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10. 在代数式$kx+b$中，当$x$的取值分别为$-1,0,1,2$时，对应代数式的值如下表：
则$2k+b$的值为 （
A.$-1$
B.$1$
C.$3$
D.$5$
则$2k+b$的值为 （
D
）A.$-1$
B.$1$
C.$3$
D.$5$
答案
10. D
解析
【分析】
要计算2k+b的值，有两种常用思路：思路一：先根据表格里x和对应代数式kx+b的取值，求出参数k、b的具体值，再代入2k+b计算结果；思路二：观察所求式子2k+b，会发现它就是x=2时代数式kx+b的取值，可直接从表格中读取对应数值。这里先用基础的求参数方法解题，符合当前学段的知识掌握要求。
【解析】
第一步：求b的值
当x=0时，将其代入代数式$kx+b$，可得：
$k×0 + b = 1$，解得$b=1$。
第二步：求k的值
当x=1时，将其代入代数式$kx+b$，结合已经求出的$b=1$，可得：
$k×1 + 1 = 3$，解得$k=2$。
第三步：计算$2k+b$的值
把$k=2$、$b=1$代入$2k+b$得：
$2k+b=2×2 +1=5$。
（简便方法：$2k+b$就是x=2时$kx+b$的值，直接查表得x=2对应的值为5，也可得到结果）
【答案】
D
【知识点】
代数式求值；代入法计算
【点评】
本题属于基础类题型，考查代数式求值的灵活应用，既可以用先求参数再计算的常规方法求解，也可以观察式子特征直接查表得到结果，解题时可多观察式子特点，选择更简便的方法。
【难度系数】
0.8
要计算2k+b的值，有两种常用思路：思路一：先根据表格里x和对应代数式kx+b的取值，求出参数k、b的具体值，再代入2k+b计算结果；思路二：观察所求式子2k+b，会发现它就是x=2时代数式kx+b的取值，可直接从表格中读取对应数值。这里先用基础的求参数方法解题，符合当前学段的知识掌握要求。
【解析】
第一步：求b的值
当x=0时，将其代入代数式$kx+b$，可得：
$k×0 + b = 1$，解得$b=1$。
第二步：求k的值
当x=1时，将其代入代数式$kx+b$，结合已经求出的$b=1$，可得：
$k×1 + 1 = 3$，解得$k=2$。
第三步：计算$2k+b$的值
把$k=2$、$b=1$代入$2k+b$得：
$2k+b=2×2 +1=5$。
（简便方法：$2k+b$就是x=2时$kx+b$的值，直接查表得x=2对应的值为5，也可得到结果）
【答案】
D
【知识点】
代数式求值；代入法计算
【点评】
本题属于基础类题型，考查代数式求值的灵活应用，既可以用先求参数再计算的常规方法求解，也可以观察式子特征直接查表得到结果，解题时可多观察式子特点，选择更简便的方法。
【难度系数】
0.8
11. 对于正数$x$，定义运算：$f(x)=\dfrac{x}{1+x}$。
例如：$f(\dfrac{1}{3})=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{4}$，$f(3)=\dfrac{3}{1+3}=\dfrac{3}{4}$。则 $f(\dfrac{1}{20})+f(\dfrac{1}{19})+\dots +f(\dfrac{1}{2})+f(1)+f(2)+\dots +f(19)+f(20)$的值为
例如：$f(\dfrac{1}{3})=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{4}$，$f(3)=\dfrac{3}{1+3}=\dfrac{3}{4}$。则 $f(\dfrac{1}{20})+f(\dfrac{1}{19})+\dots +f(\dfrac{1}{2})+f(1)+f(2)+\dots +f(19)+f(20)$的值为
$\dfrac{39}{2}$
。答案
11. $\dfrac{39}{2}$ 【解析】因为 $f(3)=\dfrac{3}{4},f(\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{4}$，
所以 $f(3)+f(\dfrac{1}{3})=1$，
同理 $f(\dfrac{1}{2})+f(2)=1$，
$\dots,f(\dfrac{1}{20})+f(20)=1$。
因为 $x$ 为正数，
所以 $f(\dfrac{1}{20})+f(\dfrac{1}{19})+\dots+f(\dfrac{1}{2})+f(1)+f(2)+\dots+f(19)+f(20)$
$=f(\dfrac{1}{20})+f(20)+f(\dfrac{1}{19})+f(19)+\dots+f(\dfrac{1}{2})+f(2)+f(1)$
$=1×19+\dfrac{1}{1+1}$
$=\dfrac{39}{2}$。
所以 $f(3)+f(\dfrac{1}{3})=1$，
同理 $f(\dfrac{1}{2})+f(2)=1$，
$\dots,f(\dfrac{1}{20})+f(20)=1$。
因为 $x$ 为正数，
所以 $f(\dfrac{1}{20})+f(\dfrac{1}{19})+\dots+f(\dfrac{1}{2})+f(1)+f(2)+\dots+f(19)+f(20)$
$=f(\dfrac{1}{20})+f(20)+f(\dfrac{1}{19})+f(19)+\dots+f(\dfrac{1}{2})+f(2)+f(1)$
$=1×19+\dfrac{1}{1+1}$
$=\dfrac{39}{2}$。
解析
【分析】
首先观察题目给出的新定义运算，先尝试计算$f(x)$与$f(\frac{1}{x})$的和，可发现二者相加的结果恒为1；再观察所求的式子，除$f(1)$外，其余的项均是互为倒数的两个数的函数值，可两两分组求和，最后加上$f(1)$的值即可得到最终结果。
【解析】
先推导运算规律：对于正数$x$，$f(\frac{1}{x})=\dfrac{\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}=\dfrac{1}{x+1}$，因此可得：
$f(x)+f(\dfrac{1}{x})=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1}{x+1}=1$
观察所求算式，将互为倒数的两个数的函数值两两分组：
$\begin{split}&\phantom{=}f(\dfrac{1}{20})+f(\dfrac{1}{19})+\dots +f(\dfrac{1}{2})+f(1)+f(2)+\dots +f(19)+f(20)\\&=[f(\dfrac{1}{20})+f(20)]+[f(\dfrac{1}{19})+f(19)]+\dots +[f(\dfrac{1}{2})+f(2)]+f(1)\end{split}$
从$\frac{1}{2}$到$\frac{1}{20}$共19组，每组和为1，另外$f(1)=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$，代入计算：
原式$=1×19+\dfrac{1}{2}=\dfrac{39}{2}$
【答案】
$\dfrac{39}{2}$
【知识点】
新定义运算，代数式求值，规律探究
【点评】
本题结合新定义运算考查规律探究能力，解题的核心是先推导得出互为倒数的两个正数的函数值之和为1的规律，通过分组计算大幅简化运算，避免了逐个代入求值的繁琐，能很好地考查学生的观察与归纳能力。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的新定义运算，先尝试计算$f(x)$与$f(\frac{1}{x})$的和，可发现二者相加的结果恒为1；再观察所求的式子，除$f(1)$外，其余的项均是互为倒数的两个数的函数值，可两两分组求和，最后加上$f(1)$的值即可得到最终结果。
【解析】
先推导运算规律：对于正数$x$，$f(\frac{1}{x})=\dfrac{\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}=\dfrac{1}{x+1}$，因此可得：
$f(x)+f(\dfrac{1}{x})=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1}{x+1}=1$
观察所求算式，将互为倒数的两个数的函数值两两分组：
$\begin{split}&\phantom{=}f(\dfrac{1}{20})+f(\dfrac{1}{19})+\dots +f(\dfrac{1}{2})+f(1)+f(2)+\dots +f(19)+f(20)\\&=[f(\dfrac{1}{20})+f(20)]+[f(\dfrac{1}{19})+f(19)]+\dots +[f(\dfrac{1}{2})+f(2)]+f(1)\end{split}$
从$\frac{1}{2}$到$\frac{1}{20}$共19组，每组和为1，另外$f(1)=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$，代入计算：
原式$=1×19+\dfrac{1}{2}=\dfrac{39}{2}$
【答案】
$\dfrac{39}{2}$
【知识点】
新定义运算，代数式求值，规律探究
【点评】
本题结合新定义运算考查规律探究能力，解题的核心是先推导得出互为倒数的两个正数的函数值之和为1的规律，通过分组计算大幅简化运算，避免了逐个代入求值的繁琐，能很好地考查学生的观察与归纳能力。
【难度系数】
0.7
12. 当$x=2$时，代数式$px^3+qx+1$的值为2025，则
（1）代数式$8p+2q$的值为
（2）当$x=-2$时，代数式$px^3+qx+1$的值为
（1）代数式$8p+2q$的值为
2 024
。（2）当$x=-2$时，代数式$px^3+qx+1$的值为
-2 023
。答案
12. (1)2 024 (2)$-2\ 023$
解析
【分析】
（1）先将x=2代入给定的代数式，得到包含p、q的等式，通过简单移项就能直接求出8p+2q的值；（2）将x=-2代入待求代数式后，可观察到含p、q的部分恰好是第一问所求8p+2q的相反数，用整体代入的思路，不需要单独求出p、q的取值，代入第一问的结果即可算出最终值。
【解析】
（1）把$x=2$代入$px^3+qx+1=2025$，可得：
$p×2^3 + q×2 +1 = 2025$
化简得$8p+2q+1=2025$
移项计算：$8p+2q=2025-1=2024$
（2）把$x=-2$代入$px^3+qx+1$，可得：
$p×(-2)^3 + q×(-2) +1 = -8p-2q+1$
将式子变形为$-(8p+2q)+1$，把$8p+2q=2024$代入，得：
$-2024 +1 = -2023$
【答案】
（1）2024；（2）-2023
【知识点】
代数式求值，整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的经典基础题，重点考查整体代入的解题思想，不需要求解单个未知字母的取值，只需要利用奇数次幂的符号特征对式子变形，结合已知条件代入计算即可，能锻炼学生的式子观察和变形能力。
【难度系数】
0.75
（1）先将x=2代入给定的代数式，得到包含p、q的等式，通过简单移项就能直接求出8p+2q的值；（2）将x=-2代入待求代数式后，可观察到含p、q的部分恰好是第一问所求8p+2q的相反数，用整体代入的思路，不需要单独求出p、q的取值，代入第一问的结果即可算出最终值。
【解析】
（1）把$x=2$代入$px^3+qx+1=2025$，可得：
$p×2^3 + q×2 +1 = 2025$
化简得$8p+2q+1=2025$
移项计算：$8p+2q=2025-1=2024$
（2）把$x=-2$代入$px^3+qx+1$，可得：
$p×(-2)^3 + q×(-2) +1 = -8p-2q+1$
将式子变形为$-(8p+2q)+1$，把$8p+2q=2024$代入，得：
$-2024 +1 = -2023$
【答案】
（1）2024；（2）-2023
【知识点】
代数式求值，整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的经典基础题，重点考查整体代入的解题思想，不需要求解单个未知字母的取值，只需要利用奇数次幂的符号特征对式子变形，结合已知条件代入计算即可，能锻炼学生的式子观察和变形能力。
【难度系数】
0.75
13. 已知代数式$a^2 - 2ab + b^2$与$(a - b)^2$。
(1)当$a=-2,b=1$时,求两个代数式的值。
(2)当$a=5,b=-3$时,再求以上两个代数式的值。
(3)你能从上面的计算结果中,发现什么结论?
(4)利用你发现的结论,求$2020^2 - 2×2020×2021 + 2021^2$的值。
(1)当$a=-2,b=1$时,求两个代数式的值。
(2)当$a=5,b=-3$时,再求以上两个代数式的值。
(3)你能从上面的计算结果中,发现什么结论?
(4)利用你发现的结论,求$2020^2 - 2×2020×2021 + 2021^2$的值。
答案
13. 解：(1)当 $a=-2,b=1$ 时，
$a^2-2ab+b^2=(-2)^2-2×(-2)×1+1^2=9$，
$(a-b)^2=(-2-1)^2=9$。
(2)当 $a=5,b=-3$ 时，
$(a-b)^2=[5-(-3)]^2=64$，
$a^2-2ab+b^2=5^2-2×5×(-3)+(-3)^2=64$。
(3)结论：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ 或 $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。
(4)$2\ 020^2-2×2\ 020×2\ 021+2\ 021^2=(2\ 020-2\ 021)^2=(-1)^2=1$。
$a^2-2ab+b^2=(-2)^2-2×(-2)×1+1^2=9$，
$(a-b)^2=(-2-1)^2=9$。
(2)当 $a=5,b=-3$ 时，
$(a-b)^2=[5-(-3)]^2=64$，
$a^2-2ab+b^2=5^2-2×5×(-3)+(-3)^2=64$。
(3)结论：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ 或 $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。
(4)$2\ 020^2-2×2\ 020×2\ 021+2\ 021^2=(2\ 020-2\ 021)^2=(-1)^2=1$。
解析
【分析】
本题遵循“计算-归纳-应用”的逻辑设计问题：第(1)(2)问是代数式求值的基础题型，只需将给定的a、b数值分别代入两个代数式，按照先乘方、再乘除、后加减的运算顺序计算即可；第(3)问对比两次代入后两个代数式的计算结果，可归纳得到二者的恒等关系；第(4)问观察所求式子的结构，刚好对应归纳得到的等式左边的形式，直接套用恒等关系转化为更简便的平方运算，就能避免大数直接计算，快速得出结果。
【解析】
(1)当$a=-2,b=1$时：
$a^2-2ab+b^2=(-2)^2-2×(-2)×1+1^2=4+4+1=9$
$(a-b)^2=(-2-1)^2=(-3)^2=9$
(2)当$a=5,b=-3$时：
$a^2-2ab+b^2=5^2-2×5×(-3)+(-3)^2=25+30+9=64$
$(a-b)^2=[5-(-3)]^2=8^2=64$
(3)对比(1)(2)的计算结果，两个代数式在a、b取值相同的时候，值始终相等，因此可得结论：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
(4)观察所求式子$2020^2 - 2×2020×2021 + 2021^2$，符合$a^2-2ab+b^2$的结构，其中$a=2020$，$b=2021$，套用(3)的结论可得：
$2020^2 - 2×2020×2021 + 2021^2=(2020-2021)^2=(-1)^2=1$
【答案】
(1)$a^2-2ab+b^2$的值为9，$(a-b)^2$的值为9；
(2)$a^2-2ab+b^2$的值为64，$(a-b)^2$的值为64；
(3)$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$；
(4)1
【知识点】
代数式求值；规律归纳应用；完全平方差公式
【点评】
本题由浅入深，先考察代数式的基本代入运算能力，再引导学生通过计算结果自主归纳规律，最后考察规律的迁移应用，能够很好地锻炼学生的运算能力和逻辑推理能力，是巩固代数式运算的基础题型。
【难度系数】
0.85
本题遵循“计算-归纳-应用”的逻辑设计问题：第(1)(2)问是代数式求值的基础题型，只需将给定的a、b数值分别代入两个代数式，按照先乘方、再乘除、后加减的运算顺序计算即可；第(3)问对比两次代入后两个代数式的计算结果，可归纳得到二者的恒等关系；第(4)问观察所求式子的结构，刚好对应归纳得到的等式左边的形式，直接套用恒等关系转化为更简便的平方运算，就能避免大数直接计算，快速得出结果。
【解析】
(1)当$a=-2,b=1$时：
$a^2-2ab+b^2=(-2)^2-2×(-2)×1+1^2=4+4+1=9$
$(a-b)^2=(-2-1)^2=(-3)^2=9$
(2)当$a=5,b=-3$时：
$a^2-2ab+b^2=5^2-2×5×(-3)+(-3)^2=25+30+9=64$
$(a-b)^2=[5-(-3)]^2=8^2=64$
(3)对比(1)(2)的计算结果，两个代数式在a、b取值相同的时候，值始终相等，因此可得结论：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
(4)观察所求式子$2020^2 - 2×2020×2021 + 2021^2$，符合$a^2-2ab+b^2$的结构，其中$a=2020$，$b=2021$，套用(3)的结论可得：
$2020^2 - 2×2020×2021 + 2021^2=(2020-2021)^2=(-1)^2=1$
【答案】
(1)$a^2-2ab+b^2$的值为9，$(a-b)^2$的值为9；
(2)$a^2-2ab+b^2$的值为64，$(a-b)^2$的值为64；
(3)$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$；
(4)1
【知识点】
代数式求值；规律归纳应用；完全平方差公式
【点评】
本题由浅入深，先考察代数式的基本代入运算能力，再引导学生通过计算结果自主归纳规律，最后考察规律的迁移应用，能够很好地锻炼学生的运算能力和逻辑推理能力，是巩固代数式运算的基础题型。
【难度系数】
0.85
14. 学校办公楼前有一块长为$m$，宽为$n$的长方形空地(如图)，在中心位置留出一个直径为$2a$的圆形区域建一个喷泉，两边是长为$b$，宽为$a$的两块长方形的休息区，阴影部分为绿地。
(1)用代数式表示阴影部分的面积。(结果保留$π$)
(2)当$m=8$，$n=6$，$a=1$，$b=2$时，阴影部分的面积是多少？($π$取3)
(1)用代数式表示阴影部分的面积。(结果保留$π$)
(2)当$m=8$，$n=6$，$a=1$，$b=2$时，阴影部分的面积是多少？($π$取3)
答案
14. 解：(1)阴影部分的面积为 $mn-2ab-πa^2$。
(2)当 $m=8,n=6,a=1,b=2$ 时，
阴影部分的面积为 $8×6-2×1×2-π×1^2=48-4-π≈41$。
(2)当 $m=8,n=6,a=1,b=2$ 时，
阴影部分的面积为 $8×6-2×1×2-π×1^2=48-4-π≈41$。
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，可采用“整体减空白”的思路求解：第一步先算出整个长方形空地的面积，第二步分别算出两块长方形休息区、中心圆形喷泉的面积，第三步用总面积减去所有空白区域的面积即可得到阴影面积；第二问只需将对应数值代入第一问得到的代数式中，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 首先，长方形空地的面积为长乘宽，即$S_{总}=mn$；
两块长方形休息区的总面积为$2× ab=2ab$；
圆形喷泉的直径为$2a$，因此半径为$a$，其面积为$S_{圆}=π a^2$；
因此阴影部分面积为总面积减去空白部分面积：$S_{阴影}=mn - 2ab - π a^2$。
(2) 将$m=8$，$n=6$，$a=1$，$b=2$，$π=3$代入上述代数式：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=8×6 - 2×1×2 - 3×1^2\\&=48 - 4 - 3\\&=41\end{aligned}$
【答案】
(1) $mn-2ab-π a^2$；(2) $41$
【知识点】
列代数式，代数式求值，组合图形面积计算
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础题型，核心是掌握“整体减空白”求不规则图形面积的方法，同时要熟记长方形、圆形的面积公式，代入数值计算时注意运算顺序即可正确求解。
【难度系数】
0.8
要求阴影部分的面积，可采用“整体减空白”的思路求解：第一步先算出整个长方形空地的面积，第二步分别算出两块长方形休息区、中心圆形喷泉的面积，第三步用总面积减去所有空白区域的面积即可得到阴影面积；第二问只需将对应数值代入第一问得到的代数式中，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 首先，长方形空地的面积为长乘宽，即$S_{总}=mn$；
两块长方形休息区的总面积为$2× ab=2ab$；
圆形喷泉的直径为$2a$，因此半径为$a$，其面积为$S_{圆}=π a^2$；
因此阴影部分面积为总面积减去空白部分面积：$S_{阴影}=mn - 2ab - π a^2$。
(2) 将$m=8$，$n=6$，$a=1$，$b=2$，$π=3$代入上述代数式：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=8×6 - 2×1×2 - 3×1^2\\&=48 - 4 - 3\\&=41\end{aligned}$
【答案】
(1) $mn-2ab-π a^2$；(2) $41$
【知识点】
列代数式，代数式求值，组合图形面积计算
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础题型，核心是掌握“整体减空白”求不规则图形面积的方法，同时要熟记长方形、圆形的面积公式，代入数值计算时注意运算顺序即可正确求解。
【难度系数】
0.8
