登录
11. 规定:两数$a,b$通过“△”运算得到$3ab$。例如:$2△4=3×2×4=24$。
(1)求$(-4)△5$的值。
(2)求$(-2)△(3△4)$的值。
(1)求$(-4)△5$的值。
(2)求$(-2)△(3△4)$的值。
答案
11. 解：(1)$(-4)△5=3×(-4)×5=-60$。
(2)$(-2)△(3△4)=(-2)△(3×3×4)$
$=(-2)△36=3×(-2)×36=-216$。
(2)$(-2)△(3△4)=(-2)△(3×3×4)$
$=(-2)△36=3×(-2)×36=-216$。
解析
【分析】
这是新定义运算类题目，解题核心是先明确“△”的运算规则：$a△b=3ab$，即运算结果等于3乘第一个运算数，再乘第二个运算数。第(1)问直接将对应数值代入规则计算即可；第(2)问属于含括号的混合运算，按照运算优先级，先算括号内的$3△4$，得到结果后再计算括号外的运算即可，计算时要注意有理数乘法的符号规则。
【解析】
(1) 根据“△”的运算定义，将$a=-4$，$b=5$代入得：
$(-4)△5=3×(-4)×5=-60$
(2) 先计算括号内的$3△4$：
$3△4=3×3×4=36$
再计算$(-2)△36$：
$(-2)△36=3×(-2)×36=-216$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-60}$；(2) $\boldsymbol{-216}$
【知识点】
新定义运算，有理数乘法，混合运算顺序
【点评】
本题重点考察对新运算规则的理解，计算时遵循先括号后括号外的顺序，注意有理数乘法的符号判断，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
这是新定义运算类题目，解题核心是先明确“△”的运算规则：$a△b=3ab$，即运算结果等于3乘第一个运算数，再乘第二个运算数。第(1)问直接将对应数值代入规则计算即可；第(2)问属于含括号的混合运算，按照运算优先级，先算括号内的$3△4$，得到结果后再计算括号外的运算即可，计算时要注意有理数乘法的符号规则。
【解析】
(1) 根据“△”的运算定义，将$a=-4$，$b=5$代入得：
$(-4)△5=3×(-4)×5=-60$
(2) 先计算括号内的$3△4$：
$3△4=3×3×4=36$
再计算$(-2)△36$：
$(-2)△36=3×(-2)×36=-216$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-60}$；(2) $\boldsymbol{-216}$
【知识点】
新定义运算，有理数乘法，混合运算顺序
【点评】
本题重点考察对新运算规则的理解，计算时遵循先括号后括号外的顺序，注意有理数乘法的符号判断，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
12. 已知$|a|=6$，$|b|=10$，若$a＞b$，求$ab$的值。
答案
12. 解：根据题意可知,$a=\pm6,b=\pm10$。
因为$a＞b$，
所以$a=\pm6,b=-10$。
当$a=-6$时,$ab=-6×(-10)=60$；
当$a=6$时,$ab=6×(-10)=-60$。
综上,$ab$的值为 60 或$-60$。
因为$a＞b$，
所以$a=\pm6,b=-10$。
当$a=-6$时,$ab=-6×(-10)=60$；
当$a=6$时,$ab=6×(-10)=-60$。
综上,$ab$的值为 60 或$-60$。
解析
【分析】
解题时首先根据绝对值的性质确定a、b的所有可能取值；再结合a＞b的条件，筛选出符合要求的a、b的取值组合；最后分情况代入有理数乘法法则计算ab的值，分类讨论时要做到不遗漏、不重复。
【解析】
解：
∵$|a|=6$，$|b|=10$，
∴$a=\pm6$，$b=\pm10$，
又
∵$a＞b$，
∴b只能取-10（若b取10，无论a取6还是-6都小于10，不符合$a＞b$的条件），a可取6或-6。
①当$a=6$，$b=-10$时，$ab=6×(-10)=-60$；
②当$a=-6$，$b=-10$时，$ab=(-6)×(-10)=60$。
综上，$ab$的值为60或-60。
【答案】
60或$-60$
【知识点】
绝对值的性质、有理数大小比较、有理数乘法法则
【点评】
本题是有理数相关性质的综合应用类题目，解题的关键是先根据限制条件筛选出符合要求的字母取值，再分类计算结果，注意不要遗漏a的两种取值情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据绝对值的性质确定a、b的所有可能取值；再结合a＞b的条件，筛选出符合要求的a、b的取值组合；最后分情况代入有理数乘法法则计算ab的值，分类讨论时要做到不遗漏、不重复。
【解析】
解：
∵$|a|=6$，$|b|=10$，
∴$a=\pm6$，$b=\pm10$，
又
∵$a＞b$，
∴b只能取-10（若b取10，无论a取6还是-6都小于10，不符合$a＞b$的条件），a可取6或-6。
①当$a=6$，$b=-10$时，$ab=6×(-10)=-60$；
②当$a=-6$，$b=-10$时，$ab=(-6)×(-10)=60$。
综上，$ab$的值为60或-60。
【答案】
60或$-60$
【知识点】
绝对值的性质、有理数大小比较、有理数乘法法则
【点评】
本题是有理数相关性质的综合应用类题目，解题的关键是先根据限制条件筛选出符合要求的字母取值，再分类计算结果，注意不要遗漏a的两种取值情况。
【难度系数】
0.7
13. 小莉同学有七张写着不同数字的卡片，她想从中取出若干张卡片，将卡片上的数字进行有理数的运算。
(1)若取出两张卡片，则抽取哪两张才能使数字之积最大？积最大是多少呢？
(2)若取出三张卡片，则抽取哪三张才能使数字之积最小？积最小是多少呢？
(1)若取出两张卡片，则抽取哪两张才能使数字之积最大？积最大是多少呢？
(2)若取出三张卡片，则抽取哪三张才能使数字之积最小？积最小是多少呢？
答案
13. 解：(1)取出$-6$和$-4$,积最大,为$(-6)×(-4)=24$。
(2)取出$-6,3,5$,积最小,为$(-6)×3×5=-90$。
(2)取出$-6,3,5$,积最小,为$(-6)×3×5=-90$。
解析
【分析】
(1)要使两张卡片的数字之积最大，根据有理数乘法“同号得正，异号得负”的规则，正数乘积大于负数乘积，因此只需比较所有同号两数的乘积大小：先分别计算两个负数相乘、两个正数相乘的所有结果，再选出最大乘积对应的卡片即可。
(2)要使三张卡片的数字之积最小，负数乘积小于0和正数乘积，因此需满足乘积为负（要么1个负数加2个正数，要么3个都是负数），再分别计算两种情况的乘积，根据“负数的绝对值越大，数值越小”的规则比较大小，选出最小乘积对应的卡片即可。
【解析】
(1) 同号两数相乘得正，分别计算所有同号组合的乘积：
两个负数的组合乘积：$(-6)×(-4)=24$，$(-6)×(-2)=12$，$(-4)×(-2)=8$；
两个正数的组合乘积：$1×3=3$，$1×5=5$，$3×5=15$；
对比可知24最大，因此抽取写有$-6$和$-4$的两张卡片。
(2) 乘积为负数时更小，分两类情况计算：
①三张都是负数：$(-6)×(-4)×(-2)=-48$；
②1个负数加2个正数：要让乘积绝对值最大，选择绝对值最大的负数$-6$，和最大的两个正数$3、5$，计算得$(-6)×3×5=-90$；
因为$-90＜-48$，因此抽取写有$-6、3、5$的三张卡片。
【答案】
(1)取出$-6$和$-4$，积最大，为$(-6)×(-4)=24$。
(2)取出$-6,3,5$，积最小，为$(-6)×3×5=-90$。
【知识点】
有理数乘法法则、有理数大小比较
【点评】
本题围绕有理数乘法的实际应用设置，解题核心是先根据乘积的符号规则缩小可选数字的范围，再通过计算、比较得到最值，需注意负数比较大小的特殊规则，避免判断最值时出错。
【难度系数】
0.7
(1)要使两张卡片的数字之积最大，根据有理数乘法“同号得正，异号得负”的规则，正数乘积大于负数乘积，因此只需比较所有同号两数的乘积大小：先分别计算两个负数相乘、两个正数相乘的所有结果，再选出最大乘积对应的卡片即可。
(2)要使三张卡片的数字之积最小，负数乘积小于0和正数乘积，因此需满足乘积为负（要么1个负数加2个正数，要么3个都是负数），再分别计算两种情况的乘积，根据“负数的绝对值越大，数值越小”的规则比较大小，选出最小乘积对应的卡片即可。
【解析】
(1) 同号两数相乘得正，分别计算所有同号组合的乘积：
两个负数的组合乘积：$(-6)×(-4)=24$，$(-6)×(-2)=12$，$(-4)×(-2)=8$；
两个正数的组合乘积：$1×3=3$，$1×5=5$，$3×5=15$；
对比可知24最大，因此抽取写有$-6$和$-4$的两张卡片。
(2) 乘积为负数时更小，分两类情况计算：
①三张都是负数：$(-6)×(-4)×(-2)=-48$；
②1个负数加2个正数：要让乘积绝对值最大，选择绝对值最大的负数$-6$，和最大的两个正数$3、5$，计算得$(-6)×3×5=-90$；
因为$-90＜-48$，因此抽取写有$-6、3、5$的三张卡片。
【答案】
(1)取出$-6$和$-4$，积最大，为$(-6)×(-4)=24$。
(2)取出$-6,3,5$，积最小，为$(-6)×3×5=-90$。
【知识点】
有理数乘法法则、有理数大小比较
【点评】
本题围绕有理数乘法的实际应用设置，解题核心是先根据乘积的符号规则缩小可选数字的范围，再通过计算、比较得到最值，需注意负数比较大小的特殊规则，避免判断最值时出错。
【难度系数】
0.7
14. 在数轴上有一点 A,将点 A 向左移动 2 个单位长度得到点 B,将点 B向左移动 4 个单位长度得到点 C,点 A,B,C 分别表示有理数 a,b,c。若 a,b,c 三个数的乘积为负数且这三个数的和与其中的一个数相等,求 a 的值。
答案
14. 解:因为这三个数的和与其中的一个数相等，
所以这三个数中有两个数互为相反数。
由题意得,$b=a-2,c=b-4=a-6$。
①当$a+b=0$,即$a+a-2=0$时,$a=1,b=-1,c=-5,abc=5＞0$,舍去。
②当$b+c=0$,即$b+b-4=0$时,$b=2,c=-2,a=4,abc=-16＜0$。
③当$a+c=0$,即$a+a-6=0$时,$a=3,c=-3,b=1,abc=-9＜0$。
综上所述,$a$的值为 4 或 3。
所以这三个数中有两个数互为相反数。
由题意得,$b=a-2,c=b-4=a-6$。
①当$a+b=0$,即$a+a-2=0$时,$a=1,b=-1,c=-5,abc=5＞0$,舍去。
②当$b+c=0$,即$b+b-4=0$时,$b=2,c=-2,a=4,abc=-16＜0$。
③当$a+c=0$,即$a+a-6=0$时,$a=3,c=-3,b=1,abc=-9＜0$。
综上所述,$a$的值为 4 或 3。
解析
【分析】
解题可按以下步骤思考：1. 先根据数轴上点向左移动对应数值减小的规律，用含a的代数式表示出b、c的值；2. 分析“三个数的和与其中一个数相等”的条件：若a+b+c=a则b+c=0，若a+b+c=b则a+c=0，若a+b+c=c则a+b=0，可得三个数中必有两个数互为相反数，据此分三种情况讨论；3. 每种情况求出a的值后，验证三个数的乘积是否为负数，舍去不符合条件的结果，即可得到最终答案。
【解析】
由题意可知，a,b,c三个数的和与其中一个数相等，因此三个数中必有两个数互为相反数（即两数之和为0）。
根据点的平移规律，点A左移2个单位得B，点B左移4个单位得C，因此：
$b=a-2$，$c=b-4=(a-2)-4=a-6$。
分三种情况讨论：
① 当$a+b=0$时，代入得$a+(a-2)=0$，解得$a=1$。此时$b=-1$，$c=-5$，$abc=1×(-1)×(-5)=5＞0$，不符合乘积为负数的条件，舍去；
② 当$b+c=0$时，代入得$(a-2)+(a-6)=0$，解得$2a-8=0$，$a=4$。此时$b=2$，$c=-2$，$abc=4×2×(-2)=-16＜0$，符合条件；
③ 当$a+c=0$时，代入得$a+(a-6)=0$，解得$2a-6=0$，$a=3$。此时$b=1$，$c=-3$，$abc=3×1×(-3)=-9＜0$，符合条件。
【答案】
4或3
【知识点】
数轴上点的平移、相反数的性质、有理数乘法法则
【点评】
本题综合考查了数轴的平移规律、相反数的性质以及有理数乘法的符号判断，解题时需要用到分类讨论的思想，求出结果后要注意结合题干给出的乘积为负的条件验证，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
解题可按以下步骤思考：1. 先根据数轴上点向左移动对应数值减小的规律，用含a的代数式表示出b、c的值；2. 分析“三个数的和与其中一个数相等”的条件：若a+b+c=a则b+c=0，若a+b+c=b则a+c=0，若a+b+c=c则a+b=0，可得三个数中必有两个数互为相反数，据此分三种情况讨论；3. 每种情况求出a的值后，验证三个数的乘积是否为负数，舍去不符合条件的结果，即可得到最终答案。
【解析】
由题意可知，a,b,c三个数的和与其中一个数相等，因此三个数中必有两个数互为相反数（即两数之和为0）。
根据点的平移规律，点A左移2个单位得B，点B左移4个单位得C，因此：
$b=a-2$，$c=b-4=(a-2)-4=a-6$。
分三种情况讨论：
① 当$a+b=0$时，代入得$a+(a-2)=0$，解得$a=1$。此时$b=-1$，$c=-5$，$abc=1×(-1)×(-5)=5＞0$，不符合乘积为负数的条件，舍去；
② 当$b+c=0$时，代入得$(a-2)+(a-6)=0$，解得$2a-8=0$，$a=4$。此时$b=2$，$c=-2$，$abc=4×2×(-2)=-16＜0$，符合条件；
③ 当$a+c=0$时，代入得$a+(a-6)=0$，解得$2a-6=0$，$a=3$。此时$b=1$，$c=-3$，$abc=3×1×(-3)=-9＜0$，符合条件。
【答案】
4或3
【知识点】
数轴上点的平移、相反数的性质、有理数乘法法则
【点评】
本题综合考查了数轴的平移规律、相反数的性质以及有理数乘法的符号判断，解题时需要用到分类讨论的思想，求出结果后要注意结合题干给出的乘积为负的条件验证，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
