练掌握线段中点的性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：M是AC的中点，N是BC的中点，且MC比NC长2cm，要求AC与BC的长度差。首先结合线段中点的性质，中点会将对应线段分为长度相等的两部分，因此AC和BC可以分别用MC、NC表示，再将AC-BC转化为含MC-NC的式子，整体代入已知差值即可求出结果，无需计算各线段的具体长度。
【解析】
∵ M是线段AC的中点，根据线段中点的定义，
∴ AC = 2MC，
∵ N是线段BC的中点，同理可得：
∴ BC = 2NC，
由题意可知MC - NC = 2cm，
因此AC - BC = 2MC - 2NC = 2(MC - NC) = 2×2 = 4(cm)，
即AC比BC长4cm，故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段中点的定义；线段的差运算
【点评】
本题重点考查线段中点性质的应用，解题核心是利用中点的倍分关系将所求线段的差转化为已知差值的倍数，运用整体代入的思想即可快速求解，熟练掌握线段中点的性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
3. 若点A,B,C在同一条直线上，线段AB=7 cm，BC=3 cm，则A,C两点间的距离是（
A.4 cm
B.10 cm
C.10 cm或4 cm
D.7 cm或3 cm
C
）A.4 cm
B.10 cm
C.10 cm或4 cm
D.7 cm或3 cm
答案
C
解析
【分析】
已知三点在同一条直线上，题目未明确点C相对于线段AB的位置，因此需要分类讨论点C的位置：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上，再分别根据线段的和差关系计算A、C两点的距离即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当点C在线段AB之间时，A、C两点的距离为线段AB与BC的差，即：
$AC = AB - BC = 7\mathrm{cm} - 3\mathrm{cm} = 4\mathrm{cm}$
2. 当点C在线段AB的延长线上时，A、C两点的距离为线段AB与BC的和，即：
$AC = AB + BC = 7\mathrm{cm} + 3\mathrm{cm} = 10\mathrm{cm}$
综上，A、C两点间的距离是10cm或4cm。
【答案】
C
【知识点】
线段的和差计算，分类讨论思想，两点间的距离
【点评】
本题属于线段计算的典型易错题，解题的核心是要考虑到同一直线上三点位置的多种可能性，避免因思维局限只考虑一种情况出现漏解。
【难度系数】
0.7
已知三点在同一条直线上，题目未明确点C相对于线段AB的位置，因此需要分类讨论点C的位置：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上，再分别根据线段的和差关系计算A、C两点的距离即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当点C在线段AB之间时，A、C两点的距离为线段AB与BC的差，即：
$AC = AB - BC = 7\mathrm{cm} - 3\mathrm{cm} = 4\mathrm{cm}$
2. 当点C在线段AB的延长线上时，A、C两点的距离为线段AB与BC的和，即：
$AC = AB + BC = 7\mathrm{cm} + 3\mathrm{cm} = 10\mathrm{cm}$
综上，A、C两点间的距离是10cm或4cm。
【答案】
C
【知识点】
线段的和差计算，分类讨论思想，两点间的距离
【点评】
本题属于线段计算的典型易错题，解题的核心是要考虑到同一直线上三点位置的多种可能性，避免因思维局限只考虑一种情况出现漏解。
【难度系数】
0.7
4. 已知C是线段AB的中点，D是线段AC的三等分点。若线段AB=12 cm，则线段BD的长为
10 cm或8 cm
。答案
10 cm或8 cm
解析
【分析】
解题时首先根据线段中点的性质求出AC、BC的长度，由于D是AC的三等分点，存在两种位置情况：一是D靠近点A，二是D靠近点C，需分类讨论两种情况，再结合线段的和差关系分别计算BD的长度即可。
【解析】
解：
∵C是线段AB的中点，AB=12 cm，
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$ cm。
D是线段AC的三等分点，分两种情况讨论：
情况1：当$AD=\frac{1}{3}AC$时，
$AD=\frac{1}{3}×6=2$ cm，
∴$CD=AC-AD=6-2=4$ cm，
∴$BD=BC+CD=6+4=10$ cm；
情况2：当$AD=\frac{2}{3}AC$时，
$AD=\frac{2}{3}×6=4$ cm，
∴$CD=AC-AD=6-4=2$ cm，
∴$BD=BC+CD=6+2=8$ cm。
【答案】
10 cm或8 cm
【知识点】
线段中点的定义；线段三等分点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题重点考查线段长度的计算，解题的核心是注意三等分点存在两种不同位置，需运用分类讨论思想避免漏解，结合线段和差关系即可准确算出结果。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据线段中点的性质求出AC、BC的长度，由于D是AC的三等分点，存在两种位置情况：一是D靠近点A，二是D靠近点C，需分类讨论两种情况，再结合线段的和差关系分别计算BD的长度即可。
【解析】
解：
∵C是线段AB的中点，AB=12 cm，
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$ cm。
D是线段AC的三等分点，分两种情况讨论：
情况1：当$AD=\frac{1}{3}AC$时，
$AD=\frac{1}{3}×6=2$ cm，
∴$CD=AC-AD=6-2=4$ cm，
∴$BD=BC+CD=6+4=10$ cm；
情况2：当$AD=\frac{2}{3}AC$时，
$AD=\frac{2}{3}×6=4$ cm，
∴$CD=AC-AD=6-4=2$ cm，
∴$BD=BC+CD=6+2=8$ cm。
【答案】
10 cm或8 cm
【知识点】
线段中点的定义；线段三等分点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题重点考查线段长度的计算，解题的核心是注意三等分点存在两种不同位置，需运用分类讨论思想避免漏解，结合线段和差关系即可准确算出结果。
【难度系数】
0.6
5. 如图，已知线段AB的长度为7，线段CD的长度为$x(x＜7)$，若图中所有线段的长度之和为25，则$x$的值为
4
。答案
4 【解析】因为线段 AB 的长度为 7,
所以 AB=AC+CD+DB=7。
又因为 CD 的长度为 x,
所以 AD+CB=7+x,
所以图中所有线段的长度之和为 AB+AC+CD+DB+AD+CB=7+7+7+x=25,
所以 x=4。
所以 AB=AC+CD+DB=7。
又因为 CD 的长度为 x,
所以 AD+CB=7+x,
所以图中所有线段的长度之和为 AB+AC+CD+DB+AD+CB=7+7+7+x=25,
所以 x=4。
解析
【分析】
解题前先明确图中所有线段：A、C、D、B四个点共形成AC、CD、DB、AD、CB、AB共6条线段。已知AB长度为7，CD长度为x，无需单独求出AC、DB的长度，可利用整体代换的思路：先将AC+CD+DB转化为AB=7，再把AD+CB转化为AC+CD+CD+DB=(AC+CD+DB)+CD=7+x，最后把所有线段的和用含x的式子表示，建立方程即可求解x的值。
【解析】
首先确定图中的所有线段为：AC、CD、DB、AD、CB、AB，共6条。
已知AB=7，由线段和差关系可得：$\boldsymbol{AC + CD + DB = AB =7}$。
又CD=x，且AD=AC+CD，CB=CD+DB，因此：
$AD + CB = AC+CD + CD+DB = (AC+CD+DB) + CD = 7 + x$。
所有线段的长度之和为上述6条线段相加，即：
$AC + CD + DB + AD + CB + AB = 7 + (7+x) +7 = 21 + x$
根据题意所有线段长度之和为25，可得方程：
$21 + x = 25$
解得：$x=4$
【答案】
4
【知识点】
线段的和差计算，线段计数，一元一次方程应用
【点评】
本题核心是利用整体代换思想简化计算，无需单独求解未知小段线段的长度，解题时需先准确计数所有线段，再将线段和转化为已知量与未知量的组合，即可快速建立方程求解，避免了因设多个未知数带来的计算麻烦。
【难度系数】
0.7
解题前先明确图中所有线段：A、C、D、B四个点共形成AC、CD、DB、AD、CB、AB共6条线段。已知AB长度为7，CD长度为x，无需单独求出AC、DB的长度，可利用整体代换的思路：先将AC+CD+DB转化为AB=7，再把AD+CB转化为AC+CD+CD+DB=(AC+CD+DB)+CD=7+x，最后把所有线段的和用含x的式子表示，建立方程即可求解x的值。
【解析】
首先确定图中的所有线段为：AC、CD、DB、AD、CB、AB，共6条。
已知AB=7，由线段和差关系可得：$\boldsymbol{AC + CD + DB = AB =7}$。
又CD=x，且AD=AC+CD，CB=CD+DB，因此：
$AD + CB = AC+CD + CD+DB = (AC+CD+DB) + CD = 7 + x$。
所有线段的长度之和为上述6条线段相加，即：
$AC + CD + DB + AD + CB + AB = 7 + (7+x) +7 = 21 + x$
根据题意所有线段长度之和为25，可得方程：
$21 + x = 25$
解得：$x=4$
【答案】
4
【知识点】
线段的和差计算，线段计数，一元一次方程应用
【点评】
本题核心是利用整体代换思想简化计算，无需单独求解未知小段线段的长度，解题时需先准确计数所有线段，再将线段和转化为已知量与未知量的组合，即可快速建立方程求解，避免了因设多个未知数带来的计算麻烦。
【难度系数】
0.7
6. 把一根绳子对折，用线段AB表示，P是AB上一点，从P处把绳子剪成三段。已知$AP=\frac{1}{2}PB$，若剪断后的各段绳子中最长的一段为40 cm，则绳子的原长为
120 cm或60 cm
。答案
120 cm或60 cm 【解析】设 AP=x cm,
则 PB=2x cm,绳子的原长为 6x cm。
分两种情况讨论:
①当 A 是原来绳子的中点时,最长的一段为 2x cm,所以 2x=40,解得 x=20,所以绳子的原长为 120 cm。
②当 B 是原来绳子的中点时,最长的一段为 2BP=4x cm,所以 4x=40,解得 x=10,所以绳子的原长为 60 cm。
综上所述,绳子的原长为 120 cm 或 60 cm。
则 PB=2x cm,绳子的原长为 6x cm。
分两种情况讨论:
①当 A 是原来绳子的中点时,最长的一段为 2x cm,所以 2x=40,解得 x=20,所以绳子的原长为 120 cm。
②当 B 是原来绳子的中点时,最长的一段为 2BP=4x cm,所以 4x=40,解得 x=10,所以绳子的原长为 60 cm。
综上所述,绳子的原长为 120 cm 或 60 cm。
解析
【分析】
这道题需要结合线段对折的特点和线段比例关系求解，解题时首先明确：对折后的线段AB对应的原绳长是2AB，题目没有明确AB的哪个端点是对折点，因此需要分类讨论两种情况。首先根据AP和PB的比例关系设未知数，分别表示出两种对折场景下各段绳子的长度，找到最长段的对应表达式，结合最长段为40cm列方程求解即可。
【解析】
设$AP=x\ \mathrm{cm}$，
$\because AP=\frac{1}{2}PB$，$\therefore PB=2x\ \mathrm{cm}$，
则对折后线段$AB$的长度为$AP+PB=x+2x=3x\ \mathrm{cm}$，因此绳子原长为$2AB=6x\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
① 若A点是原绳子的对折中点：此时剪断后最长的一段长度为$2x\ \mathrm{cm}$，
由题意得$2x=40$，解得$x=20$，
则绳子原长为$6x=6×20=120\ \mathrm{cm}$；
② 若B点是原绳子的对折中点：此时剪断后最长的一段长度为$2PB=4x\ \mathrm{cm}$，
由题意得$4x=40$，解得$x=10$，
则绳子原长为$6x=6×10=60\ \mathrm{cm}$。
综上所述，绳子的原长为120 cm或60 cm。
【答案】
120 cm或60 cm
【知识点】
线段和差计算；分类讨论思想；一元一次方程应用
【点评】
本题易错点是忽略对折点的两种可能性，造成漏解。解题时需结合对折的特点，全面分析不同情况下最长线段的对应长度，锻炼分类讨论的严谨思维。
【难度系数】
0.6
这道题需要结合线段对折的特点和线段比例关系求解，解题时首先明确：对折后的线段AB对应的原绳长是2AB，题目没有明确AB的哪个端点是对折点，因此需要分类讨论两种情况。首先根据AP和PB的比例关系设未知数，分别表示出两种对折场景下各段绳子的长度，找到最长段的对应表达式，结合最长段为40cm列方程求解即可。
【解析】
设$AP=x\ \mathrm{cm}$，
$\because AP=\frac{1}{2}PB$，$\therefore PB=2x\ \mathrm{cm}$，
则对折后线段$AB$的长度为$AP+PB=x+2x=3x\ \mathrm{cm}$，因此绳子原长为$2AB=6x\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
① 若A点是原绳子的对折中点：此时剪断后最长的一段长度为$2x\ \mathrm{cm}$，
由题意得$2x=40$，解得$x=20$，
则绳子原长为$6x=6×20=120\ \mathrm{cm}$；
② 若B点是原绳子的对折中点：此时剪断后最长的一段长度为$2PB=4x\ \mathrm{cm}$，
由题意得$4x=40$，解得$x=10$，
则绳子原长为$6x=6×10=60\ \mathrm{cm}$。
综上所述，绳子的原长为120 cm或60 cm。
【答案】
120 cm或60 cm
【知识点】
线段和差计算；分类讨论思想；一元一次方程应用
【点评】
本题易错点是忽略对折点的两种可能性，造成漏解。解题时需结合对折的特点，全面分析不同情况下最长线段的对应长度，锻炼分类讨论的严谨思维。
【难度系数】
0.6
7. 如图,已知线段AB,点C在AB的延长线上,$AC=\dfrac{5}{3}BC$,D在BA的延长线上,$BD=\dfrac{3}{5}DC$。
(1)设线段AB的长为x,用含x的代数式表示BC和AD的长。
(2)若$CD=45\ \mathrm{cm}$,求线段AB的长。
(1)设线段AB的长为x,用含x的代数式表示BC和AD的长。
(2)若$CD=45\ \mathrm{cm}$,求线段AB的长。
答案
解: (1)因为 $AC=AB+BC=\frac{5}{3}BC$,
所以 $BC=\frac{3}{2}AB$,即 $BC=\frac{3}{2}x$。
又因为 $BD=BA+AD=\frac{3}{5}DC=\frac{3}{5}(AD+BA+CB)$,
所以 $AD=\frac{3BC-2AB}{2}=\frac{5}{4}AB=\frac{5}{4}x$。
(2)因为 CD=AD+AB+BC,
所以 $\frac{5}{4}x+x+\frac{3}{2}x=\frac{15}{4}x=45$,解得 x=12,
所以 AB=12 cm。
所以 $BC=\frac{3}{2}AB$,即 $BC=\frac{3}{2}x$。
又因为 $BD=BA+AD=\frac{3}{5}DC=\frac{3}{5}(AD+BA+CB)$,
所以 $AD=\frac{3BC-2AB}{2}=\frac{5}{4}AB=\frac{5}{4}x$。
(2)因为 CD=AD+AB+BC,
所以 $\frac{5}{4}x+x+\frac{3}{2}x=\frac{15}{4}x=45$,解得 x=12,
所以 AB=12 cm。
解析
【分析】
(1)求BC时，先根据点C在AB延长线得到线段和差关系$AC=AB+BC$，结合已知AC与BC的比例关系，将AB替换为x，即可推导得出BC的表达式；求AD时，先明确线段和差：$BD=AD+AB$，$DC=AD+AB+BC$，结合BD与DC的比例关系，将$AB=x$、已求出的BC表达式代入，通过解方程即可得到AD的表达式。
(2)已知CD的长度，而$CD=AD+AB+BC$，将三段线段均用含x的代数式表示后，建立关于x的一元一次方程，求解即可得到AB的长。
【解析】
(1) 因为点C在AB的延长线上，所以$AC=AB+BC$，又已知$AC=\frac{5}{3}BC$，$AB=x$，代入得：
$x + BC = \frac{5}{3}BC$
移项得：$\frac{5}{3}BC - BC = x$，即$\frac{2}{3}BC=x$，解得$BC=\frac{3}{2}x$。
因为点D在BA的延长线上，所以$BD=AD+AB$，$DC=AD+AB+BC$，已知$BD=\frac{3}{5}DC$，代入得：
$AD + x = \frac{3}{5}(AD + x + \frac{3}{2}x)$
两边同乘5得：$5AD +5x = 3AD + 3x + \frac{9}{2}x$
移项合并同类项得：$2AD = \frac{5}{2}x$，解得$AD=\frac{5}{4}x$。
(2) 因为$CD=AD+AB+BC$，且$CD=45\ \mathrm{cm}$，将$AD=\frac{5}{4}x$、$AB=x$、$BC=\frac{3}{2}x$代入得：
$\frac{5}{4}x + x + \frac{3}{2}x =45$
通分合并得：$\frac{15}{4}x=45$
解得$x=12$，即AB的长为12 cm。
【答案】
(1) $BC=\frac{3}{2}x$，$AD=\frac{5}{4}x$；(2) $AB=12\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段和差计算、代数式表示线段、一元一次方程应用
【点评】
本题是线段计算的典型题型，核心是结合图形准确梳理各线段之间的和差关系，再根据给出的比例条件建立等式求解，能有效考查对线段关系的理解和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
(1)求BC时，先根据点C在AB延长线得到线段和差关系$AC=AB+BC$，结合已知AC与BC的比例关系，将AB替换为x，即可推导得出BC的表达式；求AD时，先明确线段和差：$BD=AD+AB$，$DC=AD+AB+BC$，结合BD与DC的比例关系，将$AB=x$、已求出的BC表达式代入，通过解方程即可得到AD的表达式。
(2)已知CD的长度，而$CD=AD+AB+BC$，将三段线段均用含x的代数式表示后，建立关于x的一元一次方程，求解即可得到AB的长。
【解析】
(1) 因为点C在AB的延长线上，所以$AC=AB+BC$，又已知$AC=\frac{5}{3}BC$，$AB=x$，代入得：
$x + BC = \frac{5}{3}BC$
移项得：$\frac{5}{3}BC - BC = x$，即$\frac{2}{3}BC=x$，解得$BC=\frac{3}{2}x$。
因为点D在BA的延长线上，所以$BD=AD+AB$，$DC=AD+AB+BC$，已知$BD=\frac{3}{5}DC$，代入得：
$AD + x = \frac{3}{5}(AD + x + \frac{3}{2}x)$
两边同乘5得：$5AD +5x = 3AD + 3x + \frac{9}{2}x$
移项合并同类项得：$2AD = \frac{5}{2}x$，解得$AD=\frac{5}{4}x$。
(2) 因为$CD=AD+AB+BC$，且$CD=45\ \mathrm{cm}$，将$AD=\frac{5}{4}x$、$AB=x$、$BC=\frac{3}{2}x$代入得：
$\frac{5}{4}x + x + \frac{3}{2}x =45$
通分合并得：$\frac{15}{4}x=45$
解得$x=12$，即AB的长为12 cm。
【答案】
(1) $BC=\frac{3}{2}x$，$AD=\frac{5}{4}x$；(2) $AB=12\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段和差计算、代数式表示线段、一元一次方程应用
【点评】
本题是线段计算的典型题型，核心是结合图形准确梳理各线段之间的和差关系，再根据给出的比例条件建立等式求解，能有效考查对线段关系的理解和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图,已知线段$AB=12$,$C$为线段$AB$上一动点,点$D$在线段$CB$上且满足$CD:DB=1:2$。
(1)当$C$为线段$AB$的中点时,求$CD$的长。
(2)若$E$为线段$AD$的中点,当$DE=2CE$时,求$AC$的长。
(1)当$C$为线段$AB$的中点时,求$CD$的长。
(2)若$E$为线段$AD$的中点,当$DE=2CE$时,求$AC$的长。
答案
解: (1)因为 C 为线段 AB 的中点,AB=12,
所以 $BC=\frac{1}{2}AB=6$。
因为 CD:DB=1:2,
所以 $CD=\frac{1}{3}BC=2$。
(2)当点 C 在点 E 的右侧时,
因为 E 为线段 AD 的中点,
所以 $AE=DE=\frac{1}{2}AD$。
因为 DE=2CE,
所以 CD=CE。
因为 CD:DB=1:2,
所以 BD=2CD=2CE=DE,
所以 $AE=DE=BD=\frac{1}{3}AB=4$,
所以 $CE=\frac{1}{2}DE=2$,
所以 AC=AE+CE=4+2=6。
当点 C 在点 E 的左侧时,
因为 E 为线段 AD 的中点,
所以 $AE=DE=\frac{1}{2}AD$。
因为 DE=2CE,
所以 CD=3CE。
因为 CD:DB=1:2,
所以 BD=2CD=6CE=3DE,
所以 $AE=DE=\frac{1}{3}BD$,
所以 $AB=\frac{5}{3}BD=12$,
所以 BD=7.2,
所以 $AE=DE=2.4,CE=\frac{1}{2}DE=1.2$,
所以 AC=AE-CE=1.2。
综上所述,AC 的长为 6 或 1.2。
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先利用线段中点的性质，结合AB的总长度求出BC的长度，再根据CD与DB的比例1:2，可知CD占BC长度的$\frac{1}{3}$，代入数值即可算出CD的长。
(2) 求解第二问时，由于点C和点E的位置关系不固定，需要分两种情况讨论：①点C在点E右侧；②点C在点E左侧。两种情况均先依据线段中点的性质得到AE=DE，再结合DE=2CE的条件、CD与DB的比例关系，将各线段用同一个量表示，最后结合AB总长为12的条件计算AC的长度，注意不要漏解。
【解析】
(1)因为 C 为线段 AB 的中点，AB=12，
所以 $BC=\frac{1}{2}AB=6$。
因为 CD:DB=1:2，
所以 $CD=\frac{1}{3}BC=2$。
(2)当点 C 在点 E 的右侧时，
因为 E 为线段 AD 的中点，
所以 $AE=DE=\frac{1}{2}AD$。
因为 DE=2CE，
所以 CD=CE。
因为 CD:DB=1:2，
所以 BD=2CD=2CE=DE，
所以 $AE=DE=BD=\frac{1}{3}AB=4$，
所以 $CE=\frac{1}{2}DE=2$，
所以 AC=AE+CE=4+2=6。
当点 C 在点 E 的左侧时，
因为 E 为线段 AD 的中点，
所以 $AE=DE=\frac{1}{2}AD$。
因为 DE=2CE，
所以 CD=3CE。
因为 CD:DB=1:2，
所以 BD=2CD=6CE=3DE，
所以 $AE=DE=\frac{1}{3}BD$，
所以 $AB=\frac{5}{3}BD=12$，
所以 BD=7.2，
所以 $AE=DE=2.4,CE=\frac{1}{2}DE=1.2$，
所以 AC=AE-CE=1.2。
综上所述，AC的长为6或1.2。
【答案】
(1) $CD=2$；
(2) $AC=6$或$AC=1.2$
【知识点】
线段中点的性质、线段和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题主要考查线段的和差倍分运算，第二问需要结合点的位置关系分类讨论，解题时可通过比例关系将各线段长度统一表示，结合总线段长度建立等量关系求解，需注意避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求解第一问时，先利用线段中点的性质，结合AB的总长度求出BC的长度，再根据CD与DB的比例1:2，可知CD占BC长度的$\frac{1}{3}$，代入数值即可算出CD的长。
(2) 求解第二问时，由于点C和点E的位置关系不固定，需要分两种情况讨论：①点C在点E右侧；②点C在点E左侧。两种情况均先依据线段中点的性质得到AE=DE，再结合DE=2CE的条件、CD与DB的比例关系，将各线段用同一个量表示，最后结合AB总长为12的条件计算AC的长度，注意不要漏解。
【解析】
(1)因为 C 为线段 AB 的中点，AB=12，
所以 $BC=\frac{1}{2}AB=6$。
因为 CD:DB=1:2，
所以 $CD=\frac{1}{3}BC=2$。
(2)当点 C 在点 E 的右侧时，
因为 E 为线段 AD 的中点，
所以 $AE=DE=\frac{1}{2}AD$。
因为 DE=2CE，
所以 CD=CE。
因为 CD:DB=1:2，
所以 BD=2CD=2CE=DE，
所以 $AE=DE=BD=\frac{1}{3}AB=4$，
所以 $CE=\frac{1}{2}DE=2$，
所以 AC=AE+CE=4+2=6。
当点 C 在点 E 的左侧时，
因为 E 为线段 AD 的中点，
所以 $AE=DE=\frac{1}{2}AD$。
因为 DE=2CE，
所以 CD=3CE。
因为 CD:DB=1:2，
所以 BD=2CD=6CE=3DE，
所以 $AE=DE=\frac{1}{3}BD$，
所以 $AB=\frac{5}{3}BD=12$，
所以 BD=7.2，
所以 $AE=DE=2.4,CE=\frac{1}{2}DE=1.2$，
所以 AC=AE-CE=1.2。
综上所述，AC的长为6或1.2。
【答案】
(1) $CD=2$；
(2) $AC=6$或$AC=1.2$
【知识点】
线段中点的性质、线段和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题主要考查线段的和差倍分运算，第二问需要结合点的位置关系分类讨论，解题时可通过比例关系将各线段长度统一表示，结合总线段长度建立等量关系求解，需注意避免漏解。
【难度系数】
0.6
