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8. 有一个填写运算符号的游戏:在“1369”中的每个内,填入“+”“−”“×”“÷”中的某一个(可重复使用,但不添加括号),然后计算结果。
(1)若$1÷3×6□9=-7$,请推算内的符号。
(2)在“136−9”的内填入符号后,使计算所得的数最小。写出这个算式,并计算最后结果。
(1)若$1÷3×6□9=-7$,请推算内的符号。
(2)在“136−9”的内填入符号后,使计算所得的数最小。写出这个算式,并计算最后结果。
答案
8. 解:(1)因为 $1÷3×6□9=-7$,
所以 $1×\frac{1}{3}×6□9=-7$,
所以 $2□9=-7$。
因为 $2-9=-7$,
所以$□$内的符号为“$-$”。
(2)因为要在“$1□3□6-9$”的$□$内填入符号后,使计算所得的数最小,
所以使 $1□3□6$ 的结果最小即可。
因为 $1□3□6$ 的最小值是 $1-3×6=-17$,
所以 $1□3□6-9$ 的最小值是 $-17-9=-26$,所以这个算式为 $1-3×6-9$,最后结果为 $-26$。
所以 $1×\frac{1}{3}×6□9=-7$,
所以 $2□9=-7$。
因为 $2-9=-7$,
所以$□$内的符号为“$-$”。
(2)因为要在“$1□3□6-9$”的$□$内填入符号后,使计算所得的数最小,
所以使 $1□3□6$ 的结果最小即可。
因为 $1□3□6$ 的最小值是 $1-3×6=-17$,
所以 $1□3□6-9$ 的最小值是 $-17-9=-26$,所以这个算式为 $1-3×6-9$,最后结果为 $-26$。
解析
【分析】
（1）第一小问先计算出已知运算部分$1÷3×6$的结果，将原式简化为仅含两个数和未知符号的等式，再根据等式右侧的结果反推对应的运算符号即可。
（2）第二小问观察算式结构可知，最后一步是减9，要让整个算式结果最小，只需让前半部分“$1□3□6$”的计算结果尽可能小即可，筛选出能让前半部分取最小值的运算符号，再代入计算最终结果。
【解析】
（1）先计算已知部分的运算：
$1÷3×6 = 1×\frac{1}{3}×6 = 2$
原式简化为$2□9=-7$，因为$2-9=-7$，因此内的符号为“$-$”。
（2）要使$1□3□6-9$的结果最小，需先让$1□3□6$的结果最小：
要得到$1□3□6$的最小值，优先通过乘法得到较大正数，再用1减去该正数，可得最小结果：$1-3×6=1-18=-17$。
代入原式计算最终结果：$-17-9=-26$，对应的算式为$1-3×6-9$。
【答案】
（1）$\boxed{-}$；
（2）算式为$\boxed{1-3×6-9}$，最后结果为$\boxed{-26}$。
【知识点】
有理数混合运算；有理数大小比较；最值求解
【点评】
本题围绕有理数四则运算规则设计，第一问侧重基础运算能力的考察，第二问需要学生拆解算式结构，逆向推导核心优化部分，能有效锻炼逻辑推理能力和运算的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一小问先计算出已知运算部分$1÷3×6$的结果，将原式简化为仅含两个数和未知符号的等式，再根据等式右侧的结果反推对应的运算符号即可。
（2）第二小问观察算式结构可知，最后一步是减9，要让整个算式结果最小，只需让前半部分“$1□3□6$”的计算结果尽可能小即可，筛选出能让前半部分取最小值的运算符号，再代入计算最终结果。
【解析】
（1）先计算已知部分的运算：
$1÷3×6 = 1×\frac{1}{3}×6 = 2$
原式简化为$2□9=-7$，因为$2-9=-7$，因此内的符号为“$-$”。
（2）要使$1□3□6-9$的结果最小，需先让$1□3□6$的结果最小：
要得到$1□3□6$的最小值，优先通过乘法得到较大正数，再用1减去该正数，可得最小结果：$1-3×6=1-18=-17$。
代入原式计算最终结果：$-17-9=-26$，对应的算式为$1-3×6-9$。
【答案】
（1）$\boxed{-}$；
（2）算式为$\boxed{1-3×6-9}$，最后结果为$\boxed{-26}$。
【知识点】
有理数混合运算；有理数大小比较；最值求解
【点评】
本题围绕有理数四则运算规则设计，第一问侧重基础运算能力的考察，第二问需要学生拆解算式结构，逆向推导核心优化部分，能有效锻炼逻辑推理能力和运算的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
9. 某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况,规定每天送餐量超过50单(送一次外卖称为一单)的部分记为“+”,低于50单的部分记为“-”,下表是该外卖小哥一周的送餐量：
(1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？
(2)若每送一单能获得4.2元的酬劳,请计算外卖小哥这一周的收入。
(1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？
(2)若每送一单能获得4.2元的酬劳,请计算外卖小哥这一周的收入。
答案
9. 解：(1)$+14-(-8)=22$(单)。
答:该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多 22 单。
(2)$[(-3+4-5+14-8+6+12)+50×7]×4.2=1\ 554$(元)。
答:外卖小哥这一周的收入为 1 554 元。
答:该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多 22 单。
(2)$[(-3+4-5+14-8+6+12)+50×7]×4.2=1\ 554$(元)。
答:外卖小哥这一周的收入为 1 554 元。
解析
【分析】
（1）首先明确表格中正负数的含义：正数是超过50单的部分，负数是低于50单的部分，先找到表格里最大的数和最小的数，用最大数减去最小数就能得到最多一天比最少一天多的送餐量。（2）先把表格中7个正负数求和，得到这一周总送餐量和7天基准总送餐量（每天50单）的差值，再加上基准总送餐量得到实际总送餐量，最后乘每单的酬劳即可算出一周的总收入。
【解析】
(1) 观察表格可得，送餐量最多的一天超出基准14单，对应数值为+14；送餐量最少的一天低于基准8单，对应数值为-8。
计算差值：$\boldsymbol{+14 - (-8) = 14 + 8 = 22}$（单）
(2) 第一步：先计算一周超出/低于基准量的总和：
$-3 + 4 - 5 + 14 - 8 + 6 + 12 = 20$（单）
第二步：计算一周基准总送餐量：$50 × 7 = 350$（单）
第三步：计算一周实际总送餐量：$350 + 20 = 370$（单）
第四步：计算一周总收入：$\boldsymbol{370 × 4.2 = 1554}$（元）
【答案】
(1) 该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多22单；
(2) 外卖小哥这一周的收入为1554元。
【知识点】
正负数的应用、有理数加减运算、有理数乘法运算
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考查对正负数实际意义的理解，也考查有理数运算的熟练度，运算时注意符号即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）首先明确表格中正负数的含义：正数是超过50单的部分，负数是低于50单的部分，先找到表格里最大的数和最小的数，用最大数减去最小数就能得到最多一天比最少一天多的送餐量。（2）先把表格中7个正负数求和，得到这一周总送餐量和7天基准总送餐量（每天50单）的差值，再加上基准总送餐量得到实际总送餐量，最后乘每单的酬劳即可算出一周的总收入。
【解析】
(1) 观察表格可得，送餐量最多的一天超出基准14单，对应数值为+14；送餐量最少的一天低于基准8单，对应数值为-8。
计算差值：$\boldsymbol{+14 - (-8) = 14 + 8 = 22}$（单）
(2) 第一步：先计算一周超出/低于基准量的总和：
$-3 + 4 - 5 + 14 - 8 + 6 + 12 = 20$（单）
第二步：计算一周基准总送餐量：$50 × 7 = 350$（单）
第三步：计算一周实际总送餐量：$350 + 20 = 370$（单）
第四步：计算一周总收入：$\boldsymbol{370 × 4.2 = 1554}$（元）
【答案】
(1) 该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多22单；
(2) 外卖小哥这一周的收入为1554元。
【知识点】
正负数的应用、有理数加减运算、有理数乘法运算
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考查对正负数实际意义的理解，也考查有理数运算的熟练度，运算时注意符号即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
10.【信息提取】
在有些情况下,不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉。例如：
$|6+7|=6+7,|6-7|=7-6,|7-6|=7-6,|-6-7|=6+7$。
【初步体验】
(1)根据上面的规律,把下列各式写成去掉绝对值符号的形式(不要计算出结果)：
①$|7-21|=$
②$\left|-\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{5}\right|=$
③$\left|\dfrac{7}{17}-\dfrac{7}{18}\right|=$
【拓广应用】
(2)计算：
①$\left|\dfrac{1}{5}-\dfrac{150}{557}\right|+\left|\dfrac{150}{557}-\dfrac{1}{2}\right|-\left|-\dfrac{1}{2}\right|$。
②$\left|\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right|+\left|\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\right|+\left|\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{4}\right|+···+\left|\dfrac{1}{2021}-\dfrac{1}{2020}\right|+\left|\dfrac{1}{2022}-\dfrac{1}{2021}\right|$。
在有些情况下,不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉。例如：
$|6+7|=6+7,|6-7|=7-6,|7-6|=7-6,|-6-7|=6+7$。
【初步体验】
(1)根据上面的规律,把下列各式写成去掉绝对值符号的形式(不要计算出结果)：
①$|7-21|=$
$21-7$
。②$\left|-\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{5}\right|=$
$\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{2}$
。③$\left|\dfrac{7}{17}-\dfrac{7}{18}\right|=$
$\dfrac{7}{17}-\dfrac{7}{18}$
。【拓广应用】
(2)计算：
①$\left|\dfrac{1}{5}-\dfrac{150}{557}\right|+\left|\dfrac{150}{557}-\dfrac{1}{2}\right|-\left|-\dfrac{1}{2}\right|$。
②$\left|\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right|+\left|\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\right|+\left|\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{4}\right|+···+\left|\dfrac{1}{2021}-\dfrac{1}{2020}\right|+\left|\dfrac{1}{2022}-\dfrac{1}{2021}\right|$。
答案
10. 解：(1)①$|7-21|=21-7$。
②$\left|-\frac{1}{2}+\frac{4}{5}\right|=\frac{4}{5}-\frac{1}{2}$。
③$\left|\frac{7}{17}-\frac{7}{18}\right|=\frac{7}{17}-\frac{7}{18}$。
故答案为:①$21-7$；②$\frac{4}{5}-\frac{1}{2}$；③$\frac{7}{17}-\frac{7}{18}$。
(2)①原式$=\frac{150}{557}-\frac{1}{5}+\frac{1}{2}-\frac{150}{557}-\frac{1}{2}$
$=(\frac{150}{557}-\frac{150}{557})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})-\frac{1}{5}$
$=-\frac{1}{5}$。
②原式$=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2\ 021}-\frac{1}{2\ 022}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\ 022}$
$=\frac{1\ 011}{2\ 022}-\frac{1}{2\ 022}$
$=\frac{505}{1\ 011}$。
②$\left|-\frac{1}{2}+\frac{4}{5}\right|=\frac{4}{5}-\frac{1}{2}$。
③$\left|\frac{7}{17}-\frac{7}{18}\right|=\frac{7}{17}-\frac{7}{18}$。
故答案为:①$21-7$；②$\frac{4}{5}-\frac{1}{2}$；③$\frac{7}{17}-\frac{7}{18}$。
(2)①原式$=\frac{150}{557}-\frac{1}{5}+\frac{1}{2}-\frac{150}{557}-\frac{1}{2}$
$=(\frac{150}{557}-\frac{150}{557})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})-\frac{1}{5}$
$=-\frac{1}{5}$。
②原式$=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2\ 021}-\frac{1}{2\ 022}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\ 022}$
$=\frac{1\ 011}{2\ 022}-\frac{1}{2\ 022}$
$=\frac{505}{1\ 011}$。
解析
【分析】
本题考查绝对值的化简及有理数的简便运算，解题思路如下：1. 首先明确绝对值化简规则：若绝对值内的式子结果为正，去掉绝对值后等于它本身；若结果为负，去掉绝对值后等于它的相反数，即只需用较大的数减去较小的数即可。2. 第(1)小问只需判断每个绝对值内两个数的大小关系，直接写出去绝对值后的形式。3. 第(2)小问的①先判断每个绝对值内式子的正负，去绝对值后会出现互为相反数的项，合并抵消后即可快速算出结果；②观察每个绝对值的特征，去绝对值后中间项可以两两抵消，只剩首尾两项计算即可。
【解析】
(1) ① 因为7＜21，7-21＜0，所以$|7-21|=21-7$；
② 因为$-\frac{1}{2}+\frac{4}{5}=\frac{4}{5}-\frac{1}{2}＞0$，所以$\left|-\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{5}\right|=\frac{4}{5}-\frac{1}{2}$；
③ 分子相同的正分数，分母越小分数越大，所以$\frac{7}{17}＞\frac{7}{18}$，$\frac{7}{17}-\frac{7}{18}＞0$，因此$\left|\dfrac{7}{17}-\dfrac{7}{18}\right|=\frac{7}{17}-\frac{7}{18}$。
(2) ① 先判断绝对值内式子的正负：
$\frac{1}{5}=0.2$，$\frac{150}{557}\approx0.269$，可得$\frac{1}{5}＜\frac{150}{557}$，因此$\left|\frac{1}{5}-\frac{150}{557}\right|=\frac{150}{557}-\frac{1}{5}$；
$\frac{150}{557}＜\frac{1}{2}=0.5$，因此$\left|\frac{150}{557}-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}-\frac{150}{557}$；
$\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$。
代入原式计算：
原式$=\frac{150}{557}-\frac{1}{5}+\frac{1}{2}-\frac{150}{557}-\frac{1}{2}$
$=(\frac{150}{557}-\frac{150}{557})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})-\frac{1}{5}$
$=-\frac{1}{5}$。
② 观察可知每个绝对值内的式子$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}$（n为2到2021的整数）结果均为负，去绝对值后得$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，代入原式：
原式$=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+···+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}$
中间项全部抵消，剩余首尾两项计算：
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2022}$
$=\frac{1011}{2022}-\frac{1}{2022}$
$=\frac{1010}{2022}=\frac{505}{1011}$。
【答案】
(1)①$21-7$；②$\frac{4}{5}-\frac{1}{2}$；③$\frac{7}{17}-\frac{7}{18}$
(2)①$-\frac{1}{5}$；②$\frac{505}{1011}$
【知识点】
绝对值的性质；有理数加减运算；裂项抵消
【点评】
本题重点考查绝对值性质的灵活运用，不需要计算绝对值内的精确数值，通过判断式子正负去绝对值后利用抵消法简化运算，能有效锻炼学生的观察能力和简便运算思维。
【难度系数】
0.7
本题考查绝对值的化简及有理数的简便运算，解题思路如下：1. 首先明确绝对值化简规则：若绝对值内的式子结果为正，去掉绝对值后等于它本身；若结果为负，去掉绝对值后等于它的相反数，即只需用较大的数减去较小的数即可。2. 第(1)小问只需判断每个绝对值内两个数的大小关系，直接写出去绝对值后的形式。3. 第(2)小问的①先判断每个绝对值内式子的正负，去绝对值后会出现互为相反数的项，合并抵消后即可快速算出结果；②观察每个绝对值的特征，去绝对值后中间项可以两两抵消，只剩首尾两项计算即可。
【解析】
(1) ① 因为7＜21，7-21＜0，所以$|7-21|=21-7$；
② 因为$-\frac{1}{2}+\frac{4}{5}=\frac{4}{5}-\frac{1}{2}＞0$，所以$\left|-\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{5}\right|=\frac{4}{5}-\frac{1}{2}$；
③ 分子相同的正分数，分母越小分数越大，所以$\frac{7}{17}＞\frac{7}{18}$，$\frac{7}{17}-\frac{7}{18}＞0$，因此$\left|\dfrac{7}{17}-\dfrac{7}{18}\right|=\frac{7}{17}-\frac{7}{18}$。
(2) ① 先判断绝对值内式子的正负：
$\frac{1}{5}=0.2$，$\frac{150}{557}\approx0.269$，可得$\frac{1}{5}＜\frac{150}{557}$，因此$\left|\frac{1}{5}-\frac{150}{557}\right|=\frac{150}{557}-\frac{1}{5}$；
$\frac{150}{557}＜\frac{1}{2}=0.5$，因此$\left|\frac{150}{557}-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}-\frac{150}{557}$；
$\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$。
代入原式计算：
原式$=\frac{150}{557}-\frac{1}{5}+\frac{1}{2}-\frac{150}{557}-\frac{1}{2}$
$=(\frac{150}{557}-\frac{150}{557})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})-\frac{1}{5}$
$=-\frac{1}{5}$。
② 观察可知每个绝对值内的式子$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}$（n为2到2021的整数）结果均为负，去绝对值后得$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，代入原式：
原式$=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+···+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}$
中间项全部抵消，剩余首尾两项计算：
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2022}$
$=\frac{1011}{2022}-\frac{1}{2022}$
$=\frac{1010}{2022}=\frac{505}{1011}$。
【答案】
(1)①$21-7$；②$\frac{4}{5}-\frac{1}{2}$；③$\frac{7}{17}-\frac{7}{18}$
(2)①$-\frac{1}{5}$；②$\frac{505}{1011}$
【知识点】
绝对值的性质；有理数加减运算；裂项抵消
【点评】
本题重点考查绝对值性质的灵活运用，不需要计算绝对值内的精确数值，通过判断式子正负去绝对值后利用抵消法简化运算，能有效锻炼学生的观察能力和简便运算思维。
【难度系数】
0.7
