例1 如图，E是线段AB的中点，C是线段EB上一点，且$EC:CB=1:3$，$AC=10$，求AB的长。

解:设 EC 的长为 x。
因为 EC:CB=1:3,
所以 BC=3x,
所以 BE=BC+CE=4x。
又因为 E 为线段 AB 的中点,
所以 $AE=BE=\frac{1}{2}AB$,
所以 AE=4x,AB=8x。
又因为 AC=AE+EC,AC=10,
所以 5x=10,解得 x=2,
所以 AB=8x=16。

【分析】
这是典型的线段长度计算问题，我们可以按以下思路推导：首先针对已知的线段比例关系，采用设参数的方法简化计算，设比例中1份对应的EC长度为x，即可用x表示出CB、BE的长度；再结合E是AB中点的性质，得到AE、AB关于x的表达式；最后根据AC的长度是AE与EC的和，建立方程求出x的值，最终计算得到AB的长度。
【解析】
解：设EC的长为x。
∵ EC:CB=1:3，
∴ BC=3x，
∴ BE=BC+CE=3x+x=4x。
又
∵ E为线段AB的中点，
∴ $AE=BE=\frac{1}{2}AB$，
∴ AE=4x，AB=2BE=8x。
又
∵ AC=AE+EC，且AC=10，
∴ 4x+x=10，即5x=10，解得x=2，
∴ AB=8x=8×2=16。
【答案】
16
【知识点】
线段中点性质、线段和差计算、方程思想应用
【点评】
本题是线段计算的基础题型，将比例关系转化为参数表达式，结合线段的基本性质建立方程求解，是方程思想在几何计算中的典型应用，熟练掌握该方法可高效解决同类线段计算问题。
【难度系数】
0.7

变式1 如图,已知点B在线段AC上,点D在线段AB上,$BD=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$,E为线段AB的中点,$EC=12\ \mathrm{cm}$,求线段AC的长。

解: 设 $BD=x\ \mathrm{cm}$。
因为 $BD=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$,
所以 $AB = 4BD = 4x\ \mathrm{cm}, CD = 3BD = 3x\ \mathrm{cm}$。
又因为 DC=DB+BC,
所以 $BC=3x-x=2x(\mathrm{cm})$,
所以 $AC=AB+BC=4x+2x=6x(\mathrm{cm})$。
因为 E 为线段 AB 的中点,
所以 $BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4x=2x(\mathrm{cm})$。
又因为 EC=BE+BC,
所以 $EC=2x+2x=4x(\mathrm{cm})$。
又因为 EC=12 cm,所以 4x=12,
解得 x=3,
所以 $AC=6x=6×3=18(\mathrm{cm})$。

【分析】
本题为线段长度计算类题目，题干给出了BD与AB、CD的比例关系，同时给出AB中点E和EC的长度，我们可通过设参数的思路求解：首先根据比例关系设BD的长度为x，将AB、CD用含x的式子表示；再利用线段的和差关系推导BC、AC的表达式；之后结合线段中点的性质求出BE的长度，根据EC是BE与BC的和建立关于x的方程，解出x后代入AC的表达式即可得到最终结果。
【解析】
设 $BD=x\ \mathrm{cm}$。
因为 $BD=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$，
所以 $AB = 4BD = 4x\ \mathrm{cm}, CD = 3BD = 3x\ \mathrm{cm}$。
又因为 $DC=DB+BC$，
所以 $BC=3x-x=2x(\mathrm{cm})$，
所以 $AC=AB+BC=4x+2x=6x(\mathrm{cm})$。
因为 E 为线段 AB 的中点，
所以 $BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4x=2x(\mathrm{cm})$。
又因为 $EC=BE+BC$，
所以 $EC=2x+2x=4x(\mathrm{cm})$。
又因为 $EC=12\ \mathrm{cm}$，所以 $4x=12$，
解得 $x=3$，
所以 $AC=6x=6×3=18(\mathrm{cm})$。
【答案】
$\boldsymbol{18\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
1. 线段和差计算
2. 线段中点定义
3. 方程法求线段长
【点评】
本题是线段计算的典型练习题，通过设参数将线段比例关系转化为代数表达式，结合线段和差与中点性质建立等量关系求解，能够帮助学生熟练掌握线段计算的常用方法。
【难度系数】
0.7

变式2 如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC：CD=2：3：4，M是线段AC的中点，N是线段CD的中点，且MN=9，求BD的长。

解: 设 AB=2x。
因为 AB:BC:CD=2:3:4,
所以 BC=3x,CD=4x。
因为 M 是线段 AC 的中点,N 是线段 CD 的中点,
所以 $CM=\frac{1}{2}AC,CN=\frac{1}{2}CD$,
所以 $MN=CM+CN=\frac{1}{2}(AC+CD)=\frac{1}{2}AD=9$,
所以 AD=18,
所以 $BD=\frac{3+4}{2+3+4}× AD=14$。

【分析】
遇到给出线段长度比例的计算问题，我们通常采用设参数的方法简化计算：首先根据已知的AB:BC:CD的比例，将各段线段用含同一个未知数的代数式表示；再结合线段中点的性质，分别表示出CM、CN的长度，可发现MN的长度恰好是AD长度的一半，结合MN=9的已知条件可先求出AD的总长度；最后根据BD占AD的比例，即可求出BD的长度。
【解析】
解：设$AB=2x$，
$\because AB:BC:CD=2:3:4$，
$\therefore BC=3x$，$CD=4x$。
$\because M$是线段$AC$的中点，$N$是线段$CD$的中点，
$\therefore CM=\frac{1}{2}AC$，$CN=\frac{1}{2}CD$，
$\therefore MN=CM+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}(AC+CD)=\frac{1}{2}AD$，
已知$MN=9$，
$\therefore \frac{1}{2}AD=9$，解得$AD=18$，
又$\because BD$占$AD$的比例为$\frac{3+4}{2+3+4}=\frac{7}{9}$，
$\therefore BD=\frac{7}{9}×18=14$。
【答案】
14
【知识点】
1. 线段中点定义
2. 线段和差计算
3. 比例的应用
【点评】
这道题是线段长度计算的典型题型，解题时既可以通过设参数求出未知数的值再计算目标线段长度，也可以通过转化找到已知线段与总线段的关系简化计算，能有效帮助学生掌握线段计算的常用思路和技巧。
【难度系数】
0.7

例2 如图，已知$AB=24$，$C$是线段$AB$的中点。若点$D$在线段$AB$上，且满足$BD=3CD$，你认为有几种可能？根据题意在图中标出点$D$的大致位置，并求$CD$的长。

解: 有两种情况:
①当点 D 在点 C 左侧时,
因为 AB=24,C 是线段 AB 的中点,
所以 $BC=\frac{1}{2}AB=12$。
因为 BD=3CD,
所以 BC=2CD,
所以 2CD=12,
解得 CD=6。
②当点 D 在点 C 右侧时,
因为 AB=24,C 是线段 AB 的中点,
所以 $BC=\frac{1}{2}AB=12$。
因为 BD=3CD,
所以 BC=4CD,
所以 4CD=12,
解得 CD=3。
综上所述,CD 的长为 6 或 3。

【分析】
解题时首先根据线段中点的性质求出BC的长度；由于题目仅说明点D在线段AB上，未明确D与点C的位置关系，因此需要分两种情况讨论：①点D在C的左侧；②点D在C的右侧。再结合BD=3CD的条件，利用线段的和差关系列出对应等式，即可求出CD的长度。
【解析】
有两种情况：
①当点D在点C左侧时，
∵AB=24，C是线段AB的中点，
∴$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$。
∵BD=3CD，且$BD=BC+CD$，
∴$BC+CD=3CD$，即$BC=2CD$，
代入BC=12得：$2CD=12$，
解得$CD=6$。
②当点D在点C右侧时，
∵AB=24，C是线段AB的中点，
∴$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$。
∵BD=3CD，且$BC=CD+BD$，
∴$BC=CD+3CD=4CD$，
代入BC=12得：$4CD=12$，
解得$CD=3$。
【答案】
有两种可能，点D的位置分别为、所示，CD的长为6或3。
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查线段相关的计算，解题时要注意当点的位置没有明确说明时，需要结合题意分类讨论，避免漏解，计算时结合线段的和差关系列式即可。
【难度系数】
0.7

变式 已知线段AB,C是直线AB上的一点,AB=8 cm,BC=4 cm,M是线段AC的中点,则线段AM的长为 ()

A.2 cm
B.4 cm
C.2 cm或6 cm
D.4 cm或6 cm

C 【解析】当点 C 在点 B 左侧时,
AC=AB-BC=8-4=4(cm),
所以 $AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2(\mathrm{cm})$;
当点 C 在点 B 右侧时,
AC=AB+BC=8+4=12(cm),
所以 $AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6(\mathrm{cm})$。
综上,线段 AM 的长为 2 cm 或 6 cm。

【分析】
首先明确C是直线AB上的点，位置存在两种情况：①点C在线段AB上（点B左侧）；②点C在线段AB的延长线上（点B右侧）。解题时需对两种情况分别分析：先根据线段的和差关系求出AC的长度，再结合线段中点的性质，即中点将线段分为长度相等的两段，AM为AC的一半，计算出对应AM的长度，最后综合两种情况得到最终结果。
【解析】
本题分两种情况讨论：
1. 当点C在点B左侧时，
$AC=AB-BC=8-4=4(\mathrm{cm})$，
∵M是线段AC的中点，
∴$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2(\mathrm{cm})$；
2. 当点C在点B右侧时，
$AC=AB+BC=8+4=12(\mathrm{cm})$，
∵M是线段AC的中点，
∴$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6(\mathrm{cm})$。
综上，线段AM的长为2 cm或6 cm。
【答案】
C
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略“点C在直线AB上”存在两种位置情况，漏算其中一种结果。解题时要注意区分“直线”和“线段”的差异，涉及直线上的点的位置问题时要先判断是否需要分类讨论。
【难度系数】
0.6