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9. 用直尺和圆规作一条线段,使它等于已知线段。(要求保留作图痕迹)
已知:线段a。
求作:线段AB,使AB=a。
已知:线段a。
求作:线段AB,使AB=a。
答案
9. 解：如图所示。
解析
【分析】
要作出等于已知线段a的线段AB，我们可以借助圆规能固定长度、转移等长线段的特点完成作图：首先确定所求线段的一个端点，画一条射线作为作图的基础线；再用圆规量取已知线段a的长度，保证后续作出的线段和a长度相等；最后以射线的端点为圆心，a的长度为半径画弧，与射线的交点就是所求线段的另一个端点，即可得到符合要求的线段。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作射线AC；
2. 将圆规的两脚分别与已知线段a的两个端点对齐，固定圆规的张角，此时圆规两脚间的距离等于线段a的长度；
3. 以点A为圆心，线段a的长度为半径画弧，交射线AC于点B；
线段AB即为所求作的线段。
【答案】
如图所示。
【知识点】
尺规作图，作相等线段
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，作相等线段是后续进行线段和差、角的作图等复杂尺规作图的基础，作图时需注意保留圆规画弧的痕迹，符合作图规范。
【难度系数】
0.9
要作出等于已知线段a的线段AB，我们可以借助圆规能固定长度、转移等长线段的特点完成作图：首先确定所求线段的一个端点，画一条射线作为作图的基础线；再用圆规量取已知线段a的长度，保证后续作出的线段和a长度相等；最后以射线的端点为圆心，a的长度为半径画弧，与射线的交点就是所求线段的另一个端点，即可得到符合要求的线段。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作射线AC；
2. 将圆规的两脚分别与已知线段a的两个端点对齐，固定圆规的张角，此时圆规两脚间的距离等于线段a的长度；
3. 以点A为圆心，线段a的长度为半径画弧，交射线AC于点B；
线段AB即为所求作的线段。
【答案】
如图所示。
【知识点】
尺规作图，作相等线段
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，作相等线段是后续进行线段和差、角的作图等复杂尺规作图的基础，作图时需注意保留圆规画弧的痕迹，符合作图规范。
【难度系数】
0.9
10. 关于两点之间的线段，下列说法中不正确的是 （
A.连结两点的线段可以有无数条
B.如果线段 $ AB = AC $，那么点A与点B间的距离等于点A与点C间的距离
C.连结两点的线段的长度是两点间的距离
D.连结两点的线段是连结两点的所有的线中，长度最小的
A
）A.连结两点的线段可以有无数条
B.如果线段 $ AB = AC $，那么点A与点B间的距离等于点A与点C间的距离
C.连结两点的线段的长度是两点间的距离
D.连结两点的线段是连结两点的所有的线中，长度最小的
答案
10. A
解析
【分析】
这道题是概念辨析题，需要我们结合线段、两点间距离的相关定义和性质，逐个判断每个选项的说法是否正确，最终选出错误的选项。解题时先回忆核心知识点：两点确定一条线段、两点间距离的定义、两点之间线段最短，再对应分析每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据“两点确定一条线段”的性质，连结两点的线段有且只有1条，不可能有无数条，因此该说法错误。
B选项：两点间的距离指的是连结两点的线段的长度，已知线段$AB=AC$，即线段AB的长度等于线段AC的长度，因此点A与点B间的距离等于点A与点C间的距离，该说法正确。
C选项：两点间距离的定义就是“连结两点的线段的长度”，因此该说法正确。
D选项：根据“两点之间，线段最短”的性质，连结两点的线段是连结两点的所有线中长度最小的，该说法正确。
综上，说法不正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
线段的性质；两点间的距离；两点之间线段最短
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确识记相关概念和性质，注意区分“线段”和“线段的长度”，避免概念混淆导致判断错误。
【难度系数】
0.8
这道题是概念辨析题，需要我们结合线段、两点间距离的相关定义和性质，逐个判断每个选项的说法是否正确，最终选出错误的选项。解题时先回忆核心知识点：两点确定一条线段、两点间距离的定义、两点之间线段最短，再对应分析每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据“两点确定一条线段”的性质，连结两点的线段有且只有1条，不可能有无数条，因此该说法错误。
B选项：两点间的距离指的是连结两点的线段的长度，已知线段$AB=AC$，即线段AB的长度等于线段AC的长度，因此点A与点B间的距离等于点A与点C间的距离，该说法正确。
C选项：两点间距离的定义就是“连结两点的线段的长度”，因此该说法正确。
D选项：根据“两点之间，线段最短”的性质，连结两点的线段是连结两点的所有线中长度最小的，该说法正确。
综上，说法不正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
线段的性质；两点间的距离；两点之间线段最短
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确识记相关概念和性质，注意区分“线段”和“线段的长度”，避免概念混淆导致判断错误。
【难度系数】
0.8
11. 如图,河边有朝阳岩、柳子庙和迥龙塔3个名胜古迹,现有3名游客分别参观3个景点(3个景点恰好在一条直线上),为了使这3名游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总和最短,旅游车等候3名游客的最佳地点应在 （
A.朝阳岩
B.柳子庙
C.迥龙塔
D.朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间位置
B
）A.朝阳岩
B.柳子庙
C.迥龙塔
D.朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间位置
答案
11. B
解析
【分析】
我们可以将三个景点抽象为同一条直线上的三个点，把求总步行路程最短的问题转化为求直线上一点到三个定点的距离和最小的问题。我们可以先设相邻两个景点之间的线段长度为参数，分别计算旅游车停在各个选项对应的位置时，三名游客的步行总路程，再比较总路程的大小，即可找到最佳等候地点。
【解析】
设朝阳岩为点A，柳子庙为点B，迥龙塔为点C，三点在同一直线上，令AB=a，BC=b（a、b均为大于0的实数），分别计算停车点在不同位置的总路程：
1. 若停在朝阳岩（A点）：总路程 = 0 + AB + AC = a + (a+b) = 2a + b；
2. 若停在柳子庙（B点）：总路程 = AB + 0 + BC = a + b；
3. 若停在迥龙塔（C点）：总路程 = AC + BC + 0 = (a+b) + b = a + 2b；
4. 若停在朝阳岩和迥龙塔的中间位置：总路程 = $\frac{a+b}{2}$ + $|\frac{a+b}{2}-a|$ + $\frac{a+b}{2}$ = $a+b+\frac{|b-a|}{2}$，显然大于a+b。
对比可知，停在柳子庙时总路程a+b最小，因此最佳地点是柳子庙。
【答案】
B
【知识点】
线段长短比较、线段和差计算、最短路径问题
【点评】
本题结合生活场景考查线段和的最值问题，解题的关键是将实际问题转化为数学中的线段长度计算问题，通过参数法计算不同方案的总路程再比较大小即可得到结论，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
我们可以将三个景点抽象为同一条直线上的三个点，把求总步行路程最短的问题转化为求直线上一点到三个定点的距离和最小的问题。我们可以先设相邻两个景点之间的线段长度为参数，分别计算旅游车停在各个选项对应的位置时，三名游客的步行总路程，再比较总路程的大小，即可找到最佳等候地点。
【解析】
设朝阳岩为点A，柳子庙为点B，迥龙塔为点C，三点在同一直线上，令AB=a，BC=b（a、b均为大于0的实数），分别计算停车点在不同位置的总路程：
1. 若停在朝阳岩（A点）：总路程 = 0 + AB + AC = a + (a+b) = 2a + b；
2. 若停在柳子庙（B点）：总路程 = AB + 0 + BC = a + b；
3. 若停在迥龙塔（C点）：总路程 = AC + BC + 0 = (a+b) + b = a + 2b；
4. 若停在朝阳岩和迥龙塔的中间位置：总路程 = $\frac{a+b}{2}$ + $|\frac{a+b}{2}-a|$ + $\frac{a+b}{2}$ = $a+b+\frac{|b-a|}{2}$，显然大于a+b。
对比可知，停在柳子庙时总路程a+b最小，因此最佳地点是柳子庙。
【答案】
B
【知识点】
线段长短比较、线段和差计算、最短路径问题
【点评】
本题结合生活场景考查线段和的最值问题，解题的关键是将实际问题转化为数学中的线段长度计算问题，通过参数法计算不同方案的总路程再比较大小即可得到结论，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
12. 已知A，B是数轴上的两点，点A，B之间的距离为3。若点B表示的数为－2，则点A表示的数为 。
答案
12. －5或1
解析
【分析】
解题思路：首先明确数轴上两点间距离的含义，两点距离为3说明点A的位置有两种可能：位于点B左侧或位于点B右侧，两种情况对应的数值不同，需分类计算避免漏解。若点在已知点左侧，用已知点表示的数减去距离；若点在已知点右侧，用已知点表示的数加上距离即可。
【解析】
已知点B表示的数为-2，A、B两点之间的距离为3，分两种情况计算：
1. 当点A在点B左侧时，点A表示的数比点B小3，列式计算：$\boldsymbol{-2-3=-5}$；
2. 当点A在点B右侧时，点A表示的数比点B大3，列式计算：$\boldsymbol{-2+3=1}$。
因此点A表示的数为-5或1。
【答案】
－5或1
【知识点】
数轴上两点的距离、有理数加减运算、分类讨论思想
【点评】
本题属于数轴相关的基础题型，核心考查对数轴上两点距离概念的理解，解题易错点为只考虑单一位置情况造成漏解，需要熟练掌握分类讨论思想在数轴问题中的应用。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先明确数轴上两点间距离的含义，两点距离为3说明点A的位置有两种可能：位于点B左侧或位于点B右侧，两种情况对应的数值不同，需分类计算避免漏解。若点在已知点左侧，用已知点表示的数减去距离；若点在已知点右侧，用已知点表示的数加上距离即可。
【解析】
已知点B表示的数为-2，A、B两点之间的距离为3，分两种情况计算：
1. 当点A在点B左侧时，点A表示的数比点B小3，列式计算：$\boldsymbol{-2-3=-5}$；
2. 当点A在点B右侧时，点A表示的数比点B大3，列式计算：$\boldsymbol{-2+3=1}$。
因此点A表示的数为-5或1。
【答案】
－5或1
【知识点】
数轴上两点的距离、有理数加减运算、分类讨论思想
【点评】
本题属于数轴相关的基础题型，核心考查对数轴上两点距离概念的理解，解题易错点为只考虑单一位置情况造成漏解，需要熟练掌握分类讨论思想在数轴问题中的应用。
【难度系数】
0.7
13. (1)如图1，A，B是公路$l$两旁的两个村庄，若两村要在公路上合修一个汽车站P，使它到A，B两村的距离之和最小，试在$l$上标注出点P的位置，并说明理由。
(2)如图2，设A，B，C，D为4个居民小区，现要建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小？请说明理由。
(2)如图2，设A，B，C，D为4个居民小区，现要建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小？请说明理由。
答案
13. 解:(1)点P的位置如图所示。
作法:连结AB,AB交l于点P,则点P为汽车站的位置。
理由:两点之间线段最短。
(2)
作法:如图,连结AC,BD,AC与BD交于点O,则点O为购物中心的位置。
理由:两点之间线段最短。
解析
【分析】
(1) 要在直线$l$上找一点$P$使得$PA+PB$最小，结合线段性质思考：两点之间所有连线中线段最短。因为$A$、$B$在直线$l$的两侧，直接连接$A$、$B$两点，线段$AB$与直线$l$的交点就是所求的$P$点，此时$PA+PB$的长度等于线段$AB$的长度，是最小值。
(2) 要找一点到四个居民小区的距离之和最小，即$OA+OB+OC+OD$最小。依据两点之间线段最短，到$A$、$C$两点距离和最小的点都在线段$AC$上，到$B$、$D$两点距离和最小的点都在线段$BD$上，因此线段$AC$和$BD$的交点同时满足两个条件，此时距离总和最小。
【解析】
(1) 作法：用直尺连接$A$、$B$两点，线段$AB$与直线$l$的交点即为汽车站$P$的位置。
理由：根据两点之间线段最短，此时$PA+PB=AB$，若在$l$上任取异于$P$的另一点$P'$，都有$P'A+P'B＞AB$，因此$P$点到$A$、$B$两村的距离之和最小。
(2) 作法：分别用直尺连接$AC$、$BD$，两条线段的交点$O$即为购物中心的位置。
理由：根据两点之间线段最短，到$A$、$C$的距离和最小为$AC$的长度，此时点需在线段$AC$上；到$B$、$D$的距离和最小为$BD$的长度，此时点需在线段$BD$上。只有交点$O$能同时满足两个条件，此时$OA+OB+OC+OD=AC+BD$，为最小值。
【答案】
(1)点P的位置如图所示。
作法:连结AB,AB交l于点P,则点P为汽车站的位置。
理由:两点之间线段最短。
(2)
作法:如图,连结AC,BD,AC与BD交于点O,则点O为购物中心的位置。
理由:两点之间线段最短。
【知识点】
两点之间线段最短；最短路径选址；线段性质应用
【点评】
本题是线段性质在实际生活中的典型应用，解题关键是将实际选址问题转化为几何中最短路径问题，紧扣“两点之间线段最短”的性质即可快速找到符合要求的点，有助于提升将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要在直线$l$上找一点$P$使得$PA+PB$最小，结合线段性质思考：两点之间所有连线中线段最短。因为$A$、$B$在直线$l$的两侧，直接连接$A$、$B$两点，线段$AB$与直线$l$的交点就是所求的$P$点，此时$PA+PB$的长度等于线段$AB$的长度，是最小值。
(2) 要找一点到四个居民小区的距离之和最小，即$OA+OB+OC+OD$最小。依据两点之间线段最短，到$A$、$C$两点距离和最小的点都在线段$AC$上，到$B$、$D$两点距离和最小的点都在线段$BD$上，因此线段$AC$和$BD$的交点同时满足两个条件，此时距离总和最小。
【解析】
(1) 作法：用直尺连接$A$、$B$两点，线段$AB$与直线$l$的交点即为汽车站$P$的位置。
理由：根据两点之间线段最短，此时$PA+PB=AB$，若在$l$上任取异于$P$的另一点$P'$，都有$P'A+P'B＞AB$，因此$P$点到$A$、$B$两村的距离之和最小。
(2) 作法：分别用直尺连接$AC$、$BD$，两条线段的交点$O$即为购物中心的位置。
理由：根据两点之间线段最短，到$A$、$C$的距离和最小为$AC$的长度，此时点需在线段$AC$上；到$B$、$D$的距离和最小为$BD$的长度，此时点需在线段$BD$上。只有交点$O$能同时满足两个条件，此时$OA+OB+OC+OD=AC+BD$，为最小值。
【答案】
(1)点P的位置如图所示。
作法:连结AB,AB交l于点P,则点P为汽车站的位置。
理由:两点之间线段最短。
(2)
作法:如图,连结AC,BD,AC与BD交于点O,则点O为购物中心的位置。
理由:两点之间线段最短。
【知识点】
两点之间线段最短；最短路径选址；线段性质应用
【点评】
本题是线段性质在实际生活中的典型应用，解题关键是将实际选址问题转化为几何中最短路径问题，紧扣“两点之间线段最短”的性质即可快速找到符合要求的点，有助于提升将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
